Una figura plana de cuatro lados se conoce como cuadrilátero. En este artículo vamos a estudiar el tipo especial de cuadrilátero conocido como paralelogramo.
Definición de paralelogramo
Un cuadrilátero con 2 pares de lados opuestos paralelos se llama paralelogramo.
Sabemos que un cuadrilátero tiene 4 lados. En un paralelogramo, estos 4 lados están formados por 2 pares de lados paralelos opuestos.
El siguiente diagrama ilustra un paralelogramo.
Fig. 1: Ilustración de un paralelogramo.
En la figura anterior
- AB // CD
- AC // BD
Propiedades de los paralelogramos
Además de lo anterior, podemos identificar varias propiedades de los paralelogramos.
Utilizaremos el siguiente paralelogramo ABDC con diagonales d1=BC y d2=AD para ilustrar las propiedades.
Fig. 2: Paralelogramo con diagonales d1 y d2.
En un paralelogramo, los lados opuestos son iguales.
Esto significa que en el paralelogramo anterior, AB=CD y AC=BD.
En un paralelogramo, los ángulos opuestos son iguales.
Esto significa que enel paralelogramo anterior, ∠CAB=∠CDB y ∠ACD=∠ABD
En un paralelogramo, los ángulos consecutivos son suplementarios.
En cualquier paralelogramo, puedes identificar 4 pares de ángulos consecutivos. Éstos son siempre suplementarios (lo que significa que los ángulos suman 180 grados). En el paralelogramo anterior
∠CAB + ∠ABD = 180,
∠ABD + ∠BDC = 180,
∠BDC + ∠DCA = 180,
∠DCA + ∠CAB= 180.
Si cualquier ángulo de un paralelogramo es un ángulo recto, significa que los 4 ángulos internos son ángulos rectos.
Esto es una consecuencia directa de la propiedad anterior. Si cualquier ángulo de un paralelogramo es un ángulo recto, entonces el ángulo adyacente es 180-90=90 (según la propiedad anterior). A su vez, el siguiente ángulo adyacente será un ángulo recto y así sucesivamente. Por tanto, en cualquier paralelogramo, si identificas cualquier ángulo como ángulo recto, puedes concluir directamente que los 4 ángulos son ángulos rectos.
Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.
En el paralelogramo anterior, el punto O es el punto medio de las diagonales d1 y d2.
Cada diagonal de un paralelogramo separa al paralelogramo en dos triángulos congruentes.
En el paralelogramo anterior, la diagonal d1 dividiría el paralelogramo en dos triángulos congruentes, ΔABC y ΔBCD. Del mismo modo, la diagonal d2 dividiría el paralelogramo en dos triángulos congruentes, ΔABD y ΔACD.
Área de los paralelogramos
Considera el siguiente paralelogramo:
Fig. 3: Paralelogramo de base b y altura h.
El área de un paralelogramo viene dada por la fórmula
Área = b × h
donde b = base, h = altura
Ahora bien, el valor b es la longitud del lado AB, que aquí se considera la base. Convencionalmente, se toma como base uno de los lados más largos del paralelogramo. El valor h es la altura del paralelogramo. A veces también se denomina altitud. La altura es la longitud de la recta trazada desde la base hasta su lado opuesto. La altura es perpendicular a la base.
Paralelogramo: Ejemplos de problemas
En esta sección exploramos ejemplos de problemas matemáticos que puedes encontrar sobre paralelogramos y sus propiedades.
Un paralelogramo con una base de 8 pies tiene un área de 20 pies2. ¿Cuál es la altura del paralelogramo?
En el siguiente paralelogramo, ∠ABD = 47°, ∠CBD = 72°. Halla ∠CDA.
Fig. 4: Ilustración del paralelogramo.
∠ABC = ∠ABD + ∠CBD
= 47 + 72 = 119.
Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales. Por tanto
∠CDA = ∠ABC = 119°.
Diferentes tipos de paralelogramos
En esta sección, identificaremos 3 tipos especiales de paralelogramos, cada uno con sus propias características y propiedades:
Rombo
Cuadrado
Rombo
Un rombo es un cuadrilátero con sus 4 lados de igual longitud(equilátero). Resulta que los pares de lados opuestos de un rombo son siempre paralelos. Esto hace que todo rombo sea un paralelogramo. A la inversa, podemos decir que un paralelogramo equilátero es un rombo. Las diagonales de un rombo siempre se bisecan en ángulo recto.
Como un rombo es un tipo especial de paralelogramo, un rombo presenta también todas las propiedades de un paralelogramo.
Rectángulo
Un rectángulo es un paralelogramo con todos sus ángulos internos como ángulos rectos. Como todos los ángulos de un rectángulo son iguales, es equiángulo.
Puesto que un rectángulo es un tipo especial de paralelogramo, presenta también todas las propiedades de un paralelogramo.
Cuadrado
Un cuadrado es un cuadrilátero con sus 4 lados iguales y con todos sus ángulos como ángulos rectos. Esto hace que un cuadrado sea un tipo de paralelogramo, un tipo de rombo y un tipo de rectángulo. Así pues, un cuadrado demuestra todas las propiedades de los paralelogramos, rombos y rectángulos.
Paralelogramos - Puntos clave
- Un cuadrilátero con 2 pares de lados opuestos paralelos se llama paralelogramo.
- En un paralelogramo, los lados opuestos son iguales.
- En un paralelogramo, los ángulos opuestos son iguales.
- En un paralelogramo, los ángulos consecutivos son suplementarios.
- Si cualquier ángulo de un paralelogramo es un ángulo recto, significa que los 4 ángulos internos son ángulos rectos.
- Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.
- Cada diagonal de un paralelogramo separa al paralelogramo en dos triángulos congruentes.
- El área de un paralelogramo viene dada por la fórmula
Área = b × h
donde b = base, h = altura
Un rombo es un paralelogramo con 4 lados iguales.
Un rectángulo es un paralelogramo con todos los ángulos internos rectos.
Un cuadrado es un paralelogramo con 4 lados iguales y todos los ángulos rectos.
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