El criterio que determina si una forma es convexa o cóncava es la magnitud de los ángulos interiores.
Si todos los ángulos interiores son menores de 180° cada uno, entonces la forma se clasifica como convexa. Mientras que si alguno de los ángulos interiores es mayor de 180°, entonces la forma es cóncava. Los polígonos convexos se clasifican a su vez en polígonos regulares o irregulares en función de la longitud de los lados y de los ángulos interiores.
En este artículo repasamos qué es un polígono regular, sus propiedades y algunos ejemplos.
¿Qué es un polígono regular?
Un polígono regular tiene lados de igual longitud y ángulos interiores iguales.
Ejemplos de polígonos regulares son los triángulos equiláteros, los cuadrados, los rombos, etc.
Un polígono también tendrá diagonales de la misma longitud. Los polígonos regulares son en su mayoría convexos por naturaleza. En cambio, los polígonos regulares cóncavos a veces tienen forma de estrella. Trataremos en detalle las propiedades de los polígonos regulares convexos.
Propiedades de los polígonos regulares
Circunferencia e Incircunferencia
Hay dos circunferencias importantes que se pueden dibujar en un polígono regular.
- El círculo circunferencial está fuera del polígono regular convexo y pasa por todos sus vértices. El radio de la circunferencia es la distancia desde el centro del polígono a cualquiera de sus vértices.
- El círculo interior pasa por el punto medio de todos los lados del polígono y está dentro del polígono regular. El radio del círculo interior es la distancia entre el centro y un punto medio de cualquier lado. Esta distancia también se llama apotema del polígono.
Estas propiedades de un incirculo, un circuncirculo y un apotema sólo se encuentran en los polígonos regulares.
¿Qué podemos hacer con estas propiedades? Una aplicación interesante es poder calcular el área de un polígono regular utilizando el apotema . Cualquier polígono regular puede descomponerse en triángulos, Combinando esto con el apotema podemos calcular las áreas de cualquier polígono regular de lado N.
Calcula el área de un hexágono de lado s y apotema I.
Solución
Divide el hexágono en seis triángulos como se muestra en la imagen inferior. Observamos lo siguiente
- La base del triángulo es igual al lado del polígono (s).
- La altura del triángulo no es más que la apotema del polígono (l).
Para obtener el área de un polígono basta con calcular el área de un triángulo y multiplicarla por el número de lados.
Por tanto, el Área del hexágono =
Ejemplos de polígonos regulares
Los polígonos regulares de 3 lados se llaman triángulos equiláteros, los de 4 lados se llaman cuadrados. Los polígonos regulares de más de 4 lados se indican con un "regular" delante del nombre del polígono. Por ejemplo, un pentágono con lados y ángulos iguales se llama pentágono regular. A continuación se muestran algunos ejemplos de polígono regular (equiangular) convexo.
Fórmulas para polígonos regulares
Los polígonos regulares tienen unas cuantas propiedades interesantes asociadas a cada uno de sus atributos. Las veremos en los siguientes apartados.
Ángulos exteriores
En cualquier vértice de un polígono hay 2 ángulos elinterior y el exterior. El ángulo exterior se obtiene mediante el ángulo entre una arista prolongada y su arista consecutiva.
En un polígono regular convexo, la suma de todos los ángulos exteriores es siempre360° También se puede escribir como,
Ángulos interiores
Los ángulos interiores se forman entre dos lados adyacentes de un polígono. La suma de los ángulos interiores de un polígono dependerá del número de lados que tenga. Por ejemplo, todos los triángulos tendrán una suma total de 180°, los cuadriláteros tendrán una suma de 360°,etc. Pero ¿qué ocurre con un polígono de cien lados?
La suma de los ángulos interior y exterior en un vértice es siempre igual a 180°. Utilizando esta relación podemos derivar una ecuación general que sirve para hallar los ángulos interiores de cualquier polígono teniendo el número de lados.
Calcula los ángulos exteriores e interiores y la suma de todos los ángulos interiores de un decágono regular.
Ángulos de un decágono regular, tutors.com
Solución
Sabemos que, Ángulo exterior =
Análogamente, Ángulo interior =
Por tanto, suma de todos los ángulos interiores = N X 144°= 10 X 144°=1440°.
Diagonales de un polígono convexo
En un polígono de más de 3 lados, una diagonal es un segmento de recta entre dos puntos cualesquiera no consecutivos. A diferencia de los polígonos cóncavos, las diagonales de un polígono convexo siempre estarán dentro de la figura. Si un polígono tiene "N" lados, entonces el número de diagonales es igual a:
.
Calcula el número de diagonales de un heptágono.
Solución
Aplicando la fórmula obtenemos
Obtenemos un total de 14 diagonales, que se muestran en la figura anterior.
Con esto llegamos al final de este artículo. Repasemos lo que hemos aprendido hasta ahora.
Polígonos regulares - Puntos clave
- Un polígono con lados y ángulos interiores iguales se llama polígono regular.
- Todas las diagonales de un polígono regular tienen la misma longitud.
- La circunferencia pasa por todos los vértices de un polígono regular. El radio de la circunferencia se llama circunradio.
- El Incirculo pasa por los puntos medios de cada lado. El radio del círculo interior se llama apotema del polígono.
- Todo polígono regular puede descomponerse en triángulos más pequeños que pueden utilizarse para calcular su área.
- Todos los vértices de un polígono regular son equidistantes de su centro.
- La suma de los ángulos exteriores de un polígono regular es siempre igual a360°.
- La suma de todos los ángulos interiores de un polígono regular viene dada por
- El número de diagonales de un polígono de "N" lados viene dado por
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