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Ecuación vectorial de la recta
Una recta queda definida completamente si determinamos una dirección y un punto por el que ésta pasa. En este caso, podemos proporcionar la dirección a través de un vector llamado vector director de la recta.
Con el vector director \(\vec{u}=(u_1,u_2)\) y el punto \(A(a_1,a_2)\) (cuyo vector desde el origen es \(\vec{a}=(a_1,a_2)\)), expresamos la recta \(r\) que pasa por el punto \(P(x,y)\) (cuyo vector desde el origen es \(\vec{p}=(x,y)\)) como:
\[\vec{p}=\vec{a}+t\vec{u}\]
Esta es la ecuación vectorial de la recta, a partir del vector director \(\vec{u}\) y que pasa por el punto \(A\).
El parámetro \(t\) es un número cualquiera, que proporciona distintos puntos de la recta, en función del valor que tome.
Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto \(A(1,2)\) y que tiene vector director \(\vec{u}=(-3,5)\).
Solución:
Aplicamos la ecuación vectorial para obtener la recta:
\[\vec{p}=\vec{a}+t\vec{u}\]
\[(x,y)=(1,2)+t(-3,5)\]
Esta es la ecuación vectorial de la recta \(r\), que puedes ver representada en la figura 1.
Fig. 1. Representación de una recta, a partir de un punto \(A\) por el que pasa y en dirección del vector director \(\vec{u}\).
Ecuaciones paramétricas de la recta
Ya tenemos la ecuación vectorial de la recta; pero, como puedes ver, trabajar con ella puede resultar un poco difícil. Como está definida en dos coordenadas, podemos sacar una ecuación para cada una de ellas. Es decir, como \(\vec{p}=(x,y)\), podemos obtener una ecuación para \(x\) y otra para \(y\), de modo que:
\[\left\{\begin{array}\,x=a_1+tu_1\\y=a_2+tu_2\end{array}\right.\]
Este sistema de dos ecuaciones es lo que se conoce como ecuaciones paramétricas de la recta. En este par de ecuaciones están despejadas cada una de las coordenadas. Veamos algunos casos.
Ecuaciones paramétricas: ejercicios resueltos
Halla las ecuaciones paramétricas de la recta del ejemplo anterior.
Solución:
Tenemos la ecuación vectorial del ejercicio anterior:
\[(x,y)=(1,2)+t(-3,5)\]
Lo único que tenemos que hacer es separarla en cada una de sus coordenadas, para llegar a las ecuaciones paramétricas.
En este caso:
\[\left\{\begin{array}\,x=1-3t\\y=2+5t\end{array}\right.\]
Como puedes ver, el parámetro \(t\) es un número cualquiera.
Al sustituir este parámetro por un valor concreto, obtendremos un punto que pertenece a la recta \(r\).
Hagamos otro ejemplo para llegar a las ecuaciones paramétricas de la recta en el plano.
Determina las ecuaciones paramétricas de la recta \(s\) que pasa por el punto \(B(0,-2)\) con vector director \(\vec{u}=(3,-1)\).
Solución:
Para hallar las ecuaciones paramétricas, podemos primero determinar la ecuación vectorial y después separar cada coordenada; o si te sientes más seguro, separar directamente cada coordenada.
En este caso, vamos a calcular primero la ecuación vectorial:
\[(x,y)=(0,-2)+t(3,-1)\]
Ahora, separamos en cada coordenada para llegar a las ecuaciones paramétricas:
\[\left\{\begin{align}\,x&=3t\\y&=-2-t\end{align}\right.\]
Ecuación continua de la recta
Como hemos mencionado antes, el parámetro \(t\) es simplemente eso: un valor aleatorio que se le da a las ecuaciones para obtener un punto en la recta. Por lo tanto, realmente no lo necesitamos, así que podemos despejarlo de las dos ecuaciones paramétricas:
\[\left\{\begin{array}\,x=a_1+tu_1\\y=a_2+tu_2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}\,t=\dfrac{x-a_1}{u_1}\\t=\dfrac{y-a_2}{u_2}\end{array}\right.\]
Si, ahora igualamos ambas ecuaciones, obtenemos la ecuación continua de la recta:
\[\dfrac{x-a_1}{u_1}=\dfrac{y-a_2}{u_2}\]
Como puedes observar, en la ecuación continua de la recta siempre están las coordenadas del vector director en el denominador. Esto hace que en algunos sitios en los que estas coordenadas son \(0\) no se exprese la ecuación continua de esa recta, debido a la indeterminación producida por un denominador nulo.
Sin embargo, en otras ocasiones, puedes ver el \(0\) en el denominador; esto se debe a que es una manera de representar la recta y ese \(0\) solo indica una coordenada del vector director.
Entérate bien de si la segunda forma será aceptada en tus exámenes, así te evitarás que se considere esto como un error.
Determina le ecuación continua de la recta anterior con ecuaciones paramétricas:
\[\left\{\begin{array}\,x=1-3t\\y=2+5t\end{array}\right.\]
Solución:
Como ya tenemos las ecuaciones paramétricas, solo debemos despejar el parámetro \(t\) en cada una de ellas:
\[\left\{\begin{array}\,t=\dfrac{x-1}{-3}\\t=\dfrac{y-2}{5}\end{array}\right.\]
Al igualar los dos términos, llegamos a:
\[\dfrac{x-1}{-3}=\dfrac{y-2}{5}\]
Esta sería la ecuación continua de la recta.
Ecuación implícita o ecuación general de la recta
Una vez hemos obtenido la ecuación continua de la recta, podemos operar para despejar los denominadores. Después de esto, podemos simplificar y llevar todos los términos a un solo lado de la igualdad, así obtenemos la ecuación implícita o ecuación general de la recta.
Veamos esto, a partir de la ecuación continua:
\[\dfrac{x-a_1}{u_1}=\dfrac{y-a_2}{u_2}\]
Primero, despejamos los denominadores:
\[u_2(x-a_1)=u_1(y-a_2)\]
\[u_2x-u_1y-u_2a_1+u_1a_2=0\]
Luego, si definimos \(u_2=A\), \(-u_1=B\) y \(u_1a_2-u_2a_1=C\), la ecuación implícita de la recta se expresa como: \[Ax+By+C=0\]
Sigue con la recta de los ejemplos anteriores y calcula su ecuación implícita.
Solución:
La ecuación continua de la recta es:
\[\dfrac{x-1}{-3}=\dfrac{y-2}{5}\]
Por lo que despejamos los denominadores y llevamos todo a un lado. Así, obtenemos:
\[5(x-1)=-3(y-2)\]
\[5x-5+3y-6=0\]
La ecuación implícita de la recta es, entonces:
\[5x+3y-11=0\]
Ecuación punto-pendiente de la recta
Si observamos bien la ecuación implícita de la recta, podemos hallar su vector director con los coeficientes de \(x\) e \(y\), de modo que el vector director de la recta es:
\[\vec{u}=(-B,A)\]
Si dividimos cada una de las coordenadas de este vector entre \(-B\), obtenemos:
\[\vec{u}=(1,-\dfrac{A}{B})\]
Este vector es proporcional al primero y, por tanto, tiene la misma dirección y sentido.
Si hacemos la definición \(m=-\dfrac{A}{B}\) y, ahora, formamos la ecuación continua con este nuevo vector director \(\vec{u}=(1,m)\), tenemos:
\[\dfrac{x-a_1}{1}=\dfrac{y-a_2}{m}\]
Al despejar los denominadores:
\[y-a_2=m(x-a_1)\]
Esta es la ecuación punto-pendiente de la recta.
Esta ecuación se denomina así porque en ella encontramos un punto por el que pasa la recta, que es el \(A(a_1,a_2)\), y la pendiente de la recta, que es el parámetro \(m\) que acabamos de obtener. La pendiente de la recta es una característica muy importante, puesto que nos dice la inclinación de la recta.
Determina la ecuación punto-pendiente de la recta de los ejemplos anteriores.
Solución:
La ecuación implícita de la recta anterior es:
\[5x+3y-11=0\]
Por lo que solo tenemos que buscar \(m=-\dfrac{A}{B}\) y un punto por el que pasa, que sabemos de antemano que es \(A(1,2)\):
\[m=-\dfrac{A}{B}=-\dfrac{5}{3}\]
La ecuación punto-pendiente de la recta \(r\) es:
\[y-2=-\dfrac{5}{3}(x-1)\]
Ecuación explícita de la recta
Por último, vamos a determinar la ecuación explícita de la recta. Esta ecuación se puede obtener a partir de la ecuación punto-pendiente de la recta, si juntamos los términos independientes, es decir, los que no dependen de \(x\) ni \(y\), y despejamos después el término de la \(y\).
Entonces, a partir de la ecuación-punto-pendiente, juntamos los términos independientes:
\[y-a_2=m(x-a_1)\]
\[y=mx-ma_1+a_2\]
Si hacemos la definición \(a_2-ma_1=n\), la ecuación anterior queda como:
\[y=mx+n\]
Esta es la ecuación explícita de la recta, puesto que está expresada como la \(y\) despejada en función de la \(x\).
Como dijimos anteriormente, la \(m\) es la pendiente de la recta y ahora el nuevo parámetro \(n\) se denomina ordenada en el origen.
Existen más maneras de llegar a esta ecuación. Por ejemplo, a partir de la ecuación implícita, también podemos despejar la \(y\):
\[Ax+By+C=0\]
\[y=-\dfrac{A}{B}x-\dfrac{C}{B}\]
La pendiente está definida de la misma manera que antes, como \(m=-\dfrac{A}{B}\); pero, ahora la ordenada en el origen es \(n=-\dfrac{C}{B}\).
Así se llega, de nuevo, a:
\[y=mx+n\]
Determina la ecuación explícita de la recta de los ejemplos anteriores.
Solución:
Partimos de la ecuación punto-pendiente:
\[y-2=-\dfrac{5}{3}(x-1)\]
Despejamos la \(y\) y juntamos los términos independientes:
\[y=-\dfrac{5}{3}x+\dfrac{5}{3}+2\]
Entonces, la ecuación explícita de la recta es:
\[y=-\dfrac{5}{3}x+\dfrac{11}{3}\]
Donde podemos apreciar la pendiente, que es \(m=-\dfrac{5}{3}\), y la ordenada en el origen, \(n=\dfrac{11}{3}\).
Ecuaciones de la recta en el plano - Puntos clave
- La ecuación vectorial de la recta se define a partir de un punto por el que pasa la recta \(A(a_1,a_2)\) y un vector director \(\vec{u}=(u_1,u_2)\):
\[(x,y)=(a_1,a_2)+t(u_1,u_2)\]
- Las ecuaciones paramétricas de la recta son un par de ecuaciones en las que están despejadas las coordenadas \(x\) y \(y\):
\[\left\{\begin{array}\,x=a_1+tu_1\\y=a_2+tu_2\end{array}\right.\].
- La ecuación continua de la recta se obtiene al despejar el parámetro de las ecuaciones paramétricas e igualando los dos términos:
\[\dfrac{x-a_1}{u_1}=\dfrac{y-a_2}{u_2}\].
- La ecuación implícita de la recta es una ecuación lineal en la que todos los términos están en un lado de la ecuación y se iguala a 0:
\[Ax+By+C=0\].
- La ecuación punto-pendiente de la recta es la ecuación en la que se expresa la pendiente de la recta y un punto por el que pasa:
\[y-a_2=m(x-a_1)\].
- La ecuación explícita de la recta expresa la recta en función de la pendiente y la ordenada en el origen:
\[y=mx+n\]
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Preguntas frecuentes sobre Ecuaciones de la recta en el plano
¿Cómo sacar la ecuación de la recta en un plano cartesiano?
Puedes obtener la ecuación de una recta en el plano, a partir de un punto que pase por la recta y un vector director de la misma. Con esto puedes formar la ecuación vectorial de la recta como:
(x,y)=(a1,a2)+t(u1,u2)
Donde A(a1,a2) es un punto que pertenece a la recta y u=(u1,u2) es un vector director de la recta.
¿Cuál es la ecuación implícita de la recta?
La ecuación implícita de la recta es una ecuación lineal en la que todos los términos están en un lado de la ecuación y se iguala a 0. Tiene la forma:
Ax+By+C=0
¿Cómo resolver ecuaciones paramétricas de la recta?
Las ecuaciones paramétricas de la recta no se resuelven, son solo una forma de expresar la recta. A partir de estas ecuaciones, podemos hallar otras como la ecuación continua de la recta.
¿Cuál es la fórmula de la ecuación punto-pendiente de una recta?
La ecuación punto-pendiente de la recta es la ecuación en la que se expresa la pendiente de la recta y un punto por el que pasa: y-a2=m(x-a1)
Donde, m es la pendiente de la recta y A(a1,a2) es un punto que pertenece a la recta.
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