Polígonos Regulares

¿Qué es un polígono regular?

Ejemplos de polígonos regulares son los triángulos equiláteros, los cuadrados, los rombos, etc.

Un polígono también tendrá diagonales de la misma longitud. Los polígonos regulares son en su mayoría convexos por naturaleza. En cambio, los polígonos regulares cóncavos a veces tienen forma de estrella. Trataremos en detalle las propiedades de los polígonos regulares convexos.

Propiedades de los polígonos regulares

Circunferencia e Incircunferencia

Hay dos circunferencias importantes que se pueden dibujar en un polígono regular.

• El círculo circunferencial está fuera del polígono regular convexo y pasa por todos sus vértices. El radio de la circunferencia es la distancia desde el centro del polígono a cualquiera de sus vértices.

• El círculo interior pasa por el punto medio de todos los lados del polígono y está dentro del polígono regular. El radio del círculo interior es la distancia entre el centro y un punto medio de cualquier lado. Esta distancia también se llama apotema del polígono.

Estas propiedades de un incirculo, un circuncirculo y un apotema sólo se encuentran en los polígonos regulares.

Circuncunferencia, incircunferencia y apotema, mathisfun.com

¿Qué podemos hacer con estas propiedades? Una aplicación interesante es poder calcular el área de un polígono regular utilizando el apotema . Cualquier polígono regular puede descomponerse en triángulos, Combinando esto con el apotema podemos calcular las áreas de cualquier polígono regular de lado N.

Ejemplos de polígonos regulares

Los polígonos regulares de 3 lados se llaman triángulos equiláteros, los de 4 lados se llaman cuadrados. Los polígonos regulares de más de 4 lados se indican con un "regular" delante del nombre del polígono. Por ejemplo, un pentágono con lados y ángulos iguales se llama pentágono regular. A continuación se muestran algunos ejemplos de polígono regular (equiangular) convexo.

Ejemplos de polígonos regulares, mathworld.wolfram.com

Fórmulas para polígonos regulares

Los polígonos regulares tienen unas cuantas propiedades interesantes asociadas a cada uno de sus atributos. Las veremos en los siguientes apartados.

Ángulos exteriores

En cualquier vértice de un polígono hay 2 ángulos elinterior y el exterior. El ángulo exterior se obtiene mediante el ángulo entre una arista prolongada y su arista consecutiva.

Ángulos exteriores de un polígono regular, geogebra.org

En un polígono regular convexo, la suma de todos los ángulos exteriores es siempre360° También se puede escribir como,

$\varnothing =360/N,whereNisthenumberofsidesand\varnothing istheexteriorangle.$

Ángulos interiores

Los ángulos interiores se forman entre dos lados adyacentes de un polígono. La suma de los ángulos interiores de un polígono dependerá del número de lados que tenga. Por ejemplo, todos los triángulos tendrán una suma total de 180°, los cuadriláteros tendrán una suma de 360°,etc. Pero ¿qué ocurre con un polígono de cien lados?

Ángulo interior de un polígono regular, socratic.org

La suma de los ángulos interior y exterior en un vértice es siempre igual a 180°. Utilizando esta relación podemos derivar una ecuación general que sirve para hallar los ángulos interiores de cualquier polígono teniendo el número de lados.

$$\begin{gathered} InteriorAngle=180°-ExteriorAngle \\ WealreadyknowtheExteriorangle=\frac{360°}{N},so \\ InteriorAngle=180°-\frac{360°}{N} \\ InteriorAngle=180°-\frac{360°}{N} \\ =(N\times \frac{180°}{N})-(2\times \frac{180°}{N}) \\ =(N-2)\times \frac{180°}{N} \\ \mathit{T}\mathit{h}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{e}\mathit{f}\mathit{o}\mathit{r}\mathit{e}\mathbf{,}\mathbf{}\mathit{I}\mathit{n}\mathit{t}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{i}\mathit{o}\mathit{r}\mathbf{}\mathit{a}\mathit{n}\mathit{g}\mathit{l}\mathit{e}\mathbf{=}\mathbf{}\mathbf{(}\mathit{N}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{}\mathbf{\times }\mathbf{}\frac{\mathbf{180}\mathbf{°}}{\mathbf{N}} \\ \mathit{A}\mathit{n}\mathit{d}\mathbf{}\mathit{S}\mathit{u}\mathit{m}\mathbf{}\mathit{o}\mathit{f}\mathbf{}\mathit{a}\mathit{l}\mathit{l}\mathbf{}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{t}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{i}\mathit{o}\mathit{r}\mathbf{}\mathit{a}\mathit{n}\mathit{l}\mathit{g}\mathit{l}\mathit{e}\mathit{s}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathit{N}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{}\mathbf{\times }\mathbf{}\mathbf{180}\mathbf{°} \end{gathered}$$

Diagonales de un polígono convexo

En un polígono de más de 3 lados, una diagonal es un segmento de recta entre dos puntos cualesquiera no consecutivos. A diferencia de los polígonos cóncavos, las diagonales de un polígono convexo siempre estarán dentro de la figura. Si un polígono tiene "N" lados, entonces el número de diagonales es igual a:

$Numberofdiagonals=\frac{N(N-3)}{2}$.

Con esto llegamos al final de este artículo. Repasemos lo que hemos aprendido hasta ahora.