Media geométrica

Fórmula de la media geométrica

Definición de media geométrica

Para el conjunto de n números $x_1,x_2,...,x_n$la fórmula de la media geométrica es la siguiente:

${\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\prod x_i}}\right)}^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x_1{x}_2...x_n}$

Ejemplos de media geométrica

La media geométrica en un triángulo

El cálculo de la media geométrica puede ser especialmente útil en geometría. Considera el siguiente triángulo ABCD:

Triángulo de la media geométrica, Jordan Madge- StudySmarter Originals

La altitud de un triángulo es una línea trazada desde el vértice concreto de un triángulo que forma una línea perpendicular a la base del triángulo. Así que en este triángulo, la altitud es la recta AC. También tenemos el lado izquierdo de BD, que es BC, así como el lado derecho de BD, que es CD.

Ahora, observa que si "separamos" el triángulo anterior, obtenemos dos triángulos más pequeños. También observamos que si giramos el triángulo de la izquierda, simplemente tenemos una versión más pequeña del triángulo de la derecha. Esto se muestra en el diagrama siguiente.

Explicación de la media geométrica, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Ahora, fíjate en que los dos triángulos BAC y ADC son matemáticamente similares, por lo que podemos utilizar razones para hallar las longitudes que faltan. Nombrando el lado izquierdo a, el lado derecho b, y la altura x, tenemos lo siguiente:

$$\begin{gathered} \frac{left}{altitude}=\frac{altitude}{right} \\ \Rightarrow \frac{a}{x}=\frac{x}{b} \\ \Rightarrow ab=x^2 \\ \Rightarrow x=\sqrt{ab} \end{gathered}$$

Por tanto, la altitud x puede calcularse hallando la media geométrica de a y b. Esto se conoce como teorema de la media geométrica de los triángulos.

Media geométrica frente a media aritmética

Cuando hablamos de la media de un conjunto de números, normalmente nos referimos a la media aritmética. La media aritmética es cuando tomamos la suma del conjunto de números y luego la dividimos entre cuántos números tenemos.

Fórmula de la media aritmética

La fórmula de la media aritmética es la siguiente:

$A=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum a_i}}$

Aquí, A se define como el valor de la media aritmética, n es cuántos valores hay en el conjunto y $a_i$ son los números del conjunto.

Diferencias entre la media geométrica y la aritmética

Hay varias diferencias clave entre la media geométrica y la aritmética. La primera diferencia, y la más obvia, es el hecho de que se calculan utilizando dos fórmulas distintas. En el ejemplo anterior, obtuvimos una media aritmética de 5 y una media geométrica de 4,72. Es importante señalar que la media geométrica siempre es menor o igual que la media aritmética. Por ejemplo, si tomamos el conjunto único $\left\{2\right\}$como sólo hay un número en este conjunto, la media geométrica es 2 y la media aritmética también es 2.

Además, la media aritmética puede utilizarse tanto para números positivos como negativos. Sin embargo, no ocurre lo mismo con la media geométrica; la media geométrica sólo puede utilizarse para un conjunto de números positivos. Esto se debe a que pueden producirse errores en eventualidades como sacar la raíz cuadrada de números negativos.

Además, utilizamos la media geométrica y la aritmética por motivos distintos. La media aritmética tiene multitud de usos cotidianos, sin embargo, la media geométrica se utiliza más cuando existe algún tipo de correlación entre el conjunto de números. Por ejemplo, en finanzas, la media geométrica se utiliza para calcular los tipos de interés. La media aritmética puede ser útil para hallar la temperatura media de una semana.