El significado de un mapa de identidad
Un mapa de identidad forma parte del Álgebra Lineal. También se conoce como función de identidad, relación de identidad, operador de identidad y transformación de identidad. Así que no te sorprendas si utilizamos estos términos indistintamente a medida que avanzamos.
En Matemáticas, un mapa muestra la relación entre dos conjuntos de elementos. Por tanto, puedes decir que un mapa de identidad muestra la relación entre elementos de conjuntos diferentes.
Un mapa de identidad es una función que toma un valor de entrada y escupe exactamente el mismo valor para la salida.
Por ejemplo, la función
es una función de identidad.
Los mapas de identidad también pueden representarse de otra forma: ¡La función de abajo también es un mapa de identidad!
En un mapa de identidad, el dominio y el codominio son idénticos - StudySmarter Originals
En esta imagen, los elementos del dominio son exactamente iguales que los elementos del codominio.
En un mapa de identidad, un codominio es una imagen especular de los valores de entrada (dominio).
El mapa de identidad a veces se denota como Id(x) = x.
Propiedades de los mapas de identidad
Los mapas de identidad tienen un par de propiedades clave:
Los elementos del dominio y del codominio del mapa son iguales (devuelve el valor de su entrada).
La gráfica de una función identidad es una recta con pendiente 1.
Ejemplos de mapas de identidad
También podemos representar un mapa de identidad en forma de gráfica. La gráfica de una función identidad es una recta que pasa por el origen. Practiquemos la identificación de mapas de identidad a partir de varios formatos.
Traza la gráfica de la siguiente función identidad.
Contesta:
La gráfica da:
En la gráfica puedes ver que tenemos una línea recta. Tomamos la entrada como x y la salida como y, formando la recta. Es decir, (1, 1), (2, 2), (3, 3) y (4, 4).
Utiliza la tabla siguiente para trazar una gráfica de la función f(x) y determinar si la función es una función identidad.
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| f(x) | -2 | -1 | 0 | 1 | 1 |
¿Cuál de las siguientes imágenes NO representa un mapa de identidad?
Contesta:
Esto puede ser un poco complicado, así que tienes que fijarte bien. Si observas la imagen A, verás que a corresponde a a, b corresponde a b, c corresponde a c y d corresponde a d. La salida es una imagen exacta de la entrada, es decir, es un mapa de identidad.
Si observas la segunda imagen, a mapea a c, b mapea a d, c mapea a b, y d mapea a a. Esto significa que no es un mapa de identidad porque los elementos no se mapean a sí mismos.
De la tercera imagen se desprende que todos los elementos se mapean a sí mismos. Por tanto, es un mapa de identidad.
Por tanto, la respuesta a la pregunta es B porque los elementos no se mapean a sí mismos.
Demuestra que es una función identidad y dibuja el mapa de identidad.
Contesta:
Para que la función sea idéntica, la entrada y la salida deben ser idénticas. Por tanto, lo que haremos aquí es introducir distintos valores de x y ver si la entrada y la salida son iguales.
Si x = 1,
Si x = 2
Si x = 4
Si x = 5,
Podemos ver que, independientemente del valor de x, la salida y la entrada seguirán siendo iguales. Esto significa que la función f es un mapa idéntico. La figura siguiente muestra el mapa de identidad.
Mapas de identidad en álgebra lineal
El mapa de identidad tiene una matriz llamada matriz identidad. Una matriz identidad es una matriz cuadrada en la que las diagonales tienen valores de 1, y el resto de la matriz se rellena con ceros.
A continuación se muestra un ejemplo de una matriz identidad de 2 x 2 y otra de 3 x 3.
Una matriz identidad de 2 x 2 -
Una matriz identidad de 3 x 3 -
Lo que ocurre con las matrices identidad es que cuando las multiplicas por sí mismas, obtienes de vuelta la misma matriz. Sean cuales sean las dimensiones de la matriz, siempre la obtendrás de vuelta cuando se multiplique por sí misma.
Veamos algunos ejemplos.
¿Cuál es el resultado de elevar al cuadrado una matriz identidad? ¿Y si elevas al cuadrado una matriz identidad?
Respuesta:
A matriz identidad es
Al elevar al cuadrado la matriz anterior se obtiene
A matriz identidad es
Si elevamos al cuadrado la matriz anterior, obtenemos
Como puedes ver, cuando una matriz identidad se multiplica por sí misma, el resultado es la matriz identidad. Por eso se relaciona con un mapa de identidad.
Puedes encontrar detalles sobre la multiplicación de matrices en nuestro artículo Operaciones con matrices
Mapas de identidad, funciones de identidad y transformaciones de identidad
Como ya se ha mencionado, el término "mapas de identidad" se utiliza indistintamente con "funciones de identidad" y "transformaciones de identidad" en el mundo de las Matemáticas.
Mapa de identidad - Puntos clave
- El término "mapa de identidad" se utiliza indistintamente con los términos "función de identidad", "relación de identidad", "operador de identidad" y "transformación de identidad".
- Los elementos del dominio y del codominio del mapa son los mismos.
- La gráfica de una función identidad es una línea recta.
- El mapa de identidad tiene una matriz llamada matriz de identidad.
- La matriz identidad está formada por unos en la diagonal y ceros en el resto.
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