Empecemos por definir qué es la reflexión, en el contexto de la Geometría.
Definición de reflexión en Geometría
En Geometría, la reflexión es una transformación en la que cada punto de una forma se desplaza una distancia igual a través de una línea determinada. La línea se llama línea de reflexión.
Este tipo de transformación crea una imagen especular de una forma, también conocida como inversión.
La forma original que se refleja se denomina imagen previa, mientras que la forma reflejada se conoce como imagen reflejada . La imagen reflejada tiene el mismo tamaño y forma que la preimagen, sólo que esta vez está orientada en sentido contrario.
Ejemplo de Reflexión en Geometría
Veamos un ejemplo para comprender mejor los distintos conceptos que intervienen en la reflexión.
La figura 1 muestra una forma triangular a la derecha del eje y(imagenprevia), que se ha reflejado sobre el eje y(línea de reflexión), creando una imagen especular(imagen reflejada).
Fig. 1. Ejemplo de reflexión de una forma sobre el eje y
Los pasos que debes seguir para reflejar una forma sobre una recta se indican más adelante en este artículo. ¡Sigue leyendo si quieres saber más!
Ejemplos reales de reflexión en geometría
Pensemos dónde podemos encontrar reflexiones en nuestra vida cotidiana.
a) El ejemplo más evidente será mirarte en el espejo y ver tu propia imagen reflejada en él, frente a ti. La figura 2 muestra un simpático gato reflejado en un espejo.
Fig. 2. Ejemplo real de reflejo - Un gato reflejado en un espejo
Cualquier cosa o persona que esté delante del espejo se reflejará en él.
b) Otro ejemplo podría ser el reflejo que ves en el agua. Sin embargo, en este caso, la imagen reflejada puede estar ligeramente distorsionada en comparación con la original. Véase la figura 3.
Fig. 3. Ejemplo real de reflejo - Un árbol reflejado en el agua
c) También puedes encontrar reflejos en objetos de cristal, como escaparates, mesas de cristal, etc. Véase la figura 4.
Fig. 4. Ejemplo real de reflejo - Personas reflejadas en un cristal
Ahora vamos a sumergirnos en las reglas que debes seguir para realizar reflexiones en Geometría.
Reglas de reflexión en Geometría
Las formas geométricas en el plano de coordenadas pueden reflejarse sobre el eje x, sobre el eje y o sobre una recta de la forma \(y = x\) o \(y = -x\). En los siguientes apartados describiremos las reglas que debes seguir en cada caso.
Reflexión sobre el eje x
La regla para reflejar sobre el eje x se muestra en la tabla siguiente.
| Tipo de reflexión | Regla de reflexión | Descripción de la regla |
| Reflexión sobre el eje x | \[(x, y) \rightarrow (x, -y)\}] |
|
Los pasos a seguir para realizar una reflexión sobre el eje x son:
Paso 1: Siguiendo la regla de reflexión para este caso, cambia el signo de las coordenadas y de cada vértice de la forma, multiplicándolas por \(-1\). El nuevo conjunto de vértices corresponderá a los vértices de la imagen reflejada.
\[(x, y) \arrow (x, -y)\]
Paso 2: Traza los vértices de las imágenes original y reflejada en el plano de coordenadas.
Paso3: Dibuja ambas formas uniendo sus vértices correspondientes con líneas rectas.
Veámoslo más claramente con un ejemplo.
Un triángulo tiene los siguientes vértices \(A = (1, 3)\), \(B = (1, 1)\) y \(C = (3, 3)\). Reflejalo sobre el eje x.
Paso 1: Cambia el signo de las coordenadas y de cada vértice del triángulo original, para obtener los vértices de la imagen reflejada.
\[\begin{align}\textbf{Imagen previa} &\rightarrow \textbf{Imagen reflejada} |(x, y) &\rightarrow (x, -y) |A= (1, 3) &\rightarrow A' = (1, -3) \B = (1, 1) &\flecha derecha B' = (1, -1)C = (3, 3) & flecha derecha C' = (3, -3)\end{align}\]Pasos 2 y 3: Traza los vértices de las imágenes original y reflejada en el plano de coordenadas, y dibuja ambas formas.
Fig. 5. Ejemplo de reflexión sobre el eje x
Observa que la distancia entre cada v értice de la imagen previa y la línea de reflexión (eje x) es la misma que la distancia entre su vértice correspondiente en la imagen reflejada y la línea de reflexión. Por ejemplo, los vértices \(B = (1, 1)\) y \(B' = (1, -1)\) están ambos a 1 unidad del eje x.
Reflexión sobre el eje y
La regla para la reflexión sobre el eje y es la siguiente:
| Tipo de reflexión | Regla de reflexión | Descripción de la regla |
| Reflexión sobre el eje y | \[(x, y) \rightarrow (-x, y)\}] |
|
Los pasos a seguir para realizar una reflexión sobre el eje y son prácticamente los mismos que para la reflexión sobre el eje x, pero la diferencia se basa en el cambio de la regla de reflexión. Los pasos en este caso son los siguientes
Paso 1: Siguiendo la regla de reflexión para este caso, cambia el signo de las coordenadas x de cada vértice de la forma, multiplicándolas por \(-1\). El nuevo conjunto de vértices corresponderá a los vértices de la imagen reflejada.
\[(x, y) \rightarrow (-x, y)\}]
Paso2: Traza los vértices de las imágenes original y reflejada en el plano de coordenadas.
Paso3 :Dibuja ambas formas uniendo sus vértices correspondientes con líneas rectas.
Veamos un ejemplo.
Un cuadrado tiene los siguientes vértices \(D = (1, 3)\), \(E = (1, 1)\), \(F = (3, 1)\) y \(G = (3, 3)\). Reflejalo sobre el eje y.
Paso 1: Cambia el signo de las coordenadas x de cada vértice del cuadrado original, para obtener los vértices de la imagen reflejada.
\[\begin{align}\textbf{Imagen previa} &\rightarrow \textbf{Imagen reflejada} \\(x, y) y flecha derecha (-x, y)D= (1, 3) y flecha derecha D' = (-1, 3)E = (1, 1) y\Flecha derecha E' = (-1, 1)F = (3, 1) Flecha derecha F' = (-3, 1)G = (3, 3) Flecha derecha G' = (-3, 3)\end{align}\]Pasos 2 y 3: Traza los vértices de las imágenes original y reflejada en el plano de coordenadas, y dibuja ambas formas.
Fig. 6. Ejemplo de reflexión sobre el eje y
Reflexión sobre las rectas y = x o y = -x
Las reglas de reflexión sobre las rectas \(y = x\) o \(y = -x\) se muestran en la tabla siguiente:
| Tipo de reflexión | Regla de reflexión | Descripción de la regla |
| Reflexión sobre la recta \(y = x\) | \[(x, y) flecha (y, x)\}] | Las coordenadas x y las coordenadas y de los vértices que forman parte de la forma se intercambian. |
| Reflexión sobre la recta \(y = -x\) | \[(x, y) \arrow (-y, -x)\}] | En este caso, las coordenadas x y las coordenadas y, además de intercambiarse, cambian de signo. |
Los pasos a seguir para realizar una reflexión sobre las rectas \(y = x\) y \(y = -x\) son los siguientes:
Paso 1: Al reflejar sobre la recta \(y = x\), intercambia los lugares de las coordenadas x y las coordenadas y de los vértices de la forma original.
\[(x, y) \arrow (y, x)\arrow (y, x)\]
Al reflejar sobre la recta \(y = -x\), además de intercambiar los lugares de las coordenadas x y las coordenadas y de los vértices de la forma original, también tienes que cambiar su signo, multiplicándolas por \(-1\).
\[(x, y) \arrowright (-y, -x)\]
El nuevo conjunto de vértices corresponderá a los vértices de la imagen reflejada.
Paso 2: Traza los vértices de las imágenes original y reflejada en el plano de coordenadas.
Paso3: Dibuja ambas formas uniendo sus vértices correspondientes con líneas rectas.
Aquí tienes un par de ejemplos para que veas cómo funcionan estas reglas. Primero vamos a realizar una reflexión sobre la recta \(y = x\).
Un triángulo tiene los siguientes vértices \(A = (-2, 1)\), \(B = (0, 3)\) y \(C = (-4, 4)\). Refléjala sobre la recta \(y = x\).
Paso 1: El reflejo es sobre la recta \(y = x\), por lo tanto, tienes que intercambiar los lugares de las coordenadas x y las coordenadas y de los vértices de la forma original, para obtener los vértices de la imagen reflejada.
\[\begin{align}\textbf{Imagen previa} &\rightarrow \textbf{Imagen reflejada} |(x, y) &\rightarrow (y, x) |A= (-2, 1) &\rightarrow A' = (1, -2) \B = (0, 3) &\C = (-4, 4) &\rightarrow C' = (4, -4)\end{align}\\]Pasos 2 y 3: Traza los vértices de las imágenes original y reflejada en el plano de coordenadas, y dibuja ambas formas.
Fig. 7. Ejemplo de reflexión sobre la recta \(y = x\)
Veamos ahora un ejemplo de reflexión sobre la recta \(y = -x\).
Un rectángulo tiene los siguientes vértices \(A = (1, 3)\), \(B = (3, 1)\), \(C = (4, 2)\) y \(D = (2, 4)\). Refléjala sobre la recta \(y = -x\).
Paso 1: El reflejo es sobre la recta \(y = -x\), por tanto, tienes que intercambiar los lugares de las coordenadas x y las coordenadas y de los vértices de la forma original, y cambiar su signo, para obtener los vértices de la imagen reflejada.
\[\begin{align}\textbf{Imagen previa} &\rightarrow \textbf{Imagen reflejada} |(x, y) &\rightarrow (-y, -x) |A= (1, 3) &\rightarrow A' = (-3, -1) \B = (3, 1) &\Flecha derecha B' = (-1, -3)C = (4, 2) Flecha derecha C' = (-2, -4)D = (2, 4) Flecha derecha D' = (-4, -2)\end{align}\\}Pasos 2 y 3: Traza los vértices de las imágenes original y reflejada en el plano de coordenadas, y dibuja ambas formas.
Fig. 8. Ejemplo de reflexión sobre la recta \(y = -x\)
Fórmulas de reflexión en geometría de coordenadas
Ahora que hemos explorado cada caso de reflexión por separado, vamos a resumir las fórmulas de las reglas que debes tener en cuenta al reflejar formas en el plano coordenado:
| Tipo de reflexión | Regla de reflexión |
| Reflexión sobre el eje x | \[(x, y) \rightarrow (x, -y)\}] |
| Reflexión sobre el eje y | \flechaderecha (-x, y)\[(x, y) flechaderecha (-x, y)\] |
| Reflexión sobre la recta \(y = x\) | \Reflexión sobre la recta (x, y) flecha derecha (y, x) |
| Reflexión sobre la recta \(y = -x) | \flecha derecha (-y, -x) |
Reflexión en Geometría - Puntos clave
- En Geometría, la reflexión es una transformación en la que cada punto de una figura se desplaza una distancia igual a través de una recta dada. La línea se llama línea de reflexión.
- La forma original que se refleja se denomina imagen previa, mientras que la forma reflejada se conoce como imagen reflejada.
- Al reflejar una forma sobre el eje x, cambia el signo de las coordenadas y de cada vértice de la forma original, para obtener los vértices de la imagen reflejada.
- Al reflejar una forma sobre el eje y, cambia el signo de las coordenadas x de cada vértice de la forma original, para obtener los vértices de la imagen reflejada.
- Al reflejar una forma sobre la recta \(y = x\), intercambia los lugares de las coordenadas x y las coordenadas y de los vértices de la forma original, para obtener los vértices de la imagen reflejada.
- Al reflejar una forma sobre la recta \ (y = -x\), intercambia los lugares de las coordenadas x y las coordenadas y de los vértices de la forma original, y cambia su signo, para obtener los vértices de la imagen reflejada.
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