Dilataciones

Significado de la dilatación

Ladilatación es una técnica de transformación que se utiliza para hacer figuras más grandes o más pequeñas sin cambiar ni distorsionar la forma.

El cambio de tamaño se realiza con una cantidad llamada factor de escala. Este cambio de tamaño puede ser una disminución o un aumento, según el factor de escala utilizado en la pregunta, y se realiza en torno a un punto central determinado. Las imágenes siguientes muestran una ampliación y luego una reducción de una forma en torno al origen.

Fig. 1. Ejemplo de ampliación.

Fig. 2. Ejemplo de reducción.

Propiedades de la dilatación

La dilataciónes una transformación no is ométrica y, como todas las transformaciones, utiliza la notación de preimagen (la forma original) e imagen (la forma después de la transformación).

Ser no isométrica significa que esta transformación cambia el tamaño, sin embargo, mantendrá la misma forma.

Las características clave de las imágenes dilatadas con respecto a sus preimágenes son,

• Todos los ángulos de la imagen dilatada con respecto a la imagen previa siguen siendo los mismos.
• Las líneas paralelas y perpendiculares siguen siéndolo incluso en la imagen dilatada.
• El punto medio del lado de una imagen dilatada es el mismo que el de la imagen previa.

Factor de escala de dilatación

La forma en que aplicamos la dilatación es tomando una imagen previa y cambiando las coordenadas de sus vértices por un factor de escala \((r)\) dado en la pregunta.

Cambiamos las coordenadas a partir de un punto central dado. Podemos saber cómo va a cambiar la imagen respecto a la preimagen examinando el factor de escala. Éste se rige por,

• La imagen se agranda si el factor de escala absoluto es mayor que 1.
• La imagen se encoge si el factor de escala absoluto está entre 0 y 1.
• La imagen permanece igual si el factor de escala es 1.

Fórmula de dilatación

Distinguimos dos casos en función de la posición del punto central.

Caso 1. El punto centrales el origen.

La fórmula para calcular una dilatación es directa si nuestro punto central es el origen. Lo único que haremos será tomar las coordenadas de la imagen previa y multiplicarlas por el factor de escala.

Como se ve en el ejemplo anterior, para un factor de escala de \(2\) multiplicamos cada coordenada por \(2\) para obtener las coordenadas de cada uno de los vértices de la imagen.

Caso 2. El punto central no es el origen.

Pero, ¿y si nuestro punto central no es el origen? La forma en que lo haríamos sería utilizando un vector a cada vértice desde el punto central y aplicando el factor de escala. Consideremos esto en la imagen siguiente.

Fig. 4. Gráfico para demostrar el enfoque vectorial.

Como puedes ver en la imagen anterior, no se nos dan coordenadas, sino vectores desde el punto central a cada vértice. Si tu punto central no está en el origen, este método es la forma de resolver tu problema de dilatación.

En la imagen anterior, tenemos el punto central en el origen para facilitar el cálculo del vector de posición entre el punto central y un vértice. Pero consideremos la imagen siguiente para ver cómo podríamos calcular este vector a partir del punto central.

Fig. 5. Gráfico que muestra cómo hallar vectores de posición.

En esta imagen, tenemos un vértice y el punto central para simplificar el proceso. Al aplicar este método a una forma, repetiríamos el proceso entre el punto central y cada vértice.

Para hallar nuestro vector entre el punto central y el vértice, empezamos en nuestro punto central y contamos cuántas unidades se aleja el vértice del punto central horizontalmente para hallar nuestro valor \(x\). Si el vértice está a la derecha del punto central lo tomamos como positivo, si está a la izquierda entonces negativo. Luego hacemos lo mismo pero verticalmente para el \(y\), tomando hacia arriba como positivo y hacia abajo como negativo. En este caso, el vértice está a 4 unidades a la derecha y a 4 unidades hacia arriba del punto central, lo que da el vector de posición de (inicio44fin).

Multiplicaríamos entonces cada vector por el factor de escala para obtener un vector a cada vértice de la imagen.

Si un ejemplo de factor de escala fuera \(1,25\), multiplicaríamos cada componente del vector por \(1,25\) y luego desde el punto central trazaríamos este nuevo vector. Una vez hecho esto para cada vector hacia los vértices previos a la imagen, tendríamos vectores que conducen a cada vértice de la imagen.

En términos de notación para una forma general dejemos,

• \(C\) = Punto central
• \(A\) = Vértice de la preimagen
• \(\vec{CA}\) = Vector desde el punto central al vértice de la preimagen
• \(r\) = Factor de escala
• \(A'\) = Vértice de la imagen
• \(\vec{CA'}) = Vector desde el punto central al vértice de la imagen

Por tanto, la ecuación matemática de la dilatación será,\[\vec{CA'}=r\cdot \vec{CA}.\]

Ejemplos de dilatación

Ahora que ya sabemos cómo funciona la dilatación, veamos algunos ejemplos para poner en práctica la teoría.

Origen centro

Primero examinaremos un ejemplo en el que el punto central está situado en el origen.

Factor de escala positivo

Veamos ahora un ejemplo sencillo con un factor de escala positivo y un centro que no está en el origen.

Factor de escala negativo

Ya hemos visto cómo aplicar un factor de escala positivo, pero ¿y si tuvieras un factor de escala negativo? Veamos cómo sería.

Volviendo al factor de escala

Vale, ya sabemos cómo realizar dilataciones utilizando factores de escala, pero ¿y si no nos dan un factor de escala, sino las coordenadas del punto central, la imagen y la preimagen? ¿Qué aspecto tendría?