Ley de los Senos: Trigonometría, Fórmulas

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Problema del mundo real, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Entonces, ¿cómo determinarías este ángulo? Aquí es donde entra en juego la Ley de los Senos. Efectivamente, podemos utilizar este concepto para hallar este ángulo. No sólo eso, sino que incluso podríamos hallar la distancia diagonal entre tú y la cometa. ¿No es bastante ingenioso? En este tema exploraremos la Ley de los Senos y observaremos sus aplicaciones al resolver triángulos.

Ley de los Senos

Antes de abordar el tema principal de este artículo, veamos primero el área de un triángulo bajo una nueva luz. A continuación, pretendemos unir la idea de la Ley de los Senos junto con el área de un triángulo y la Relación Seno. Verás que estos conceptos encajan a la perfección. Empecemos recordando la Relación Seno.

Recapitula: El cociente seno

A continuación se muestra un triángulo rectángulo con un ángulo θ.

Triángulo rectángulo, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Recuerda que el seno de un ángulo se obtiene dividiendo el opuesto por la hipotenusa. Esto es el cociente seno.

$\sin θ = \frac{o p p o s i t e}{h y p o t e n u s e}$

Hallar el área de un triángulo

Además, recuerda que el área de un triángulo viene dada por la siguiente fórmula.

$A r e a △ = \frac{1}{2} \times h e i g h t \times b a s e$

Ahora que hemos establecido la relación entre el seno y el área de un triángulo, observemos su relación. Considera el triángulo siguiente.

Área de un triángulo, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Podemos hallar el área de este triángulo dadas su base y su altura. Utilizando la fórmula, el área del triángulo de arriba viene dada por:

A r e a △ A B C = \frac{1}{2} c h

Supongamos que aquí la altura fuera desconocida. Sin embargo, podemos hallar el área de este triángulo. De hecho, podemos hacerlo dado el ángulo A y la longitud del lado b. Para determinar la altura, utilizaremos la razón seno para el ángulo A.

$\sin A = \frac{h}{b}$

Por tanto, $h = b \sin A$ .

Ahora que tenemos una expresión para h, sustituyámosla en la fórmula inicial del área de este triángulo.

$A r e a △ A B C = \frac{1}{2} b c \sin A$

Del mismo modo, podemos hallar el área de este triángulo utilizando otras variaciones de esta fórmula. Ahora bien, ¿por qué habría distintas formas de expresar la fórmula anterior? Observa que la fórmula anterior está escrita en términos del ángulo A y de los lados b y c. Supongamos que tenemos un triángulo distinto y no se nos da la información sobre esas medidas. En su lugar, se nos dan las medidas de otros lados o ángulos. En este caso, tenemos que resolverlos según el par de lados que los acompañan y los ángulos correspondientes. Estas otras dos variantes se muestran a continuación.

$A r e a △ A B C = \frac{1}{2} a c \sin B A r e a △ A B C = \frac{1}{2} a b \sin C$

Veamos un ejemplo.

Halla el área de un triángulo si A = ^31o, b = 22 cm y c = 18 cm.

Solución

Empecemos por dibujar este triángulo.

Ejemplo 1, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Por la fórmula dada, el área de este triángulo viene dada por:

$A r e a △ A B C = \frac{1}{2} b c \sin A \Rightarrow A r e a △ A B C = \frac{1}{2} \times 22 \times 18 \times \sin (31) \Rightarrow A r e a △ A B C \approx 101.98 c m^{2} (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

Por tanto, el área de este triángulo es aproximadamente 101,98 ^cm2.

La ley de los senos

¿De dónde viene la Ley de los Senos? Dadas nuestras ideas anteriores, básicamente hemos construido una base para deducir la Ley de los Senos.En primer lugar, observaque todas las fórmulas de área del triángulo ABC describen el área del mismo triángulo.

Derivación de la Ley de los Senos, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Esto significa que el lado derecho de las tres expresiones equivale al mismo valor. Teniendo esto en cuenta, hagamos que estas áreas sean iguales entre sí.

$\frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} a c \sin B = \frac{1}{2} a b \sin C$

Ahora, dividiendo toda esta expresión por $\frac{1}{2} a b c$ y simplificándola, obtenemos la Ley de los Senos.

$\Rightarrow \frac{\frac{1}{2} b c \sin A}{\frac{1}{2} a b c} = \frac{\frac{1}{2} a c \sin B}{\frac{1}{2} a b c} = \frac{\frac{1}{2} a b \sin C}{\frac{1}{2} a b c} \Rightarrow \frac{s i n A}{a} = \frac{s i n B}{b} = \frac{s i n C}{c}$

Ley de los senos: Para cualquier triángulo ABC, $\frac{s i n A}{a} = \frac{s i n B}{b} = \frac{s i n C}{c}$ .

La Ley de los Senos puede escribirse como tres ecuaciones separadas, como se indica a continuación.

$\frac{s i n A}{a} = \frac{s i n B}{b} \frac{s i n B}{b} = \frac{s i n C}{c} \frac{s i n A}{a} = \frac{s i n C}{c}$

Aplicación de la ley de los senos

Podemos aplicar la Ley de los Senos a cualquier triángulo dadas las medidas de dos casos:

El valor de dos ángulos y un lado cualquiera
El valor de dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos

Veamos algunos ejemplos trabajados que aplican la Ley de los Senos.

Resolución de un triángulo dados dos ángulos y un lado

Dado el triángulo siguiente, halla el ángulo de A y la longitud de a y c.

Ejemplo 2, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Solución

Nos dan los ángulos B = ^80o y C = ^40o y el lado b = 14 cm.

Aquí tenemos el valor de dos ángulos y un lado.

Empezamos por hallar el ángulo A. Recordemos que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a ^180o.

$A + B + C = 180^{o} \Rightarrow A = 180^{o} - B - C \Rightarrow A = 180^{o} - 80^{o} - 40^{o} \Rightarrow A = 60^{o}$

Por tanto, el ángulo A es igual a ^60o. Ahora utilizaremos la Ley de los Senos para hallar las longitudes de a y c.

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} \Rightarrow \frac{\sin (60)}{a} = \frac{\sin (80)}{14} \Rightarrow a = \frac{14 \sin (60)}{\sin (80)} \Rightarrow a \approx 12.31 c m (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s) \frac{\sin C}{c} = \frac{\sin B}{b} \Rightarrow \frac{\sin (40)}{c} = \frac{\sin (80)}{14} \Rightarrow c = \frac{14 \sin (40)}{\sin (80)} \Rightarrow c \approx 9.14 c m (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

Así, a y c miden aproximadamente 12,31 cm y 9,14 cm respectivamente.

Resolución de un triángulo dados dos lados y un ángulo

Dado el triángulo siguiente, halla el ángulo de B y C y la longitud de b.

Ejemplo 3, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Solución

Nos dan el ángulo A = ^27o y los lados a = 10 cm y c = 12 cm.

Aquí tenemos el valor de dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos.

Empezamos evaluando el ángulo C mediante la Ley de los Senos que aparece a continuación.

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin C}{c} \Rightarrow \frac{\sin (27)}{10} = \frac{\sin C}{12} \Rightarrow \sin C = \frac{12 \sin (27)}{10} \Rightarrow C = \sin^{- 1} (\frac{12 \sin (27)}{10}) \Rightarrow C \approx 33 . 01^{o} (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

Así, el ángulo C es aproximadamente 33,^01o. Para hallar el ángulo B, restaremos el valor de los ángulos A y C de ^180o.

$A + B + C = 180^{o} \Rightarrow B = 180^{o} - A - C \Rightarrow B \approx 180^{o} - 27^{o} - 33 . 01^{o} \Rightarrow B \approx 119 . 99^{o} c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

Así, el ángulo B es aproximadamente 119,^99o. Por último, podemos hallar la longitud de b utilizando la Ley de los Senos.

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} \Rightarrow \frac{\sin (27)}{10} = \frac{\sin (119.99)}{b} \Rightarrow b = \frac{10 \sin (119.99)}{\sin (27)} \Rightarrow b \approx 19.08 c m (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

Así, b mide aproximadamente 19,08 cm.

Soluciones de un triángulo

Un triángulo puede tener o no una solución única dado el valor de dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos. Para identificar el número de soluciones que puede tener un triángulo, es importante analizar el ángulo dado y las longitudes de los lados dados de un triángulo antes de aplicar la Ley de los Senos. Respecto al ángulo dado, debemos identificar si se trata de un ángulo recto, agudo u obtuso. Hay tres casos a considerar para un triángulo dado el valor de dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos:

Ninguna solución = No existe ningún triángulo
Una solución = Existe exactamente un triángulo
Dos soluciones = Existen dos triángulos

Si existen dos soluciones para un triángulo, se denomina caso ambiguo.

Supongamos que se nos proporcionan los valores del ángulo A y de los lados a y b de un triángulo dado. La tabla siguiente resume los criterios para cada caso de un triángulo dado.

Número de soluciones	A es Agudo A < ^90o	A es Recto u ObtusoA ≥ ^90o
Sin soluciones	Glencoe McGraw-Hill, Álgebra 2 (2008) a < b sen A	Glencoe McGraw-Hill, Álgebra 2 (2008) a ≤ b
Una solución	Glencoe McGraw-Hill, Álgebra 2 (2008) a = b sen A	Glencoe McGraw-Hill, Álgebra 2 (2008) a > b
Una solución	Glencoe McGraw-Hill, Álgebra 2 (2008) a ≥ b	Glencoe McGraw-Hill, Álgebra 2 (2008) a > b
Dos soluciones	Glencoe McGraw-Hill, Álgebra 2 (2008) b > a > b sen A

Una solución

Para el triángulo ABC en el que B = ^95o, b = 19 y c = 12, identifica si ABC no tiene solución, tiene una solución o tiene dos soluciones.

Solución

Como el ángulo B es obtuso y b > c, debemos tener una solución. El triángulo ABC se dibuja a continuación.

Ejemplo 4, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Usemos ahora esto para hallar los ángulos A y C y el lado a. Usando la Ley de los Senos

$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} \Rightarrow \frac{\sin (95)}{19} = \frac{\sin C}{12} \Rightarrow \sin C = \frac{12 \sin (95)}{19} \Rightarrow C = \sin^{- 1} (\frac{12 \sin (95)}{19}) \Rightarrow C \approx 38 . 99^{o} (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

Así, el ángulo C es aproximadamente 38,^99o. Por tanto, podemos hallar el ángulo A como

$A = 180^{o} - B - C \Rightarrow A \approx 180^{o} - 95^{o} - 38 . 99^{o} \Rightarrow A \approx 46 . 01^{o} (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

El ángulo A mide aproximadamente 46,^01o. De nuevo, aplicando la ley de los senos

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} \Rightarrow \frac{\sin (46.01)}{a} = \frac{\sin (95)}{19} \Rightarrow a = \frac{19 \sin (46.01)}{\sin (95)} \Rightarrow a \approx 13.72 (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

Por tanto, la longitud de a es de aproximadamente 13,72 unidades.

Sin soluciones

Para el triángulo ABC en el que B = ^95o, b = 10 y c = 12, determina si ABC no tiene solución, tiene una solución o tiene dos soluciones.

Solución

Como el ángulo B es obtuso y b < c, no hay soluciones. Más exactamente, no existe tal triángulo para estas dimensiones dadas.

Dos soluciones

Para el triángulo ABC en el que A = 44°, b = 19 y a = 14, especifica si ABC no tiene solución, tiene una solución o tiene dos soluciones.

Solución

Aquí, el ángulo A es agudo. Además, evaluando b sen A, obtenemos:

$b \sin A = 19 \sin (44) \Rightarrow b \sin A \approx 13.2 (c o r r e c t t o o n e d e c i m a l p l a c e)$

Ahora compara esto con el valor dado de a y b. Observa que b > a > b sen A y, por tanto, debemos tener dos soluciones. A continuación se muestra el esquema de este triángulo.

Ejemplo 5, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Utilicémoslo ahora para hallar los ángulos y lados desconocidos. Aquí hay que considerar dos casos.

Caso 1: B es Agudo,_B1

Utilizando la ley de los senos

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B_{1}}{b} \Rightarrow \frac{\sin (44)}{14} = \frac{\sin B_{1}}{19} \Rightarrow \sin B_{1} = \frac{19 \sin (44)}{14} \Rightarrow B_{1} = \sin^{- 1} (\frac{19 \sin (44)}{14}) \Rightarrow B_{1} \approx 70 . 52^{o} (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

Por tanto, el ángulo_B1 es aproximadamente 70,^52o. Por tanto, podemos hallar el ángulo _C1 como

$C_{1} = 180^{o} - A - B_{1} \Rightarrow C_{1} \approx 180^{o} - 44^{o} - 70 . 52^{o} \Rightarrow C_{1} \approx 65 . 48^{o} (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

De nuevo, aplicando la Ley de los Senos

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin C_{1}}{c_{1}} \Rightarrow \frac{\sin (44)}{14} = \frac{\sin (65.48)}{c_{1}} \Rightarrow c_{1} = \frac{14 \sin (65.48)}{\sin (44)} \Rightarrow c_{1} \approx 18.34 (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

Por tanto, la longitud de _c1 es de aproximadamente 18,34 unidades.

Caso 2: B es obtuso,_B2

Observa que el triángulo_{B1 C3}_B3_esun triángulo isósceles. Recuerda que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son siempre congruentes. Por tanto, los ángulos_B1 y B3_sonaproximadamente 70,^52o.

Además, los triángulos_{B1 C1}_B3 y A_B2_C2 son suplementarios. Por tanto,_B2 puede hallarse mediante ^180o - 70,^52o ≈ 109,^48o.

Otra forma de hallar_B2 es identificar un ángulo obtuso cuyo seno sea también

\frac{19 \sin (44)}{14} \approx 0.94

Lo hacemos restando a ^180o el ángulo de_{B1 =} 70,^52o hallado en el caso 1.

Así,_B2 es aproximadamente ^180o - 70,^52o ≈ 109,^48o, como antes. Por tanto, podemos hallar el ángulo _C2 como

$C_{2} = 180^{o} - A - B_{2} \Rightarrow C_{1} \approx 180^{o} - 44^{o} - 109 . 48^{o} \Rightarrow C_{1} \approx 26 . 52^{o} (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

Utilizando una vez más la ley de los senos

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin C_{2}}{c_{2}} \Rightarrow \frac{\sin (44)}{14} = \frac{\sin (26.52)}{c_{2}} \Rightarrow c_{2} = \frac{14 \sin (26.52)}{\sin (44)} \Rightarrow c_{2} \approx 9.0 (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

Por tanto, la longitud de _c2 es aproximadamente 9,0 unidades.

Ejemplo real de la ley de los senos

La luz de la baliza de un barco gira en el sentido de las agujas del reloj a una velocidad constante de una revolución por minuto. El haz de luz incide en un punto de la costa que está a 1200 pies del barco. Cuatro segundos más tarde, la luz incide en un punto situado a 575 pies de la orilla. ¿A qué distancia está el barco de la orilla?

Solución

Empecemos por esbozar el esquema de este problema.

Ejemplo de barco, Aishah Amri - StudySmarter Originals

La baliza da una vuelta cada 60 segundos. Por tanto, el ángulo por el que gira la luz en 4 segundos es

$\frac{4}{60} (360^{o}) = 24^{o}$

Para hallar el ángulo X, aplicaremos la Ley de los Senos.

$\frac{\sin X}{1200} = \frac{\sin (24)}{575} \Rightarrow \sin X = \frac{1200 \sin (24)}{575} \Rightarrow X = \sin^{- 1} (\frac{1200 \sin (24)}{575}) \Rightarrow X \approx 58 . 09^{o} (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

Ahora que tenemos el ángulo X, podemos utilizarlo para hallar el ángulo Y.

$X + A = 90^{o} (a n g l e s X a n d A a r e c o m p l e m e n t a r y) \Rightarrow 58 . 09^{o} + (Y + 24^{o}) \approx 90^{o} (\sin c e A = Y + 24^{o}) \Rightarrow Y \approx 90^{o} - 58 . 09^{o} - 24^{o} \Rightarrow Y \approx 7 . 91^{o}$

Por último, podemos determinar la distancia de la baliza a la orilla calculando d. Utilizaremos aquí la Relación de Coseno.

$\cos Y = \frac{a d j a c e n t}{h y p o t e n u s e} = \frac{A B}{A D} \Rightarrow \cos (7.91) \approx \frac{d}{1200} \Rightarrow d \approx 1200 \cos (7.91) \Rightarrow d \approx 1188.58 (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

Por tanto, la distancia de la baliza a la orilla es de aproximadamente 1188,58 pies.

Ley de los senos - Puntos clave

El área de un triángulo se puede hallar mediante

$A r e a △ A B C = \frac{1}{2} b c \sin A A r e a △ A B C = \frac{1}{2} a c \sin B A r e a △ A B C = \frac{1}{2} a b \sin C$

La Ley de los Senos establece que

$\frac{s i n A}{a} = \frac{s i n B}{b} \frac{s i n B}{b} = \frac{s i n C}{c} \frac{s i n A}{a} = \frac{s i n C}{c}$

Podemos utilizar la Ley de los Senos para resolver triángulos cuando nos dan
- El valor de dos ángulos y un lado cualquiera
- El valor de dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos
Soluciones de un triángulo
Número de soluciones A es Agudo A es Recto u Obtuso
0 a < b sen A
a ≤ b
1
a = b sen A
a ≥ b
a > b
2 b > a > b sen A

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Preguntas frecuentes sobre Ley de los Senos

¿Qué es la Ley de los Senos?

La Ley de los Senos es una relación matemática en un triángulo que establece que los lados del triángulo son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos.

¿Cómo se aplica la Ley de los Senos?

Para aplicar la Ley de los Senos, se utiliza la ecuación a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C), donde a, b, y c son los lados del triángulo y A, B, y C son sus ángulos opuestos.

¿Cuál es la fórmula básica de la Ley de los Senos?

La fórmula básica de la Ley de los Senos es a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C).

¿Cuándo se usa la Ley de los Senos?

La Ley de los Senos se usa para resolver triángulos oblicuos, aquellos que no tienen un ángulo recto, especialmente cuando se conocen medidas de ángulos y lados.

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