Ejemplo del mundo real 1, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Ahora bien, a partir de esta información, ¿existe algún método que nos permita determinar la distancia entre la casa de Sam y la de Mónica? Afortunadamente, ¡estás de suerte! Efectivamente, existe una fórmula que puede ayudarnos a resolver este problema. Podemos utilizar la Ley de los Cosenos. En este tema conoceremos la Ley de los Cosenos y su aplicación a la resolución de triángulos.
Ley de los cosenos
La Ley de los Cosenos se define mediante la regla
\[a^2=b^2+c^2-2ab\cos(A)\]
Antes de empezar, vamos a introducirnos en este tema recordando la razón de los cosenos y el teorema de Pitágoras. Así podremos unir ambos conceptos y deducir la Ley de los Cosenos, tal y como se ha mencionado anteriormente.
Recapitulación: La razón de los cosenos y el teorema de Pitágoras
Recordemos primero el Teorema de Pitágoras para un triángulo rectángulo dado con un ángulo θ.
Triángulo rectángulo, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Por tanto, viene dado por
\[c^2=a^2+b^2\].
Además, recuerda que el coseno de un ángulo se halla dividiendo el adyacente por la hipotenusa. Es lo que se conoce como razón coseno
\[\cos(\theta=\frac{adjacent}{hypotenuse}=\frac{b}{c}\].
Derivación de la ley de los cosenos
Ahora que hemos fijado las ideas anteriores, utilicémoslas como base para establecer la Ley de los Cosenos. Considera el triángulo ABC que aparece a continuación.
Ley de los Cosenos, Aishah Amri - StudySmarter Originals
El triángulo ABC se divide en dos triángulos: ABD y BCD. Estos dos triángulos son triángulos rectángulos divididos por el cateto perpendicular BD de medida h. El lado b también está dividido en dos tramos AD = x y CD = b - x. Además, la hipotenusa del triángulo ABD es AB = c mientras que la hipotenusa del triángulo BCD es BC = a.
Analicemos la relación entre las longitudes de a, b, c y el ángulo A. Por el Teorema de Pitágoras, podemos resolver el triángulo DBC mediante
\[a^2=(b-x)^2+h^2\]Expandiendo (b - x)2, obtenemos
\[a^2=b^2-2bx+x^2+h^2\]
Del mismo modo, podemos hacerlo para el triángulo ADB como
\[c^2=x^2+h^2\]
Sustituyendo esta expresión para x2 + h2 en la ecuación anterior, obtenemos
\[a^2=b^2-2bx+c^2\]
Observa que también podemos escribir x en forma de razón coseno como
\[\cos(A)=\frac{x}{c}flecha derecha x=c\cdot \cos(A)\]
Sustituyendo esta expresión por x, obtenemos
\[a^2=b^2-2bc\cdot \cos(A)+c^2\]
Aplicando la Propiedad Conmutativa y reordenando esto, obtenemos la Ley de los Cosenos
\a^2=b^2 +c^2 -2bc\cdot \cos(A)\]
como hemos dicho al principio de este apartado.
Variaciones de la Ley de los Cosenos
La Ley de los Cosenos tiene otras dos variaciones respecto a la anterior. Por la Ley de los Cosenos, vemos que la fórmula nos da la medida de un lado desconocido de un triángulo. Sin embargo, un triángulo tiene tres lados y tres ángulos. En algunos casos, podemos necesitar aplicar este concepto a cualquiera de los otros lados si necesitamos hallar sus medidas. Consideremosel triángulo ABC que aparece a continuación.
Variaciones de la Ley de los Cosenos, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Aquí, el valor de a, b y c representa la longitud de cada lado de este triángulo. Los ángulos A, B y C describen respectivamente los ángulos opuestos de cada uno de estos lados. Existen tres formas de la Ley de los Cosenos para este triángulo.
\begin{align} a^2&=b^2+c^2-2bc\cos(A)\\b^2&=a^2+c^2-2ac\cos(B)\\ c^2&=a^2+b^2-2ab\cos(A)\end{align}
Las formas anteriores son adecuadas para hallar la longitud de un lado desconocido dadas las medidas de dos lados y su ángulo incluido. Sin embargo, si nos dan los valores de tres lados, puede que tengamos que realizar un largo trabajo de álgebra para determinar el ángulo desconocido. Para simplificar estos cálculos, podemos reordenar las expresiones anteriores de modo que obtengamos una fórmula explícita para el ángulo desconocido.
\Inicio \cos(A)&=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\\cos(B)&=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \\\cos(C)&=\frac{b^2+b^2-c^2}{2ab}\end{align}
Aplicación de la ley de los cosenos
En este apartado observaremos varios ejemplos prácticos que aplican la Ley de los Cosenos. Podemos aplicar la Ley de los Cosenos a cualquier triángulo dadas las medidas de dos casos:
El valor de dos lados y su ángulo incluido
El valor de tres lados
Resolución de un triángulo dados dos lados y su ángulo incluido
Resuelve un triángulo ABC dados b = 17, c = 16 y A = 83o.
Solución
Hagamos un esquema de este triángulo.
Ejemplo 1, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Empezamos utilizando la Ley de los Cosenos para hallar la longitud de a.
\begin{align}a^2&=b^2+c^2-2ac\cdot \cos(A)\\a^2&=17^2+16^2-2\cdot 17\cdot 16\cdot\cos(83)\\a^2&=545-544\cdot\cos(83)\\\Rightarrow a&=\sqrt{535-544\cdot(\cos(83)}\\a&\approx 21.88\fin{align}
Por tanto, a es aproximadamente 21,88 unidades. A partir de aquí, utilizaremos la Ley de los Senos para hallar el ángulo C.
\iniciar{alignar} \frac{\sin(A)}{a}&=\frac{\sin(C)}{c}\\\Rightarrow \sin(C)&=\frac{16\cdot \sin(83)}{21.88}\\\Rightarrow C&\approx 46.54^\circ\end{align}
Por tanto, C es aproximadamente 46,54o. Por último, podemos hallar el ángulo B mediante
\Inicio A+B+C&=180^\circ\\B&=180^\circ -A-C\approx 50.46^\circ\end{align}
Por tanto, B es aproximadamente 50,46o.
Resolver un triángulo dados tres lados
Resuelve el triángulo siguiente dados a = 14, b = 11 y c = 5.
Solución
Empezamos utilizando la Ley de los Cosenos para hallar el ángulo A.
\empezar \Cos(A)&=2frac{b^2+c^2-a^2} {2bc} Cos(A)&=2frac{11^2+5^2-14^2} {2\cdot 11 \cdot 5} Cos(A)&=-\frac{5} {11} Flecha derecha A&aproximadamente 117,04^circunferencia{final}.
Por tanto, A es aproximadamente 117,04o. A partir de aquí, utilizaremos la Ley de los Senos para hallar el ángulo B.
\begin{align}\frac{\sin(A)}{a}&=\frac{\sin(B)}{b}\\\Rightarrow \sin(B)&=\frac{11\cdot \sin(117.04)}{14}\\B&\approx 44.41^\circ\end{align}
Por tanto, B es aproximadamente 44,41o. Por último, podemos hallar el ángulo C mediante
\[A+B+C=180^\circ\Rightarrow C=180^\circ-A-B\approx 18.55^\circ\]
Por tanto, C es aproximadamente 18,55o.
Ejemplo real sobre la ley de los cosenos
Randy se está entrenando para una maratón. Comienza su recorrido corriendo 9 millas en una dirección. Después, gira y corre otros 11 km. Los dos tramos de su carrera forman un ángulo de 79o. ¿A qué distancia se encuentra Randy de su punto de partida al final del tramo de 11 millas de su carrera?
Solución
Empecemos por esbozar el esquema de este problema. La variable d representa la distancia desde el punto de partida de Randy y el final de su tramo de carrera de 11 millas.
Ejemplo del mundo real 2, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Aquí se nos dan las longitudes de dos lados y su ángulo incluido. Así, podemos utilizar la Ley de los Cosenos para hallar d.
\d^2&=9^2+11^2-2\cdot 9\cdot 11\cdot \cos(79)\d^2&=202-198\cdot (79)\d&==sqrt{202-198\cdot cos(79)}\d&=aproximadamente 12,81\ millasend{align}.
Por tanto, d es aproximadamente 12,81 millas.
Halla el ángulo de paso X realizado por el retropié de una persona cuyo paso tiene una media de 27 pulgadas y zancada media de 32 pulgadas.
Solución
Empecemos por esbozar el esquema de este problema. El punto verde representa cada paso dado por el retropié de una persona.
Ejemplo del mundo real 3, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Aquí se nos dan las longitudes de tres lados. Así, podemos utilizar la Ley de los Cosenos para hallar el ángulo del paso, X.
\Comienzo \cos(X)&=\frac{32^2+27^2-27^2}{2\cdot 32\cdot 27}\ \cos(X)&=\frac{1024}{1728}\\cos(X) &=\frac{16}{27}\ X&\aprox 53,66^\circ\c\pend{align}
Por tanto, X es aproximadamente 53,66o.
Resolución de triángulos oblicuos
Un triángulo oblicuo es aquel que no tiene ningún ángulo recto. A continuación encontrarás algunos ejemplos de triángulos oblicuos.
Triángulos oblicuos, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Para resolver estos triángulos, necesitamos la longitud de al menos un lado y el valor de los otros dos componentes de un triángulo dado. Si el triángulo tiene solución, entonces debemos elegir si empezamos nuestra solución aplicando la Ley de los Senos o la Ley de los Cosenos. La tabla siguiente nos ayuda a decidir en tales situaciones.
| Componentes dados | Método para empezar |
| Dos ángulos y un lado cualquiera | Ley de los senos |
Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos | Ley de los senos |
| Dos lados y su ángulo incluido | Ley de los cosenos |
| Tres lados | Ley de los cosenos |
Ley de los Cosenos - Puntos clave
- La Ley de los Cosenos establece que
\begin{align} a^2&=b^2+c^2-2bc\cos(A)\\b^2&=a^2+c^2-2ac\cos(B)\\ c^2&=a^2+b^2-2ab\cos(A)\end{align}
- Análogamente, esto puede escribirse de las formas
\Inicio \cos(A)&=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\\cos(B)&=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \\\cos(C)&=\frac{b^2+b^2-c^2}{2ab}\end{align}
- Podemos utilizar la Ley de los Cosenos para resolver triángulos dados
El valor de dos lados y su ángulo incluido
El valor de tres lados
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