Distancias en el espacio

Calcula la distancia entre el punto \(A(4,-2,1)\) y el punto \(B(1,5,-2)\).

Solución:

Calculamos el vector \(\overrightarrow{AB}\):

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(-3,7,-3)$$

La distancia entre los dos puntos será el módulo de este vector:

$$d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+49+9}=\sqrt{67}$$

Calcula la distancia entre el punto \(P(2,4,-2)\) y el plano \(\pi:\space x-2y+z=3\).

Solución:

Podemos aplicar la fórmula anterior para calcular la distancia:

$$d(P,\pi)=\dfrac{|1·2+(-2)·4+1·(-2)-3|}{\sqrt{1+4+1}}=\dfrac{11}{\sqrt{6}}\approx 4{,}49$$

Calcula la distancia entre los planos \(\pi: 2x+3y-4z+2=0\) y \(\pi': -4x-6y+8z+2=0\).

Solución:

En primer lugar, comprobamos si son planos paralelos:

$$\dfrac{2}{-4}=\dfrac{3}{-6}=\dfrac{-4}{8}\neq\dfrac{2}{2}$$

Como son paralelos, calculamos un punto cualquiera de uno de los planos. Por ejemplo, el punto \(P\left(0,0,\frac{1}{2}\right) \in \pi\).

Ahora, calculamos la distancia \(d(P,\pi')\):

$$d(P,\pi')=\dfrac{|8·\frac{1}{2}+2|}{\sqrt{16+36+64}}=\dfrac{6}{\sqrt{116}}\approx 0{,}56$$

Calcula la distancia entre el punto \(P(2,1,-1)\) y la recta \(r:(x,y,z)=(0,1,3)+t(3,2,-1)\).

Solución:

Según la fórmula anterior, tenemos que buscar un punto \(Q\) que pertenezca a la recta y un vector director de la misma. En este caso, ambos objetos están dados en la ecuación de la recta, por lo que:

$$Q(0,1,3)$$

$$\vec{v}_r=(3,2,-1)$$

Creamos el vector \(\overrightarrow{QP}\):

$$\overrightarrow{QP}=P-Q=(2,0,-4)$$

Ahora, podemos calcular el producto vectorial de la fórmula:

$$\vec{v}_r\times\overrightarrow{QP}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & -4 \end{vmatrix}=-8\vec{i}+10\vec{j}-4\vec{k}=(-8,10,-4)$$

Entonces, la distancia es:

$$d(P,r)=\dfrac{|\vec{v}_r\times \overrightarrow{QP}|}{|\vec{v}_r|}=\dfrac{\sqrt{64+100+16}}{\sqrt{9+4+1}}=\sqrt{\dfrac{180}{14}}\approx 3{,}59$$

Calcula la distancia entre las rectas \(r: (x,y,z)=(1,0,2)+t(-1,1,0)\) y \(s: \left\{\begin{align}\, x&+y+1=0\\z&=1\end{align}\right.\).

Solución:

Tenemos que comprobar que las rectas son paralelas. Para ello, comprobamos que sus vectores directores sean proporcionales:

$$\vec{u}_r=(-1,1,0)$$

El vector director de \(s\) será el producto vectorial de los vectores normales que forman la recta:

$$\vec{u}_s=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}=\vec{i}-\vec{j}=(1,-1,0)$$

Las rectas son paralelas si los vectores directores son proporcionales:

$$\vec{u}_r=-\vec{u}_s$$

Por tanto, las rectas son paralelas.

Hemos dicho que la distancia entre dos rectas paralelas se calcula como la distancia desde un punto cualquiera de una de las rectas hasta la otra recta. La fórmula de la distancia de un punto a una recta es:

$$d(P,r)=\dfrac{|\vec{v}_r\times \overrightarrow{QP}|}{|\vec{v}_r|}$$

Por tanto, vamos a obtener un punto cualquiera de la recta \(r\):

$$P(1,0,2)$$

Ahora, un punto cualquiera de la recta \(s\). Según la ecuación, sabemos que \(z=1\) siempre; así que podemos elegir \(x=0\) y calcular el valor de \(y\):

$$Q(0,-1,1)$$

Como ya tenemos el vector director de las rectas, podemos aplicar la fórmula:

$$\overrightarrow{QP}=(-1,-1,-1)$$

$$d(P,r)=\dfrac{|(-1,1,0)\times (-1,-1,-1)|}{|(-1,1,0)|}=\sqrt{3}\approx 1{,}73$$

Calcula la distancia entre las siguientes rectas:

$$r:(x,y,z)=(2,-3,1)+t(1,2,-1)$$

$$s:(x,y,z)=(4,-4,2)+\lambda(-1,1,0)$$

Solución:

Comprobamos la posición relativa de estas rectas, a partir de sus vectores directores y un punto de cada una, por ejemplo:

$$\vec{v}_r=(1,2,-1)$$

$$\vec{v}_s=(-1,1,0)$$

$$P(2,-3,1)\in r$$

$$Q(4,-4,2)\in s$$

Calculamos el valor del vector \(\overrightarrow{QP}\):

$$\overrightarrow{QP}=(-2,1,-1)$$

Creamos las matrices:

$$M=\begin{pmatrix} \vec{v}_r\\ \vec{v}_s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&-1\\-1&1&0\end{pmatrix}$$

$$M'=\begin{pmatrix}\vec{v}_r\\ \vec{v}_s\\ \overrightarrow{QP} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&-1\\-1&1&0\\-2&1&-1\end{pmatrix}$$

Es fácil comprobar que \(Rg(M)=2\) y \(Rg(M')=3\); por tanto, las rectas se cruzan en el espacio.

Ahora, para calcular la distancia entre ellas, como ya tenemos sus vectores directores y puntos que pasan por las mismas, podemos aplicar la fórmula:

$$d(r,s)=\dfrac{|[\vec{v}_r,\vec{v}_s,\overrightarrow{QP}]|}{|\vec{v}_r\times\vec{v}_s|}$$

Calculamos, en primer lugar, el numerador:

$$[\vec{v}_r,\vec{v}_s,\overrightarrow{QP}]=\begin{pmatrix}1&2&-1\\-1&1&0\\-2&1&-1\end{pmatrix}=-4$$

Ahora, el denominador:

$$|\vec{v}_r\times\vec{v}_s|=|(1,1,3)|=\sqrt{11}$$

Por tanto, la distancia entre las rectas:

$$d(r,s)=\dfrac{|-4|}{\sqrt{11}}=\dfrac{4}{\sqrt{11}}\approx 1{,}21$$

Calcula la distancia entre la recta \(r: (x,y,z)=(4,3,1)+t(1,2,1)\) y el plano \(\pi: y-2z+3=0\).

Solución:

Lo primero que hay que hacer es comprobar que la recta y el plano son paralelos. Para esto, tenemos que comprobar que el producto escalar del vector director de la recta y el vector normal del plano es nulo, lo que quiere decir que son perpendiculares entre sí:

$$\vec{v}_r\cdot\vec{n}_\pi=(1,2,1)·(0,1,-2)=0$$

Como el producto escalar de estos vectores es nulo, podemos confirmar que el plano y la recta son paralelos.

Ahora cogemos un punto cualquiera de la recta \(r\) —por ejemplo, \(P(4,3,1)\)— y calculamos su distancia al plano \(\pi\):

$$d(P,\pi)=\dfrac{|Ap_1+Bp_2+Cp_3+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\dfrac{|0+3-2+3|}{\sqrt{0+1+4}}=\dfrac{4}{\sqrt{5}}\approx 1{,}79$$