LAL y LLL

Dos triángulos equiláteros están situados uno junto al otro. Si no sabes qué es un triángulo equilátero, significa simplemente un triángulo con todos los lados iguales.

¿Son congruentes estos dos triángulos?

Dos triángulos equiláteros - StudySmarter Original

Así que, por mera observación, se puede ver que ambos equiláteros son efectivamente iguales (iguales) tanto en longitud como en ángulo.

Éste es un buen caso para aplicar el teorema SSS para demostrar la congruencia. Así pues, lado-lado-lado: los tres lados respectivos son iguales entre estos triángulos. Puedes mirar la imagen de arriba para entenderlo mejor. Podemos decir que el primer triángulo es congruente con el segundo triángulo:

Triángulo_1 ≅ Triángulo_2

Aquí tienes dos triángulos colocados de forma diferente el uno del otro: un triángulo está girado respecto al otro. ¿Son congruentes estos triángulos?

Triángulos orientados de forma diferente - StudySmarter Original

Observando las longitudes de los lados de ambos triángulos es evidente que los triángulos dados son congruentes dado el teorema SSS:

ABC ≅ DEF

En este ejemplo, el orden de las letras también demuestra que los lados de un triángulo son iguales a los lados respectivos del otro triángulo. ABC y DEF están ordenados alfabéticamente y los lados respectivos AB, BC, CA son iguales en longitud a DE, EF, FD consecutivamente. Sin embargo, esto no es tan evidente al mirar la imagen anterior. Si no hubiera letras nombrando los triángulos, primero tendrías que entender que los triángulos están girados uno respecto al otro.

En la figura siguiente, la recta XY es equidistante de la recta MN. ¿Es el triángulo YMX congruente con el triángulo YNX?

Imagen 1 de triángulos congruentes formados a partir de rectas equidistantes - StudySmarter Original

Solución

Que la recta XY sea equidistante a la recta MN significa que corta a MN en su punto medio. Esto implica que;

$\overline{MX}=\overline{XN}\overline{MY}=\overline{YN}$

Ahora, ambos triángulos YMX e YNX tienen el mismo tercer lado XY.

Por tanto;

$△YMX\cong △YNX$

Se dan dos triángulos uno al lado del otro. El primer triángulo tiene un ángulo de 60º y los dos lados que lo forman tienen ambos una longitud de 6. El mismo caso con el segundo triángulo. ¿Son congruentes estos triángulos?

Triángulos con ángulos iguales y lados respectivos - StudySmarter Original

Puede que pienses que esto es bastante fácil, ¿no? ¿Bastante trivial quizá?

¡Pues sí! Sólo con mirar la imagen, puedes darte cuenta de que se trata del mismo caso que el primer ejemplo de SSS, sólo que los lados tienen longitudes distintas. En este caso, sin embargo, la información dada sobre los triángulos es sólo de las longitudes de dos lados y del ángulo intermedio. Si ya conoces bien los triángulos equiláteros, puedes decir enseguida que ambos son congruentes, incluso sin la imagen.

Si sólo tienes en cuenta la información dada, los triángulos de este ejemplo son congruentes dada la condición SAS:

Triángulo_1 ≅ Triángulo_2

Tres triángulos están colocados de forma diferente entre sí. Mira la imagen de abajo.

Triángulos colocados de forma diferente - StudySmarter Original

¿Son congruentes estos triángulos?

Puedes ver que los triángulos están girados entre sí. Observando los valores dados en los triángulos, podemos ver que ABC no es congruente con DEF porque los ángulos entre los lados iguales correspondientes AB, BC y DE, FE no son iguales. Sin embargo, ABC y XYZ son congruentes debido al teorema SAS, porque ambos tienen lados respectivos iguales y el ángulo formado por ellos también es el mismo:

ABC ≅ XYZ

Una imagen que muestra tres diagramas de que retrata los teoremas SSS y SAS - StudySmarter Original

La siguiente figura consta de tres diagramas etiquetados como I, II y III. Determina lo siguiente:

a) ¿Son todos congruentes?

b) ¿Cuál (cuáles) es (son) congruente (s) SSS?

c) ¿Cuáles son congruentes con SAS?

d) Si el área del ΔMON es ^60m2, ∠PRQ es 60° y la línea PR es 10m halla QR.

Solución

a) A partir de la figura anterior, el diagrama I tiene ambos triángulos unidos tienen dos de sus lados y ángulo iguales. Por tanto, respecto al teorema SAS, podemos decir que ambos triángulos en I son congruentes.

En el diagrama II, los tres lados de ambos ángulos son iguales; por tanto, de acuerdo con el teorema SSS, ambos triángulos del diagrama II son congruentes.

En el diagrama III, ambos triángulos tienen dos de sus lados y ángulo iguales. Por tanto, con respecto al teorema SAS, podemos decir que ambos triángulos del III son congruentes.

b) Basándonos en la solución anterior de la pregunta a), podemos decir que sólo el diagrama II es congruente SSS.

c) Basándonos en la solución anterior de la pregunta a), podemos decir que ambos diagramas I y III son congruentes SAS.

d) Puesto que los triángulos MON y PQR son congruentes SAS, es decir;

$△MON\cong △PQR$

Entonces

$Areaof△MON=60m^{2}Areaof△PQR=60m^2$

Para hallar la recta QR cuando se da PR, sabemos que;

$Areaof△PQR==\overline{PR}\times \overline{QR}\times \cos (\angle PRQ)60m^2=10m\times \overline{QR}\times \cos 60°$

Haz que la recta QR sea el sujeto de la fórmula dividiendo ambos lados de la ecuación por el producto de 10m y cos60° para obtener;

$\overline{QR}=\frac{60m^2}{10m\times \cos 60°}$

Recuerda que

$\cos 60°=0.5$

Por tanto

$\overline{QR}=\frac{60m^2}{10m\times 0.5}\overline{QR}=\frac{60m^2}{5m}\overline{QR}=\frac{{\cancel{60}}^m\cancel{m^2}}{\cancel{5^1}\cancel{m}}\overline{QR}=12m$