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Definición de una desigualdad de triángulo
Empecemos por ver qué es realmente una desigualdad de triángulo.
Una desigualdad de triángulo es una desigualdad que se cumple en cualquier tipo de triángulo.
En este artículo verás un par de tipos diferentes de desigualdades de triángulos, junto con ejemplos de cada una de ellas.
Teorema de la desigualdad del triángulo
Uno de los teoremas de desigualdad más importantes sobre los triángulos es que si sumas la longitud de dos lados cualesquiera, será mayor que la longitud del lado restante.
Veamos un triángulo como referencia.
Fig. 1. Un triángulo general.
Recuerda que la notación de un lado del triángulo se refiere a los vértices, por lo que el lado que une los puntos \(A\) y \(B\) se escribiría \(AB\). La longitud de \( AB\) se escribe \( |AB|\). Así que puedes reformular el teorema de la desigualdad del triángulo como
\[ |AC| + |BC| > |AB|.\]
Esto es cierto para cualquier par de lados, así que el teorema de la desigualdad de los triángulos también te dice que
\[ |AB| + |AC| > |BC||]
y
\[ |AB| + |BC| > |AC|.\]
Eso tiene buena pinta, pero ¿por qué sabes que es cierto?
Prueba de la desigualdad triangular
Seguro que no quieres tener que demostrar que las tres desigualdades son ciertas, así que la idea es elegir una afirmación al azar y demostrarla. Luego las otras dos se hacen del mismo modo. Así que vamos a intentar demostrar que
\[ |AC| + |BC| > |AB|.\]
La forma más fácil es una demostración geométrica. Dibuja dos arcos, uno desde la esquina \(A\) y otro desde la esquina \(B\). El radio del arco centrado en \(A\) es \(|AC|\), y el radio del arco centrado en \(B\) es \(|BC|\).
Fig. 2. Triángulo con arcos trazados desde los vértices A y B.
Por la forma en que están dibujados los arcos, sabes que la distancia de \(A\) a \(E\) es la misma que \(|AC|\), y la distancia de \(B\) a \(D\) es la misma que \(|BC|\). Observando la imagen sabes que
\[ |AD| + |DE| + |EB| = |AB|,\\]
así que
\[ \begin{align} |AB| &< |AD| + 2|DE| + |EB| \\left( |AD| + |DE| \right) + \left(|DE| + |EB| \right) \\\ &= |AC| + |BC|, \end{align} \]
¡que es exactamente lo que intentabas mostrar! Fíjate en que hemos utilizado un ingenioso truco consistente en añadir \(|DE| \) para agrandar el conjunto. Esto sólo funciona porque \(|DE| \) es un número positivo.
Teorema de desigualdad sobre lados y ángulos de triángulos
También puedes hablar de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. Recuerda que la medida de un ángulo es cuántos grados (o radianes) hay en él. La notación podría ser
\(m (\ángulo A)\)
\(\texto{medida}{ángulo A}), o
\(\texto{meas}ángulo A\)
según el libro que estés consultando. Para ser coherentes, este artículo utiliza \( m ( \ángulo A)\).
Volvamos a la imagen del triángulo.
Fig. 3. Un triángulo general.
El teorema del ángulo lado dice que si un lado es más largo que otro, entonces su ángulo opuesto al lado más largo es mayor que el ángulo opuesto al lado más corto. Dicho de otro modo
si \(|AC| > |AB|\) entonces \( m(\ángulo B) > m(\ángulo C)\);
si \(|BC| > |AC||) entonces \(m( \ángulo A) > m(\ángulo B)\);
y así sucesivamente para las demás comparaciones.
Teorema de la desigualdad del ángulo exterior
Un último teorema de desigualdad de triángulos, esta vez relativo a los ángulos exteriores. Empecemos con una imagen.
Fig. 4. Triángulo con los ángulos interiores y exteriores marcados.
En la imagen anterior, los ángulos \(b\), \(f\) y \(c\) son los ángulos interiores del triángulo, mientras que los ángulos \(a\), \(g\) y \(d\) son los ángulos exteriores.
También debes saber que los dos ángulos interiores de un triángulo que no están junto a un ángulo exterior dado se llaman ángulos interiores remotos. Así, para el ángulo exterior \(g\), los ángulos interiores remotos son el ángulo \(b\) y el ángulo \(c\).
La desigualdad del triángulo exterior dice que la medida de un ángulo exterior es mayor que la medida de cualquiera de sus dos ángulos interiores remotos. Dicho de otro modo
\[m(\ángulo a) > m(\ángulo c) \text{ y } m (\ángulo a) > m(\ángulo f).\]
Puedes decir lo mismo de los otros dos ángulos exteriores de este triángulo.
Aplicaciones de las desigualdades de triángulos
Veamos un par de formas de utilizar las desigualdades de triángulos.
Un triángulo tiene las longitudes laterales \(5\) y \(9\), halla las posibles longitudes del tercer lado del triángulo.
Contesta:
¡Siempre ayuda hacer primero un dibujo! A continuación se muestra un dibujo de un triángulo con los tres vértices y los dos lados marcados.
Fig. 5. Triángulo con dos lados marcados.
El objetivo es encontrar posibles longitudes de lado \(BC\). Como no tienes ángulos dados, la idea es utilizar la desigualdad con la longitud de los lados.
Enunciemos las desigualdades que puedes utilizar:
\[ \begin{align} &|AB| + |BC| >|AC|| &|AC| + |AB| > |BC|| &|BC| + |AC| > |AB| .\end{align}]
Ahora puedes introducir \( |AB| = 5\) y \(|AC| = 9\) en cada una de las desigualdades para obtener
\[ \begin{align} &5 + |BC| >9\i &9 +5 > |BC|\\i &|BC| +9 > 5 .\end{align}\i]
Si haces un poco de álgebra para simplificarlas, verás que
\[ \begin{align} & |BC| >4 &14 > |BC|\\ &|BC| > -4 .\end{align}]
La última, \( |BC| > -4 \) en realidad no te sirve de mucho, puesto que ya sabes que las longitudes son mayores que cero. Pero las dos primeras son útiles, pues te dicen que \(|BC| > 4\) y \(|BC| < 14\). Poniendo esto en una sola desigualdad
\[ 4 < |BC| < 14.\]
Veamos otro ejemplo.
Supongamos que el ángulo \(x\) es tal que es el mayor ángulo del triángulo. ¿Puedes decir qué lado es el más largo?
Fig. 6. Triángulo con los lados etiquetados y el ángulo \(x\).
Respuesta:
Para esto puedes utilizar el teorema de los lados y ángulos del triángulo. Sabes que el lado más largo es el opuesto al ángulo mayor. Como el ángulo \(x\) es el ángulo mayor, entonces el lado \(c\) es el lado más largo.
Si la pregunta hubiera preguntado cuál es el lado más corto, habrías tenido problemas porque no habría información suficiente para responder.
Desigualdades de triángulos - Puntos clave
- En cualquier triángulo, si sumas la longitud de dos lados cualesquiera, será mayor que la longitud del lado restante. Éste es el teorema de la desigualdad de los triángulos.
- En cualquier triángulo, si un lado es más largo que otro, el ángulo opuesto al lado más largo es mayor que el ángulo opuesto al lado más corto. Éste es el teorema del triángulo ángulo lado.
- La desigualdad del triángulo ángulo exterior dice que la medida de un ángulo exterior es mayor que la medida de cualquiera de sus dos ángulos interiores alejados.
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