Figuras 3D

¿Qué es una figura tridimensional?

Como habrás observado con la caja, estas figuras tridimensionales tienen volumen. En matemáticas, definimos el volumen como la cantidad de espacio que hay dentro de una superficie cerrada.

Si volvemos a coger la caja y la abrimos ahora, el volumen sería la cantidad de espacio que hay dentro de la caja. Más adelante aprenderemos a calcular este volumen.

Estas formas geométricas generalmente, salvo algunas excepciones que utilizaremos, tienen caras, que son las superficies con una superficie determinada que delimitan la figura. Estas caras se unen en vértices, que son puntos de unión.

Por último, las líneas que delimitan estas superficies y el contorno de la figura geométrica se denominan aristas. Las compararíamos con los lados de las figuras bidimensionales.

Ejemplos de figuras tridimensionales

Si echas un vistazo a este artículo y miras a tu alrededor, probablemente identificarás un montón de figuras tridimensionales con diferentes estructuras. Desde la cama a la silla, pasando por la mesa o incluso los libros que utilizas para estudiar. Todas ellas son formas tridimensionales porque tienen las 3 dimensiones que hemos mencionado antes; longitud, anchura y profundidad, y también porque tienen volumen.

Distinguimos entre formas tridimensionales regulares e irregulares. Nos centraremos en las figuras tridimensionales regulares, ya que son más habituales en matemáticas.

Cono

Un cono es una figura tridimensional que obtendríamos si hacemos girar un triángulo rectángulo (que tiene un ángulo igual a 90º) con uno de sus lados fijo, de modo que obtenemos una forma en 3d. Esta figura tiene normalmente una base circular y un vértice hacia el que se estrecha la superficie lateral del cono.

La base no tiene que ser necesariamente un círculo, también puede ser otra figura circular bidimensional, como un óvalo. Puedes observar esta forma en el mundo real cuando miras los conos de tráfico.

Pirámide

Esta figura es similar al cono, pero en este caso la base no tiene forma circular. La base es una figura bidimensional con tres o más lados, como un triángulo, un cuadrado, un rectángulo, etc.

Como la forma geométrica de la base puede variar, también varía el número de aristas. Todas sus superficies, tengan el número que tengan, se estrechan hacia un vértice.

Las famosas pirámides de Egipto son un ejemplo de estas formas geométricas, en este caso, tienen una base cuadrada.

Cubo

Esta figura geométrica consta de seis caras de igual área que se encuentran tres de ellas en un mismo vértice, con un total de ocho vértices y un total de doce aristas.

Un ejemplo de cubo es un dado. Si lo observas, todas las caras de un dado regular tienen la misma superficie y cada vértice del mismo funciona como unión de tres caras distintas.

Prisma rectangular

Es similar al cubo, ya que también tiene ocho vértices, doce aristas y seis caras, pero en este caso, todas las caras no son iguales. Cada cara es igual a su opuesta, por lo que tenemos pares de caras iguales.

Un ejemplo de prisma rectangular podría ser un cajón o incluso una caja, aunque a veces tienen forma de cubo.

Existen otros tipos de prismas, en cuanto a la forma de su base y de la cara opuesta. Porejemplo, si estas caras tienen forma de triángulo, se trata de un prismatriangular que tendrá cinco caras en total, en lugar de las seis que tiene el prisma rectangular. Pero esta base (y la cara opuesta) pueden tener otra figura bidimensional que da distintos tipos de prismas: prismas pentagonales, prismas hexagonales, etc.

Cilindro

La forma de esta figura puede recordarte a un prisma rectangular, pero en este caso tiene dos superficies, que se llaman parte superior e inferior (o base) de la figura, que consisten en figuras circulares bidimensionales.

Esta figura no tiene ningún vértice. La superficie que une esas dos caras es esencialmente un rectángulo pero curvado.

Puedes encontrar este tipo de figuras geométricas en latas o en algunos vasos.

Esfera

Un balón de fútbol, uno de baloncesto, o tal vez, si no queremos limitarnos sólo al mundo del deporte: una burbuja. Todos estos objetos tienen algo en común: son esferas.

Estas formas geométricas se obtienen si hacemos girar un círculo, que es una figura bidimensional, alrededor de su diámetro. El volumen que describe esta revolución se define como una esfera.

Como ocurre con el círculo en dos dimensiones, todos los puntos de la superficie están a la misma distancia del punto situado en el centro de la figura. Esta distancia se denomina radio. Si trazamos una distancia entre dos puntos de la superficie de la esfera que pase por el centro de la misma, esta distancia se denominadiámetro de la esfera, que corresponde al doble del radio.

Fórmulas de figuras tridimensionales

Cuando trabajamos con formas tridimensionales, hay algunas cosas que nos interesa saber sobre ellas. En concreto, hay dos características que nos interesan.

La primera es el área de la figura.

Para obtener la superficie total de la figura tenemos que sumar las áreas de cada cara de la forma. No debemos confundir la superficie de la figura con su volumen. El área consiste sólo en la superficie de las caras, independientemente de lo que haya dentro de ellas.

Por otro lado, tenemos el volumen de la figura.

Si volvemos a coger la caja de la que hemos hablado en este artículo, verás que la superficie del cartón utilizado para todas las caras corresponde a la superficie de la caja, pero el espacio que hay en su interior corresponde a su volumen.

Veamos cómo funcionan algunas de las ecuaciones matemáticas de las formas tridimensionales que hemos visto antes.

Área y volumen de un cono

La superficie de una figura tridimensional es la suma de las superficies de sus caras.

Para un cono, el área de su base es $A_b=\mathrm{\pi }\times {\mathrm{r}}^2$, siendo r el radio del círculo. El área de la cara lateral es $A_l=\mathrm{\pi }\times \mathrm{r}\times \mathrm{g}$, siendo g la distancia entre cualquier punto del borde de la base al vértice. Por tanto, el área de la superficie de un cono puede expresarse generalmente como,

$A_{cone}=\mathrm{\pi }\times \mathrm{r}\times (\mathrm{r}+\mathrm{g})$.

El volumen de un cono viene dado por la siguiente fórmula,

$V_{cone}=\frac{(\mathrm{\pi }\times \mathrm{h}\times {\mathrm{r}}^2)}{3}$,

donde h es la distancia del centro de la base al vértice.

Área y volumen de una pirámide

En este caso, las fórmulas del área y el volumen dependerán del número de aristas que tenga la base.

Por ejemplo, si la pirámide tiene la base cuadrada, el área de la pirámide será la suma del área del cuadrado $A_s=l^2$ con la suma de las áreas de cada triángulo que une los vértices $A_t=\frac{1}{2}b\times h$. En general, podemos expresar el área de la superficie de una pirámide como

$A_{pyramid=\hspace{0.17em}}{A}_{base}+A_{triangles}$

Ten cuidado, ya que la base no tiene por qué ser regular, y la superficie de los triángulos que conectan con el vértice tampoco tiene por qué serlo.

El volumen de una pirámide dependerá también de la base que tenga. Para una pirámide cuadrada, el volumen sigue la fórmula,

$V_{pyramid}=\frac{h\times l^2}{3}$

siendo

• h la distancia del centro de la base al vértice

• l la longitud de las aristas de la base.

Superficie y volumen de un prisma rectangular y un cubo

En este caso, como el prisma rectangular y el cubo están formados por seis caras, para obtener la superficie total de la figura sólo tenemos que sumar las áreas de cada cara.

Para el cubo, las seis caras tendrán la misma superficie, pero para el prisma rectangular, como cada cara es igual a su opuesta, hay tres valores distintos. Una expresión matemática general para el área de la superficie de un prisma rectangular es

$A_{r.p}=2·A_1+2·A_2+2·A_3$

donde_{A1 , A2} y_A3 son los tres valores diferentes de dichas áreas. El área de un rectángulo es $A_r=b·h$.

El volumen de estas formas es la multiplicación de las tres aristas: la longitud, la anchura y la profundidad del prisma, como,

$V_{r.p}=a\times b\times h$

En el caso del cubo, como todos los lados son igual de largos, tenemos,

$V_{cube}=l^3$

Área y volumen de un cilindro

El cilindro está formado por dos círculos que son la parte superior e inferior de la figura y un rectángulo curvo. Por tanto, si el área de un círculo es $A_c=\mathrm{\pi }\times {\mathrm{r}}^2$, la suma de todas las áreas es

$A_{cyl}=2\times \mathrm{\pi }\times {\mathrm{r}}^2+2\times \mathrm{\pi }\times \mathrm{h}$

donde h es la altura desde un punto de la parte inferior hasta el punto de la parte superior en la misma posición.

El volumen del cilindro se describe mediante la siguiente ecuación,

$V_{cyl}=\mathrm{\pi }\times \mathrm{h}\times {\mathrm{r}}^2$

Área y volumen de una esfera

La esfera que conocemos es un tipo diferente de figura geométrica, ya que no está formada por la unión de distintas caras. Por eso necesitamos una expresión matemática para calcular su superficie,

$A_{sphere}=4\times \mathrm{\pi }\times {\mathrm{r}}^2$

Y el volumen de la esfera se determina mediante la siguiente fórmula,

$V_{sphere}=\frac{4}{3}\times \mathrm{\pi }\times {\mathrm{r}}^3$.

Ejemplos de problemas sobre figuras tridimensionales

Veamos ahora algunos ejemplos de problemas que puedes encontrar en figuras tridimensionales.