Ley de cosenos

Ley de los cosenos

Antes de empezar, vamos a introducirnos en este tema recordando la razón de los cosenos y el teorema de Pitágoras. Así podremos unir ambos conceptos y deducir la Ley de los Cosenos, tal y como se ha mencionado anteriormente.

Recapitulación: La razón de los cosenos y el teorema de Pitágoras

Recordemos primero el Teorema de Pitágoras para un triángulo rectángulo dado con un ángulo θ.

Triángulo rectángulo, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Por tanto, viene dado por

\[c^2=a^2+b^2\].

Además, recuerda que el coseno de un ángulo se halla dividiendo el adyacente por la hipotenusa. Es lo que se conoce como razón coseno

\[\cos(\theta=\frac{adjacent}{hypotenuse}=\frac{b}{c}\].

Derivación de la ley de los cosenos

Ahora que hemos fijado las ideas anteriores, utilicémoslas como base para establecer la Ley de los Cosenos. Considera el triángulo ABC que aparece a continuación.

Ley de los Cosenos, Aishah Amri - StudySmarter Originals

El triángulo ABC se divide en dos triángulos: ABD y BCD. Estos dos triángulos son triángulos rectángulos divididos por el cateto perpendicular BD de medida h. El lado b también está dividido en dos tramos AD = x y CD = b - x. Además, la hipotenusa del triángulo ABD es AB = c mientras que la hipotenusa del triángulo BCD es BC = a.

Analicemos la relación entre las longitudes de a, b, c y el ángulo A. Por el Teorema de Pitágoras, podemos resolver el triángulo DBC mediante

Expandiendo (b - x⁾², obtenemos

\[a^2=b^2-2bx+x^2+h^2\]

Del mismo modo, podemos hacerlo para el triángulo ADB como

\[c^2=x^2+h^2\]

Sustituyendo esta expresión para ^x2 + ^h2 en la ecuación anterior, obtenemos

\[a^2=b^2-2bx+c^2\]

Observa que también podemos escribir x en forma de razón coseno como

\[\cos(A)=\frac{x}{c}flecha derecha x=c\cdot \cos(A)\]

Sustituyendo esta expresión por x, obtenemos

\[a^2=b^2-2bc\cdot \cos(A)+c^2\]

Aplicando la Propiedad Conmutativa y reordenando esto, obtenemos la Ley de los Cosenos

\a^2=b^2 +c^2 -2bc\cdot \cos(A)\]

como hemos dicho al principio de este apartado.

Variaciones de la Ley de los Cosenos

La Ley de los Cosenos tiene otras dos variaciones respecto a la anterior. Por la Ley de los Cosenos, vemos que la fórmula nos da la medida de un lado desconocido de un triángulo. Sin embargo, un triángulo tiene tres lados y tres ángulos. En algunos casos, podemos necesitar aplicar este concepto a cualquiera de los otros lados si necesitamos hallar sus medidas. Consideremosel triángulo ABC que aparece a continuación.

Variaciones de la Ley de los Cosenos, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Aquí, el valor de a, b y c representa la longitud de cada lado de este triángulo. Los ángulos A, B y C describen respectivamente los ángulos opuestos de cada uno de estos lados. Existen tres formas de la Ley de los Cosenos para este triángulo.

\begin{align} a^2&=b^2+c^2-2bc\cos(A)\\b^2&=a^2+c^2-2ac\cos(B)\\ c^2&=a^2+b^2-2ab\cos(A)\end{align}

Las formas anteriores son adecuadas para hallar la longitud de un lado desconocido dadas las medidas de dos lados y su ángulo incluido. Sin embargo, si nos dan los valores de tres lados, puede que tengamos que realizar un largo trabajo de álgebra para determinar el ángulo desconocido. Para simplificar estos cálculos, podemos reordenar las expresiones anteriores de modo que obtengamos una fórmula explícita para el ángulo desconocido.

\Inicio \cos(A)&=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\\cos(B)&=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \\\cos(C)&=\frac{b^2+b^2-c^2}{2ab}\end{align}

Aplicación de la ley de los cosenos

En este apartado observaremos varios ejemplos prácticos que aplican la Ley de los Cosenos. Podemos aplicar la Ley de los Cosenos a cualquier triángulo dadas las medidas de dos casos:

1. El valor de dos lados y su ángulo incluido

2. El valor de tres lados

Resolución de un triángulo dados dos lados y su ángulo incluido

Resolver un triángulo dados tres lados

Ejemplo real sobre la ley de los cosenos

Resolución de triángulos oblicuos

Un triángulo oblicuo es aquel que no tiene ningún ángulo recto. A continuación encontrarás algunos ejemplos de triángulos oblicuos.

Triángulos oblicuos, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Para resolver estos triángulos, necesitamos la longitud de al menos un lado y el valor de los otros dos componentes de un triángulo dado. Si el triángulo tiene solución, entonces debemos elegir si empezamos nuestra solución aplicando la Ley de los Senos o la Ley de los Cosenos. La tabla siguiente nos ayuda a decidir en tales situaciones.