Definimos la mediana de un triángulo como el segmento de recta que une el vértice con el punto medio de su lado opuesto. En este artículo repasaremos la definición de mediana, sus distintas propiedades, la fórmula matemática y, por último, algunos ejemplos.
Al final de este artículo, serás capaz de:
Definir una mediana y relacionarla con el área de un triángulo.
Identificar y dibujar medianas en un triángulo.
Calcular la longitud de la mediana a partir de los lados y las coordenadas de un triángulo.
Significado de la mediana
¿Qué significa exactamente la mediana? Imagina que tienes un trozo de pizza que tienes que repartir entre tu amigo y tú. Para simplificar, vamos a llamar a esa pizza \(\bigtriangleup ABC\). Ahora ten en cuenta que tienes que repartir la pizza a partes iguales entre tus amigos. Aquí es donde la mediana puede ayudar.
Mediana de la porción de pizza, pexels.com
Elige un lado de la pizza, digamos el lado \(a\) (es decir, el lado \(BC\)), y corta la pizza por el segmento de recta que une el punto medio de la recta y el ángulo interior opuesto, como se muestra en la figura siguiente. ¡Hurra! Ahora tú y tu amigo podéis disfrutar de cantidades iguales de pizza. La línea imaginaria que corta la pizza en dos partes iguales es la mediana . Como todos los triángulos tienen \(3\) lados y \(3\) ángulos interiores. Siempre tendrá \(3\) medianas.
Una mediana es una línea construida que une el punto medio de un lado con el ángulo interior opuesto.
Es interesante observar que el perímetro de un triángulo es siempre mayor que la suma de sus tres medianas.
¿Qué es un centroide?
Ahora que sabemos qué es una mediana, vamos a explorar qué es un centroide. El punto donde se cruzan las 3 medianas se llama centroide. El centroide es un punto de concurrencia . Un punto de concurrencia es un punto en el que se cruzan dos o más líneas. Como el punto de intersección de medianas, mediatrices y altitudes. El centroide siempre estará dentro del triángulo, a diferencia de otros puntos de concurrencia.
El punto de intersección de las tres medianas se llama centroide.
Fig. 1. Tres medianas con el centroide como punto de intersección.
El centroide tiene algunas propiedades interesantes. Siempre dividirá la mediana en una proporción \(2:1\). El centroide siempre está situado a dos tercios de la mediana desde el ángulo interior.
Entre el centroide y el ángulo interior hay dos partes de la mediana.
Entre el centroide y el lado opuesto está el resto de la mediana.
Visualicemos cómo se divide la mediana en una proporción de \(2:1\). Toma un \(\gran triángulo sobre ABC\) y dibuja las medianas \(3\) desde cada uno de los vértices. Sea ahora \(O\) el centroide del triángulo. Si \(AM\) es la mediana del triángulo desde el vértice \(A\) entonces \(2OM = OA\).
Fig. 2. El centroide divide la mediana en partes de \(2:1\).
En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto es la mitad de la longitud de la hipotenusa del triángulo. La mediana desde el ángulo recto del triángulo corta la hipotenusa en dos partes iguales y cada parte de la hipotenusa es igual a la longitud de la mediana.
Fig. 3. Mediana igual a la mitad de la hipotenusa.
En la figura anterior, La mediana \(AD\) corta la hipotenusa en dos partes iguales \(CD\) y \(BD\), de tal forma que \(AD=CD; AD=BD\).
Propiedades de la mediana
Las propiedades de una mediana pueden describirse como sigue:
Cualquier triángulo contiene 3 medianas con un punto de intersección llamado centroide.
El lado de unión de la mediana se divide en dos partes iguales.
Dos triángulos de igual tamaño y área se forman construyendo una mediana a partir de cualquiera de los vértices de un triángulo.
De hecho, cualquier triángulo se divide en 6 Triángulos más pequeños con igual área mediante 3 medianas del triángulo.
Mediana y Altitud de un triángulo
Puede resultar un poco confuso distinguir entre la mediana y la Altitud de un triángulo y es fácil considerar que ambas son lo mismo. Pero la mediana y la Altitud de un triángulo son dos elementos diferentes de un triángulo. La mediana de un triángulo es un segmento de recta que va de un vértice al punto medio de su lado opuesto. Mientras que la altitud de un triángulo es un segmento de recta perpendicular desde un vértice hasta su lado opuesto.
Fig. 4. Mediana y Altitud de triángulos.
En la figura anterior, \(AD, BE,\) y \(CF\) son las medianas del triángulo \(\gran triángulo sobre ABC\), y \(XM, YN,\) y \(ZO\) son las altitudes del triángulo \(\gran triángulo sobre XYZ\).
Diferencia entre mediana y altitud
Veamos la diferencia entre la mediana y la altitud de un triángulo.
| Mediana | Altitud |
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Fórmula de la mediana del triángulo
Se puede utilizar una fórmula básica para calcular la mediana de un triángulo. Veamos la fórmula de la mediana del triángulo para calcular la longitud de cada mediana.
Fig. 5. Tres medianas de un triángulo.
La fórmula de la primera mediana es la siguiente:
\[m_a=\sqrt{\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}\]
donde \(a, b,\) y \(c\) son las longitudes de los lados, y \(m_a) es la mediana del ángulo interior \(A\) al lado \('a'\).
La fórmula para calcular la segunda mediana de un triángulo es la siguiente:
\[m_b=\sqrt{\frac{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}{4}}\]
donde la mediana del triángulo es \(m_b\), los lados son \(a, b,\) y \(c\), y la mediana se forma en el lado \('b'\).
Análogamente, la fórmula de la tercera mediana de un triángulo es la siguiente
\[m_c=\sqrt{\frac{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}\]
donde la mediana del triángulo es \(m_c\), los lados del triángulo son \(a, b,\) y \(c\), y la mediana se forma en el lado \('c'\).
Pero entonces, ¿cómo calcularíamos la longitud utilizando sólo las coordenadas del triángulo? Primero estimamos los puntos medios del lado con la mediana utilizando la fórmula siguiente.
Fig. 6. Triángulo con punto medio y mediana.
\M(x_m, y_m)=\frac{(x_2+x_3)}{2}, \frac{(y_2+y_3)}{2}].
donde \(M(x_m,y_m)\) es uno de los puntos extremos de la mediana. Utilizando estas coordenadas y el punto restante, podemos calcular la longitud de la mediana. Hay que sustituir las coordenadas en la siguiente fórmula. Ésta es la fórmula de la distancia y da la distancia entre dos coordenadas cualesquiera en un plano 2D.
\[D=\sqrt{(x_m-x_1)^2+(y_m-y_1)^2}\]
donde \(D\) es la distancia entre los dos puntos y \((x_1,y_1) , (x_m,y_m)\) son las coordenadas de los puntos extremos de la mediana.
Del mismo modo, para calcular la distancia entre \((x_2,y_2)\) y el punto medio del lado opuesto \(AC\) utilizamos
\[D=\sqrt{(x_m-x_2)^2+(y_m-y_2)^2}\]
donde \(M(x_m, y_m)=\frac{(x_1+x_3)}{2}, \frac{(y_1+y_3)}{2}).
Y la distancia entre \((x_3,y_3)\) y el punto medio del lado opuesto \(AB\) se calcula mediante
\[D=\sqrt{(x_m-x_3)^2+(y_m-y_3)^2}\]
donde \(M(x_m, y_m)=\frac{(x_1+x_2)}{2}, \frac{(y_1+y_2)}{2}).
Ejemplos de medianas
Veamos algunos ejemplos de mediana para entenderla.
Halla la longitud de la mediana del triángulo dado \(ABC\) cuyos lados son \(AB = 10\, unidades\), \(BC = 6\, unidades\) y \(AC = 8\, unidades\), respectivamente, en el que AM es la mediana formada en el lado \(BC\).
Fig. 7. Triángulo con longitudes de lado.
Solución:
\[AM=\sqrt{\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}}\]
donde \(AB=10, BC=6, AC=8\)
Sustituyendo los valores en la fórmula, obtendremos, Mediana \(AM\),
\[AM=cuadrado{\frac{(2 veces 10^2)+(2 veces 8^2)-6^2}{4}} = 8,54\}].
Por tanto, la longitud de la mediana \(AM\) es \(8,54 \; unidades\).
Halla la longitud de la mediana \(AM\) si las coordenadas del triángulo \(ABC\) vienen dadas como, \(A (2,5), B (6,3), C (-3,0)\).
Fig. 8. Triángulo con coordenadas.
Solución:
Paso 1: Calcula las coordenadas del punto medio de \(BC\)
\bin{align}M(x,y)&=\frac{(x_1+x_2)}{2}, \frac{(y_1+y_2)}{2} \\&=frac(6+(-3))}{2}, \frac{3+0}{2} \\&=(1,5, 1,5)\pend{align}
Paso 2: Ahora que tenemos las coordenadas de los puntos extremos de la mediana, podemos calcular la longitud mediante la fórmula de la distancia.
\begin{align} xml-ph-0000@deepl.internal d&=\sqrt{(1.5-2)^2+(1.5-5)^2} \\&=cuadrado {(-0,5)^2+(-3,5)^2} \\&=cuadrado de 12,5 \\&=3,53\end{align}
Esto nos da la longitud de las unidades \(3,53).
Esto nos lleva al final del artículo, aquí están los puntos clave para refrescar lo que hemos aprendido hasta ahora.
Mediana - Puntos clave
- La mediana es un segmento de recta que une el vértice y el punto medio del lado opuesto.
- Divide el lado opuesto en dos partes iguales bisecándolo .
- La mediana divide el triángulo en dos triángulos de áreas iguales. Las \(3\) medianas dividirán el triángulo en \(6\) triángulos iguales.
- Cada triángulo tiene tres medianas, el punto de intersección de las medianas se llama centroide.
- La longitud de la mediana puede calcularse mediante la fórmula \[m_a=\sqrt{\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}\].
- La longitud también puede calcularse utilizando las coordenadas de los triángulos mediante la fórmula de la distancia y los puntos medios del lado opuesto. \(M(x_m, y_m)=\frac{(x_2+x_3)}{2}, \frac{(y_2+y_3)}{2}), donde M es el punto medio \(D=\sqrt{(x_m-x_1)^2+(y_m-y_1)^2}), donde \(D\) es la distancia.
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