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Como ya sabes, la geometría es una rama de las matemáticas que analiza y compara las relaciones entre puntos, líneas, curvas, ángulos, superficies y figuras sólidas en el espacio.
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Enviar comentariosSin embargo, en los primeros años estudiarás geometría en el plano; es decir, en dos dimensiones. Por tanto, en este artículo hablaremos de los elementos geométricos que podemos encontrar en el plano —como rectas, ángulos, vectores, cónicas y polígonos, entre otros—.
No obstante, si lo que necesitas aprender está relacionado con la geometría en tres dimensiones, echa un vistazo a nuestro artículo sobre Geometría en el espacio.
La geometría plana es el estudio de las relaciones entre puntos, líneas, curvas, ángulos y planos en dos dimensiones.
Es decir, podríamos definir la geometría plana como el estudio de las figuras geométricas que no poseen volumen. Veamos en profundidad algunos elementos importantes de esta geometría plana.
Para poder representar todos los objetos geométricos que vas a aprender, necesitas primero conocer el sistema de coordenadas en el plano. También, puedes ver el artículo dedicado exhaustivamente a los distintos sistemas de coordenadas; pero, aquí comentaremos brevemente el de dos dimensiones.
El sistema de coordenadas en el plano es un sistema bidimensional; es decir, está formado por dos dimensiones.
Para expresar las coordenadas de un punto en el plano, usamos la siguiente notación:
\[P(x,y)\]
Esto quiere decir que el punto \(P\) tiene:
Empecemos por definir una recta en el plano.
Una recta es un objeto geométrico formado por infinitos puntos alineados en la misma dirección.
Se representa mediante la ecuación \(y=mx+c\)
La pendiente mide la inclinación de una línea y viene dada por la fórmula:
\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]
Hay varios tipos de rectas. La siguiente tabla describe cuatro de ellos.:
Tipo de recta | Diagrama | Descripción |
Líneas paralelas Es importante tener en cuenta que un par de líneas paralelas no se intersecan entre sí, por mucho que se extiendan. |
| Se dice que dos líneas son paralelas si se encuentran en el mismo plano y no se cruzan. Un par de rectas paralelas tienen la misma pendiente. |
Líneas perpendiculares |
| Se dice que dos rectas son perpendiculares si se cortan en ángulo recto. El producto de las dos pendientes es -1. |
Segmento |
| Un segmento es una línea recta con dos puntos extremos. |
Semirrecta |
| Una semirrecta es una recta con un punto de partida fijo y un punto final que se prolonga eternamente. |
Tabla 1: Tipos de recta.
Un ángulo está formado por la unión de dos semirrectas. Estas semirrectas se encuentran en un punto final común. El ángulo se representa con el símbolo \(\angle\).
Hay seis tipos de ángulos con los que debes familiarizarte. Se muestran en la siguiente tabla:
Tipo de ángulo | Diagrama | Descripción |
Ángulo agudo |
| Ángulo de menos de \(90º\). |
Ángulo recto |
| Ángulo de \(90º\). |
Ángulo obtuso |
| Ángulo de más de \(90º\), pero menos de \(180º\). |
Ángulo llano |
| Ángulo de \(180º\). |
Ángulo cóncavo |
| Ángulo de más de \(180º\), pero menos de \(360º\). |
Rotación completa |
| Ángulo de \(360º\). |
Tabla 2: Clasificación de los ángulos.
Aquí hay varios tipos de ángulos más notables:
Puedes encontrar una explicación detallada de los ángulos en Ángulos.
Comecemos definiendo el perímetro y el área de un objeto.
Aquí tienes un ejemplo:
Encuentra el perímetro y el área de un rectángulo, cuyo lado mayor mide 3 unidades y cuyo lado menor mide 2 unidades.
Solución:
El perímetro de un rectángulo es la suma de todos sus lados.
Por lo tanto:
\[P = 2 + 2 + 3 + 3 = 10\text{ unidades}\]
El área de un rectángulo se encuentra al multiplicar su longitud y su anchura. Así, obtenemos:
\[A=2\times 3 = 6\text{ unidades}^2\]
Por tanto, el perímetro del rectángulo es de 10 unidades y su área es de 6 unidades2.
¿Qué obtienes si unes varias líneas por sus extremos?, ¿adivinas la forma? Así es: ¡se llama polígono!
Un polígono es una forma cerrada bidimensional formada por líneas rectas.
Hay dos propiedades importantes de los polígonos que debes conocer. Se enumeran en la siguiente tabla:
Propiedad | Descripción |
Ángulo exterior de un polígono | La suma de los ángulos exteriores de un polígono es \(360º\). Para un polígono con \(n\) lados, cada ángulo exterior es igual a: \[\text{Ángulo exterior}=\frac{360º}{n}\] |
Ángulo interior de un polígono | Para un polígono con \(n\) lados, cada ángulo interior de un polígono viene dado por la fórmula: \[\text{Ángulo interior}=180º-\text{Ángulo exterior}\] |
Tabla 3. Propiedades de los polígonos.
Un triángulo es un polígono con tres lados y tres vértices.
Los triángulos, como verás a lo largo de la Geometría, juegan un papel importante en otro subtema llamado Trigonometría. Aunque, ¡más adelante hablaremos de ello! Aquí, solo cubriremos el área de un triángulo básico y describiremos varias formas de triángulos que se ven comúnmente a lo largo de este temario. Puedes encontrar una información más detallada sobre los triángulos en nuestro artículo al respecto.
Una propiedad fundamental de un triángulo es que la suma de sus ángulos interiores es \(180º\).
El área de un triángulo viene dada por la fórmula:
\[A=\dfrac{b\times h}{2},\]
.
La siguiente tabla ilustra seis tipos fundamentales de triángulos.
Tipo de triángulo | Propiedades | Diagrama |
Triángulo equilátero | Tres lados iguales y tres ángulos iguales. |
|
Triángulo isósceles | Dos lados iguales y dos ángulos iguales. |
|
Triángulo escaleno | Sin lados iguales y sin ángulos iguales. |
|
Triángulo acutángulo | Todos los ángulos son menores de \(90º\). |
|
Triángulo rectángulo | Tiene un ángulo igual a \(90º\). |
|
Triángulo obtusángulo | Tiene un ángulo mayor de \(90º\). |
|
Tabla 4: Clasificación de triángulos.
Pasemos a otras forma de interés, llamadas cónicas.
Las cónicas son figuras geométricas en dos dimensiones que se expresan mediante ecuaciones cuadráticas.
Todas las cónicas se pueden definir como un lugar geométrico en el plano. Puedes encontrar una explicación completa de la geometría de las cónicas en su correspondiente artículo.
La siguiente tabla describe las cuatro formas principales de cónicas.
| Nombre | Descripción | Diagrama |
Figura que tiene un centro y un radio. |
| |
Elipse | Las elipses tienen dos focos, un semieje mayor y un semieje menor. |
|
Parábola | Las parábolas se forman a partir de una recta directriz y un foco. |
|
La hipérbola tiene dos focos, un semieje real y un semieje imaginario. |
|
Tabla 5: Tipos de cónicas.
Un vector es un concepto importante a la hora de describir el movimiento de un punto a otro.
Un vector es un objeto que tiene magnitud, dirección y sentido.
Un vector puede visualizarse geométricamente como un segmento con una dirección, una longitud igual a la magnitud del vector y un sentido indicado por una flecha. A continuación, se muestra una representación gráfica de un vector.
Fig. 2: Representación de un vector.
Los vectores en el plano se representan mediante dos coordenadas, como mencionamos anteriormente.
Este tema se trata detenidamente en el artículo de Vectores.
Veamos, ahora, algunas operaciones vectoriales comunes:
Operaciones con vectores | Notación | Representación gráfica |
Suma de vectores | \[\vec{a}+\vec{b}\] |
|
Resta de vectores | \[\vec{a}-\vec{b}\] |
|
Producto por un escalar | \[k\cdot\vec{a}\] |
|
Producto escalar | \[\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\alpha)\] |
|
Tabla 5: Operaciones con vectores.
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¿Qué es el plano, en geometría?
El plano es el objeto geométrico que tiene dos dimensiones extensas que ocupan toda la superficie.
¿Qué es un ángulo en el plano?
Un ángulo está formado por la unión de dos semirrectas. Estas semirrectas se encuentran en un punto final común.
¿Qué es una recta y una semirrecta?
¿Qué son las cónicas, en el plano cartesiano?
Las cónicas son lugares geométricos del plano.
¿Qué es un vector en el plano y cuál es su interpretación geométrica?
Un vector es un objeto que tiene magnitud, dirección y sentido. Los vectores en el plano se representan mediante dos coordenadas.
¿Qué es la geometría plana?
La geometría plana es el estudio de las relaciones entre puntos, líneas, curvas, ángulos y planos en dos dimensiones. En otras palabras, la geometría plana como el estudio de las figuras geométricas que no poseen volumen
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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