Geometría en el espacio

¿Qué es la geometría analítica en el espacio, con ejemplos?

Ejemplo de ello es un cuarto donde hay una esfera en el centro: el cuarto es un espacio de tres dimensiones, la esfera es el objeto y la forma de localizarlo es que midas su posición en el cuarto.

Para esto último, necesitarás usar una referencia. Por ejemplo: si la esfera está en el medio del cuarto, podrías usar una esquina como el punto de origen; entonces, si el cuarto es un cubo, la esfera estaría sobre el suelo, en el medio con las coordenadas (x,y,z), como se puede ver en la imagen:

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Fig. 1. Objeto en un espacio de 3 dimensiones, definido por coordenadas $x,y,z$.

En el ejemplo anterior usaste un espacio (que es el cuarto), para localizar un objeto (que es una esfera), midiendo desde un punto de referencia (también conocido como punto de origen) y, a la posición de la esfera, le diste un número de referencia que se conoce como coordenadas.

En una definición más formal:

Los elementos de la geometría del espacio

Sin saberlo, en el ejemplo anterior usaste elementos que son básicos para la geometría del espacio. Estos son:

• Punto: un elemento infinitamente pequeño, que no posee volumen ni área. En el caso anterior usaste el origen: un punto de referencia para ubicar un objeto.

• Línea: que, en el caso de la línea recta, puede ser infinita. Además no posee ninguna irregularidad; es decir, es derecha y no tiene curvas. En el ejemplo usaste líneas para ubicar la posición de la esfera.

• Plano: la esfera está sobre el suelo, esa área sobre la cual se encuentra te provee de una referencia. Esa referencia es que el punto de origen y el punto donde se encuentra la esfera están en el mismo plano. El plano, por su parte, es una superficie plana y que puede ser infinita, además de no tener volumen.

• Espacio: el espacio es un volumen donde se puede encontrar un objeto. En este caso, el cuarto es ese volumen y contiene: el objeto, los puntos de referencia, el plano y las líneas.

La geometría euclidiana

Mucho de lo que has estudiado en el colegio sobre planos, líneas y espacio se conoce como geometría euclidiana. Esta geometría tiene un sistema de reglas que se usa como base para definir los objetos que existen en la geometría y cómo puedes localizarlos, representarlos o hacer operaciones con ellos.

La geometría euclidiana necesita de los mismos elementos básicos que son puntos, líneas, rectas y espacio; además de un amplio número de ciertas reglas y teoremas específicos. Algunas de ellas son que dos rectas paralelas nunca llegan tocarse o que la suma de los cuadrados de un triángulo rectángulo es igual a la hipotenusa, entre muchas otras más.

Estas reglas y teoremas permiten que existan objetos en la geometría, como:

• Círculos

• Parábolas

• Rectas tangentes

• Superficie en dos dimensiones

• Ángulos

• Objetos tridimensionales

Y nos permite saber cosas como:

• Volúmenes

• Áreas

• Cálculo de distancias entre rectas, distancias entre puntos y rectas, distancias entre planos, distancias entre planos y puntos, etc.

• Representación de vectores

• Proyecciones ortogonales

• etc.

La geometría euclidiana debe su nombre al filósofo griego Euclides, a pesar de que la geometría ya era un área conocida por diversas culturas como los egipcios, los babilonios y algunas de la India.

Euclides publicó un tratado llamado Elementos, donde describe varios postulados, que se asumen como ciertos porque son evidentes. Uno de estos famosos postulados es el de las líneas paralelas, que dice:

Si una línea intercepta dos líneas contiguas y la intercepción de las dos líneas produce un ángulo interno de 90 grados, estas líneas se encuentran en el infinito.

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Fig. 2. Representación de dos rectas paralelas; la recta que las corta perpendicularmente (en azul turquesa) genera ángulos de ${90}^o$ con ambas.

Como puedes ver, el postulado no habla de líneas paralelas. Sin embargo, se puede decir que, por contradicción, si la intersección de las dos líneas produce un ángulo interno de ${90}^o$, las líneas nunca se encuentran. Esto significa que son paralelas.

Cabe decir que muchos de estos postulados e ideas eran ya conocidos antes de que él los escribiera formalmente, pero él fue el autor que los organiza en un texto sobre geometría hace cientos de años.

Diferencia entre geometría plana y del espacio

La geometría plana se refiere muchas veces a la geometría en dos dimensiones, ya sea en los planos siguientes:

$$(x,y)$$

$$(y,z)$$

$$(x,z)$$

La geometría del espacio, por otra parte, añade una dimensión extra; lo que convierte en una geometría en tres dimensiones, o:

$$(x,y,z)$$

La única diferencia ,en este caso, es que los elementos deben ser descritos usando un sistema de tres coordenadas. También debe decirse que un sistema de dos dimensiones se da cuando la tercera coordenada es $0$. Por ejemplo:

$$(x,y)=(x,y,z(0))$$

Algunos objetos y operaciones en la geometría del espacio

Algunos elementos que veremos en la geometría del espacio serán:

• Ángulos

• Rectas

• Círculos

• Vectores

Mientras que algunas operaciones que veremos serán:

• Proyecciones

• Cálculo de distancias entre objetos en el espacio.

Ángulos

Los ángulos son definidos como las aperturas que existen entre dos líneas que se tocan en un punto. Se miden en grados o radianes y dependiendo, de las unidades ,estos pueden ser:

• ${360}^0>\varphi >0^o$.
• $2\pi >\varphi >0$.

Los ángulos están relacionados con la trigonometría y las funciones trigonométricas como el seno, coseno y tangente, además de sus inversas. Si las líneas que forman los ángulos son finitas —es decir, tienen una longitud que puede medirse—, entonces, se pueden usar estas relaciones para calcular los ángulos entre estas líneas.

Rectas

Las rectas son uno de los elementos más versátiles que existen en la geometría: pueden ser usados para formar un plano u objetos tridimensionales.

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Las rectas están definidas como una sucesión de puntos, que no tiene área o volumen; pero, además que no tiene ningún hueco. Esto último es obvio, seguramente, ya que si la recta tuviese un hueco, serían dos líneas.

La ecuación más básica de una recta es la forma llamada punto pendiente, que se expresa como:

$$y=mx+b$$

Donde $m$ es la pendiente y $b$ la ordenada al origen. Pero, también, existen otras como la forma paramétrica de una recta.

Vectores

Los vectores son cantidades que poseen una magnitud —que es un valor— y poseen una dirección. En un espacio de dos o tres dimensiones, su magnitud es mostrada como la longitud del vector; $t$ la dirección del vector depende de un punto de origen. Debido a esto, un vector está relacionado con el espacio geométrico.

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Círculos

Los círculos son un elemento bastante especial de la geometría. Son objetos cuyo borde, conocido como perímetro, está siempre a la misma distancia de su centro geométrico. Los círculos sirven como base, por ejemplo, para otras figuras geométricas como el cilindro o el cono, además de estar relacionados con las funciones trigonométricas.

La ecuación más básica de un círculo es:

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$$

Donde $(a,b)$ es el centro del circulo y $r$ es el radio.

Proyecciones y distancias

En el espacio es muy importante conocer distancias. ¿Recuerdas lo que mencionamos acerca del espacio que te evoca estrellas y planetas, y acerca de la geometría que se relaciona con figuras en tres dimensiones? Pues, muchas de los primeros cálculos sobre mediciones de objetos celestes se hicieron a partir de geometría básica. Entre ellos se destacan:

• El tamaño de la tierra, por Eratóstenes.

• La distancia entre la tierra y la luna, por Hiparco.

Otro elemento importante de la geometría son las proyecciones, que son básicamente una forma de dibujar una figura, recta o plano sobre otro objeto. Por ejemplo: si proyectamos una esfera sobre un plano, se obtendría un circulo sobre un plano. Para esto se requiere traducir cada punto de la superficie de la esfera que es proyectada, a un punto en el plano.

Problemas de geometría en el espacio

Hay tres problemas básicos que abordaremos en geometría del espacio, cada uno tiene su propio artículo aquí en StudySmarter. Los problemas son:

1. Ángulos

2. Proyecciones ortogonales en el espacio

3. Puntos simétricos en el espacio y distancias en el espacio

Para hacer esto, usaremos teoremas de distancias y también relaciones geométricas que ya conoces.