Definición de producto vectorial
La multiplicación convencional de dos números está bien definida en este punto. Pero multiplicar dos vectores no es tan sencillo. El producto de dos vectores se puede realizar de dos formas distintas: por producto escalar o por producto vectorial. El producto escalar de dos vectores da como resultado una cantidad escalar, como su nombre indica. Mientras que el producto vectorial de dos vectores da como resultado un vector, razón por la que se denomina Producto vectorial.
El producto vectorial de dos vectores da un vector que está en la dirección perpendicular al plano formado por los dos vectores. La magnitud del vector resultante es el producto de las magnitudes de los dos vectores originales y el seno del ángulo entre sus direcciones.
Supongamos que hay dos vectores que forman entre sí el plano xy. El producto vectorial de estos vectores será perpendicular al plano xy, es decir, al eje z.
Derivación del producto vectorial
Sean dos vectores, \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\), y \(\theta\) el ángulo entre ellos.
El producto vectorial entre ellos se denota por \(\vec{A}\times\vec{B}) ('\(\times\)' no debe confundirse con un signo de multiplicación, aquí denota el producto vectorial), debido al símbolo de la cruz, el producto vectorial también se conoce equivalentemente como Producto Cruzado. Una vez establecidos los vectores y el ángulo entre ellos, veamos de nuevo la definición, pero de forma matemática:
El producto vectorial de dos vectores distintos de cero \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) viene dado por \(\vec{A}\times\vec{B}=AB\space \sin\theta\space\hat{n}\) donde \(A) y \(B\) son las magnitudes de los vectores y \(\theta\) es el ángulo agudo entre los dos vectores. Y \(\hat{n}\) representa un vector unitario en la dirección perpendicular al plano formado por los dos vectores.
Es importante especificar que ninguno de los vectores son vectores nulos, es decir, vectores cero. En ese caso, el producto vectorial no tiene significado geométrico. El producto vectorial da como resultado un vector que tiene magnitud \(AB\space \sin\theta\) y que apunta en la dirección perpendicular al plano formado por los dos vectores, es decir, perpendicular a ambos vectores simultáneamente.
Para demostrar cómo es esto, considera el diagrama siguiente:
Fig. 1. Dos vectores A y B forman otro vector como su producto vectorial.
Supongamos que los vectores están orientados de tal forma que se encuentran en el plano xy, es decir, que la componente z de los vectores es 0. Si tomamos el producto vectorial, puede imaginarse como girar el tornillo en la dirección de \(\vec{A}\) a \(\vec{B}\), que es la dirección contraria a las agujas del reloj. La dirección en la que avanzaría el tornillo es verticalmente hacia arriba, es decir, el eje z positivo. La flecha vertical es precisamente el vector formado por su producto vectorial. En el diagrama anterior, \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) tienen el mismo punto de partida, pero esto no es necesario. De hecho, pueden ser dos vectores cualesquiera, sólo se muestra aquí para representar visualmente el concepto.
Denotemos el vector resultante como \(\vec{C}\), entonces, según la definición
$$\vec{C}=AB\space \sin\theta\space\hat{n}$$
y la magnitud viene dada simplemente tomando el valor absoluto de ambos lados,
$$|\vec{C}|=AB\space \sin\theta$$
La magnitud del vector unitario pasa a ser \(1\) y sólo nos queda \(AB\space \sin\theta). Recuerda que \(||vec{C}|=C\), es sólo una cuestión de conveniencia sobre qué notación se prefiere (lo mismo vale para \(|vec{A}\) y \(|vec{B}\), o cualquier otro vector).
Para visualizar la dirección en la que apuntará el vector resultante, la regla del tornillo de la derecha es de gran ayuda. Basta con girar los dedos en la dirección del vector giratorio y observar la dirección del pulgar. Gira los dedos desde \(\vec{A}\) hacia \(\vec{B}\) y la dirección del pulgar te dará la dirección del vector resultante.
Forma componente del producto vectorial
Hasta ahora has aprendido lo que significa geométricamente un producto vectorial. Ahora veremos su forma algebraica con más detalle. Para generalizar el producto vectorial
Sea A un vector tal que \(\vec{A}=a_{1}hat{i}+a_{2}hat{j}+a_{3}hat{k}) donde \(a_{1},espacio a_{2} y espacio a_{3}) son constantes de valor real tales que no son simultáneamente \(0\) (de lo contrario sería un vector nulo) y \(vec{B}=b_{1}hat{i}+b_{2}hat{j}+b_{3}hat{k}) , donde \(b_{1},b_{2}\) y \(b_{3}\) son constantes de valor real y, de nuevo, no son simultáneamente \(0\). Aquí, \(\hat{i}, \hat{j}) y \(\hat{k}) representan los vectores unitarios en los ejes x, y y z, respectivamente. Ambos vectores y sus respectivos vectores unitarios se muestran en el siguiente diagrama:
Fig. 2. Dos vectores orientados al azar con el tercero identificando su producto vectorial.
Como ya hemos estudiado
$$\vec{A}\times\vec{B}=AB \espacio \sin\theta \espacio \hat{n}$$
Antes de evaluar la componente vectorial mediante las componentes \(x, y\) y \(z\), debemos comprender cómo se resuelven los vectores unitarios constituyentes. Por ejemplo, considera \(\hat{i}\times\hat{i}\), cuando se evalúa,
$$\hat{i}\times\hat{i}=(1)(1) \sin0^{o}=\vec{0}$$
Porque \(\sin0^{o}=0\) y la magnitud de todos los vectores unitarios es \(1\). Del mismo modo, \(\hat{j}\timeshat{j}=\vec{0}\) y \(\hat{k}\timeshat{k}=\vec{0}\), donde \(\vec{0}\) representa el vector nulo. Evaluando las demás relaciones, por ejemplo
$$\hat{i}\times\hat{j}=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\hat{k}=\hat{k}$$
Porque el ángulo entre el vector unitario a lo largo del eje x y el vector unitario a lo largo del eje y es de \(\frac{\pi}{2}\) radianes, lo que da el valor del seno de \(1\). Del mismo modo, podemos calcular las otras entidades, que son las siguientes
$$hat{j}\timeshat{i}=-\hat{k}, \space \hat{i}\timeshat{k}=-\hat{j}, \space \hat{k}\timeshat{i}=-\hat{j}, \space \hat{j}\timeshat{k}=-\hat{i}. \espacio texto y \space \hat{k}\times\hat{j}=-\hat{i}$$
Ahora, utilizando las entidades anteriores para los vectores unitarios, podemos calcular \(\vec{A}\times \vec{B}\) como sigue
$$\vec{A}\times\vec{B}=(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})$$
$$\vec{A}\times\vec{B}=(a_{2}b_{3}-b_{2}a_{3})\hat{i}-(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\hat{j}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\hat{k}$$
Se eliminan los productos cruzados que daban como resultado un vector nulo, y sólo nos queda la ecuación anterior. La ecuación anterior puede ser un poco tediosa de recordar a veces y no muy cómoda de escribir. En consecuencia, la ecuación anterior suele representarse mediante un determinante de \(3\) por \(3\), que es
$$\vec{A}\times\vec{B}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\b_{1} & b_{2} & b_{3} \fin{vmatrix}$$
que finalmente equivale a la ecuación derivada anteriormente. Pero el determinante es relativamente fácil de recordar. Para expresar verbalmente los elementos del determinante, la primera fila está formada por los vectores unitarios, la segunda fila y la tercera están formadas por las componentes escalares de los vectores. Veamos un ejemplo para familiarizarnos con el cálculo de dichos determinantes, en su caso, el producto vectorial.
Producto vectorial triple
El producto vectorial no se limita a dos vectores, sino que también puede extenderse a tres vectores distintos. Sean tres vectores distintos de cero \(\vec{A}, \space \vec{B} \space \text{y} \space \vec{C}) y queremos evaluar el triple producto vectorial entre ellos: \(vector A) \a veces (a veces \vec{B} \vec{C})\), donde el orden del producto vectorial es muy importante, ya que \(a veces \times (\vec{B} \times \vec{C}) \neq (\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C}), es decir, el triple producto vectorial no es asociativo. Existen esencialmente dos formas de calcular el triple producto vectorial: En primer lugar, calculando el producto vectorial de \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\) y, a continuación, haciendo su producto vectorial con \(\vec{C}\). Esto implica realizar dos productos vectoriales, uno tras otro.
Otra forma de calcular el producto vectorial es utilizando el producto punto:
$$ (\vec{A} \veces \vec{B}) \veces \vec{C}=(\vec{A} \cdot \vec{C}) \vec{B}-(\vec{B} \cdot \vec{C}) \vec{A} $$
Como puede verse, esta fórmula implica el producto punto de \(\vec{A}\) con \(\vec{C}\) y luego \(\vec{B}\) con \(\vec{C}\). En la práctica, los dos métodos anteriores son igualmente convenientes.
Para los vectores \(\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\}), \(\vec{b}=2 \hat{i}-\hat{k}\}) y \(\vec{c}=\hat{j}-\hat{k}\}), halla el Triple Producto Vectorial: \((\vec{a} \veces \vec{b}) \veces \vec{c}\)
Solución:
Utilizaremos la siguiente fórmula
$$ (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a} $$
Paso 1: Evaluación de \(\vec{a} \cdot \vec{c}\) :
$$ \begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{c} &=(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot(\hat{j}-\hat{k}) \cdot(\hat{j}-\hat{k}) &=0+1-1 \cdot \vec{a} \cdot \vec{c} &=0 \end{aligned} $$
Paso 2: Evaluar \(\vec{b} \cdot \vec{c}\) :
$$ \begin{aligned} \vec{b} \cdot \vec{c} &=(2 \hat{i}-\hat{k}) \cdot(\hat{j}-\hat{k}) \\ &=0+0+1 \\ &=1 \end{aligned} $$
Paso 3: Sustituyendo \(\vec{a} \cdot \vec{c}) y \(\vec{b} \cdot \vec{c}) en \(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}):
$$ \begin{aligned} (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} &=0-(1) \vec{a} &\=-\hat{i}-\hat{j}-\hat{k} \end{aligned} $$
Por tanto, \((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=-\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}).
Relación entre producto vectorial y producto escalar
Aunque el producto vectorial y el producto escalar son bastante diferentes en su aplicación geométrica y su significado, podemos relacionarlos de alguna manera. Recordemos que el producto escalar de dos vectores se define como
$$\vec{x}.\vec{y}=xy \space \cos\theta$$
Elevando ambos lados al cuadrado, obtenemos
$$(\vec{x}.\vec{y})^{2}=x^{2}y^{2} \space \cos^2}\theta$$
Y el producto vectorial entre ellos tiene la magnitud
$$|\\vec{x} \veces vec{y}|=xy \espacio \sin\theta$$
Elevando ambos lados al cuadrado, obtenemos
$$|\vec{x} \veces \vec{y}|^{2}=x^{2}y^{2} \sin^{2}\theta$$
Añadiendo ahora las dos ecuaciones que implican el producto vectorial y escalar:
$$(\vec{x}.\vec{y})^{2}+|\vec{x} \por \vec{y}|^{2}=x^{2}y^{2} \space (\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)$$
y sustituyendo ahora por la identidad trigonométrica \(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1\), obtenemos
$$(\vec{x}.\vec{y})^{2}+|\vec{x} \times \vec{y}|^{2}=x^{2}y^{2}$$
Es decir, la suma de los cuadrados de las magnitudes de los productos escalar y vectorial es igual al producto de los cuadrados de las magnitudes de esos vectores. Esta identidad es muy útil, ya que no implica explícitamente el ángulo entre los vectores.
Verifica la identidad que relaciona el producto punto y el producto vectorial: \((\vec{p} \cdot \vec{q})^{2}+||\vec{p} \veces \vec{q}|^{2}=p^{2} q^{2}\) para los vectores \(\vec{p}=2 \hat{i}-\hat{k}\) y \(\vec{q}=\hat{j}+\hat{k}\).
Solución:
Paso 1:
Evaluemos primero \(\vec{p}\cdot \vec{q}\):
$$ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{q} &=(2 \hat{i}-\hat{k}) \cdot(\hat{j}+\hat{k}) \cdot(\hat{j}+hat{k}) \cdot(\hat{j}+hat{k}) &=0+0-1 \tanto \vec{p} \cdot \vec{q} &=1 \end{aligned} $$
Paso 2:
Evalúa \(\vec{p} \veces \vec{q}) :
$$ \begin{aligned} \vec{p} \tiempos \vec{q} &=Izquierda|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 y 0 y -1 0 y 1 y 1 fin de la matriz derecha \por lo tanto, \vec{p} \vec{q} &=hat{i}(0+1)-hat{j}(2+0)+hat{k}(2-0) \ por lo tanto, \vec{p} \vec{q} &=hat{i}(0+1)-hat{j}(2+0)+hat{k}(2-0) \veces \vec{q} &=hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k} \fin{alineado} $$
Paso 3:
Evalúa \(p^{2} q^{2}\) :
$$ \begin{aligned} p=||\vec{p}| &=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}} \\ Por lo tanto, p &=qrt{5} \end{aligned} $$
Y para la magnitud de \(q\) :
$$ \begin{aligned} q=||\vec{q}| &=\sqrt{1^{2}+1^{2}} \\ Por lo tanto q &=qrt{2} \end{aligned} $$
Por tanto, \(p^{2} q^{2}=5 veces 2=10\)
Paso 4:
Verifiquemos \( \text{LHS} =(\vec{p} \cdot q)^{2}+||\vec{p} \q|^{2}) :
$$ \begin{aligned} \text {LHS } &=1^{2}+\left(1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}\right) \text {LHS } &=1+1+4+4 \text {LHS} &=10 \end{aligned} $$
Y para \( \text{RHS} =p^{2} q^{2}\), ya lo hemos calculado en el paso 3:
$$ \text {RHS }=10 $$
Se puede ver fácilmente que
$$ \text{LHS}= \text{RHS} $$
Por tanto, la identidad se ha verificado.
Producto vectorial puntual
El producto puntovectorial, también conocido simplemente como producto punto, es otra forma de multiplicar dos vectores aparte del producto vectorial. Un nombre alternativo pero igualmente utilizado para el producto escalar es producto escalar .
El producto punto entre dos vectores da como resultado una cantidad escalar, y no otro vector. La razón principal por la que existe el producto escalar es para medir la magnitud de un vector a lo largo de la dirección de otro vector.
Sean \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) dos vectores distintos de cero que forman entre sí un ángulo agudo \(\eta\). La fórmula del producto punto es la siguiente
$$\vec{a}\cdot \vec{b}=ab \space \cos\theta$$
Se puede observar que el resultado del producto escalar es una cantidad escalar.
Halla el producto punto de los vectores \(\vec{p}=4\hat{i}+3\hat{j}\) y \(\vec{p}=6\hat{i}-8\hat{j}\) donde el ángulo agudo entre los vectores es \(\pi/6\).
Solución:
Utilizando la fórmula del producto punto:
$$\vec{p} \cdot \vec{q}=pq \space \cos\theta$$
Sustituyendo por los valores adecuados:
$$\vec{p} \cdot \vec{q}=(\sqrt{4^{2}+3^{2}})(\sqrt{6^{2}+(-8)^{2}}) \espacio \cos(\pi/6)$$
$$\vec{p} \cdot \vec{q}=(5)(10) \space \left( \frac{1}{2} \right)$$
$$\vec{p} \cdot \vec{q}=25$$
Por tanto, el producto punto de los dos vectores \(\vec{p}=4\hat{i}+3\hat{j}\) y \(\vec{p}=6\hat{i}-8\hat{j}\) es \(25\) unidades.
Ejemplos de productos vectoriales
Calcula el producto vectorial de los vectores \(\vec{C}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) y \(\vec{D}=-\hat{i}+2\hat{k}\).
Solución:
Colocando los vectores unitarios y los componentes en la forma determinante, como se ha dicho antes, obtenemos
$$\vec{C}\times\vec{D}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \-1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$
Al expandir el determinante, obtenemos
$$\vec{C} \times \vec{D}=6\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}$$
que es el vector resultante obtenido por el producto vectorial de \(\vec{C}\) y \(\vec{D}\).
Para dos vectores \(\vec{p}=\hat{i}-2\hat{j}\) y \(\vec{q}=-2\hat{i}+\lambda\hat{j}\) tales que su producto vectorial es \(\vec{p}veces \vec{q}=2\hat{k}\). Calcula el valor de \(\lambda\).
Solución:
Utilizando la fórmula derivada anteriormente para calcular el producto vectorial de los dos vectores, tenemos
$$\vec{p} \times \vec{q}=\lambda\hat{k}-4\hat{k}=(\lambda-4)\hat{k}$$
Pero también se da que el producto vectorial es \(\vec{p} \times \vec{q}=2\hat{k}\), por lo que comparando el coeficiente del vector unitario, obtenemos
$$\lambda-4=2$$
lo que da \$(\$lambda=6$$).
Producto vectorial - Puntos clave
- El producto vectorial de dos vectores es un vector que apunta en la dirección perpendicular al plano formado por los dos vectores.
- Para dos vectores cualesquiera distintos de cero, \(|vec{x}\}) y \(\vec{y}\}) que forman entre sí un ángulo agudo \(\theta\}), su producto vectorial viene dado por \(||vec{x}\times \vec{y}|=xy \espacio \sin\theta \espacio \hat{n}\}).
- La dirección del vector resultante puede obtenerse mediante la regla del tornillo de la derecha, en la que los dedos señalan la dirección de los vectores y el pulgar apunta al vector resultante.
- El producto vectorial no es asociativo ni conmutativo, a diferencia del producto escalar, que sí es conmutativo.
- La suma de los cuadrados de los productos vectorial y escalar es igual al cuadrado del producto de las magnitudes de los vectores, es decir, \((\vec{x}.\vec{y})^{2}+|\vec{x} \times \vec{y}|^{2}=x^{2}y^{2}\).
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