Reflexiones deslizantes

Significado del reflejo de deslizamiento

El significado de reflejo de deslizamiento está en su nombre. El reflejo de deslizamiento tiene un efecto de deslizamiento y reflejo cuando se aplica a cualquier imagen.

Sólo hay dos datos que debes conocer al realizar operaciones de reflexión por deslizamiento: la regla de traslación y la línea sobre la que reflejar tu figura. En la siguiente figura se muestra un ejemplo sencillo de cómo funciona esto.

Quieres ver ésta y muchas más ilustraciones?

Regístrate gratis

Patrón de reflexión deslizante

Una reflexión de deslizamiento es una Simetría que sigue un patrón de transformaciones. El patrón de reflexión por deslizamiento consiste en dos transformaciones: reflexión sobre una recta y traslación a lo largo de la recta tomada. Por tanto, existe una reflexión de cualquier figura y una traslación (o deslizamiento) de esa figura.

Esta Composición es conmutativa, por lo que no importa si una imagen se refleja y luego se desliza o viceversa. Además, la forma y el tamaño siguen siendo los mismos tras la composición de reflexión por deslizamiento.

En el siguiente ejemplo de la imagen de los pasos, podemos ver los dos posibles patrones de reflexión de deslizamiento.

Quieres ver ésta y muchas más ilustraciones?

Regístrate gratis

La imagen resultante en ambos casos de composición - $T\circ r$ o $r\circ T$ será siempre la misma. En resumen, en la reflexión de deslizamiento, puedes ver primero la reflexión y luego la traslación o viceversa.

Fórmula de la reflexión de deslizamiento

Como ya hemos dicho, la reflexión por deslizamiento consiste en el proceso de convertir la figura $P$ en $P^{″}$. Sin embargo, este proceso consta de dos pasos:

• Trasladar la figura $P\text{arrow}{P}^{\prime }$.
• Reflejar la figura $P^{\prime }flechaderecha{P}^{″}$ .

La fórmula de la reflexión de deslizamiento es la secuencia de composición de las transformaciones de traslación y reflexión.

$$Flechaderecha\text{reflexión de deslizamiento}=T\circ r\text{o}r\circ T$$

Fórmula de traslación

Al realizar la traslación, utiliza las siguientes fórmulas de traslación:

• Una traslación positiva en el eje x desplazaría la imagen hacia la derecha, mientras que una traslación negativa en el eje x la desplazaría hacia la izquierda. \text{Traducción positiva}: (x,y) \rightarrow (x+h,y)\} \text{Traducción negativa}: (x,y) \rightarrow (x-h,y)\}
• La traslación positiva en el eje y desplazaría la imagen hacia arriba, mientras que la traslación negativa en el eje y desplazaría la imagen hacia abajo. \[\text{Traducción positiva}: (x,y) \rightarrow (x,y+k)\} \[\text{Traducción negativa}: (x,y) \rightarrow (x,y-k)\}
• La traslación combinada se produce desplazando el eje x y el eje y simultáneamente. \text{Traducción positiva del eje x,y}: (x,y) \rightarrow (x+h,y+k)\} \text{Traducción negativa del eje x,y}: (x,y) \rightarrow (x-h,y-k)\} \text{Traducción positiva del eje x y negativa del eje y}: (x,y) flecha derecha (x+h,y-k)\] \eje x negativo y traslación al eje y positiva}: (x,y) \flechaderecha (x-h,y+k)\]

¿Cuáles son las reglas de la reflexión?

• Reflexión sobre el $ejex$ : $(x,y)$ imagina $(x,-y)$.
• Reflexión sobre el eje Y : $(x,y)$ representa a ((-x,y)\).
• Reflexión sobre $y=x$ : \(x,y) es igual a (y,x).
• Reflexión sobre $y=-x$ : $(x,y)$ imágenes $(-y,-x)$.

Simetría de reflexión por deslizamiento con un ejemplo

Veamos cómo realizar la simetría de reflexión por deslizamiento con un ejemplo. Supongamos que tenemos una preimagen de $\text{gran}triángulosobreXYZ$ con coordenadas puntuales $X(-4,-1),Y(-6,-4),Z(-1,-3)$. Este triángulo $\text{grantri}ánguloarribaXYZ$ se traslada positivamente hacia la derecha con $10$ unidades formando $\text{grantri}ánguloarriba{X}^{\prime }{Y}^{\prime }{Z}^{\prime }$. Así, esta preimagen se desplaza hacia la derecha, añadiremos $10$ unidades al eje x de todos los puntos de coordenadas.

\[X(-4,-1) \a la derecha X'(-4+10,-1)=X'(6,-1)\a la izquierda].

$$Y(-6,-4)\text{flechaderecha}{Y}^{\prime }(-6+10,-4)=Y^{\prime }(4,-4)$$

$$Z(-1,-3)\text{flecha}derecha{Z}^{\prime }(-1+10,-3)=Z^{\prime }(9,-3)$$

Podemos ver esta traslación en la siguiente figura.

Quieres ver ésta y muchas más ilustraciones?

Regístrate gratis

Ahora la imagen trasladada $\text{tri}ángulograndearriba{X}^{\prime }{Y}^{\prime }{Z}^{\prime }$ se hace reflejada sobre el eje x. Es decir, tomaremos la negación de las coordenadas del eje y para todos los puntos.

\X'(6,-1) =X''(6,-(-1))=X''(6,1)

$$Y^{\prime }(4,-4)flecha{Y}^{″}(4,-(-4))=Y^{″}(4,4)$$

$$Z^{\prime }(9,-3)\text{flecha}derecha{Z}^{″}(9,-(-3))=Z^{″}(9,3)$$

Podemos ver la imagen reflejada $\text{gran}triánguloarriba{X}^{″}{Y}^{″}{Z}^{″}$ en la siguiente figura esta $\text{gran}triánguloarriba{X}^{″}{Y}^{″}{Z}^{″}$ es la imagen resultante de $\text{gran}triánguloarribaXYZ$ por reflexión de deslizamiento.

Quieres ver ésta y muchas más ilustraciones?

Regístrate gratis

Ejemplo de reflexión por deslizamiento

Como ya hemos dicho, las reflexiones de deslizamiento implican traslaciones y reflexiones sobre la misma figura. En realidad no importa qué se haga primero; la reflexión o la traslación, lo que importa es que la línea de reflexión sea paralela a la traslación. Veamos algunos ejemplos a continuación.

Dada una figura que es $P(-2,-3),Q(-3,-1),R(-5,-4)$,

a. Traduce $(x,y)\to (x+8,y)$.

b. Refleja en el eje x.

Solución:

Trazamos la imagen previa.

Quieres ver ésta y muchas más ilustraciones?

Regístrate gratis

Fig. 5. Preimagen del triángulo PQR.

Ahora nuestra figura se trasladará a $8$ unidades a la derecha para darnos $\text{grantri}ángulosobre{P}^{\prime }{Q}^{\prime }{R}^{\prime }$.

Encontrar $\text{grantri}ánguloarriba{P}^{\prime }{R}^{\prime }{Q}^{\prime }$ significa que añadiremos $8$ unidades al eje x de cada punto.

$$P(-2,-3)\to P^{\prime }(-2+8,-3)$$

$$P^{\prime }(6,-3)$$

$$Q(-3,-1)flechaderecha{Q}^{\prime }(-3+8,-1)$$

$$Q^{\prime }(5,-1)$$

\R(-5,-4) Flecha derecha R'(-5+8,-4)

$$R^{\prime }(3,-4)$$

La figura traducida tiene coordenadas $P^{\prime }(6,-3),Q^{\prime }(5,-1),R^{\prime }(3,-4)$.

Ahora querremos reflejar la figura trasladada para obtener $\text{gran}triángulosobre{P}^{″}{Q}^{″}{R}^{″}$.

La reflexión sobre el eje x significa ((x,y)|arriba (x,-y)\).

\P'(6,-3) flecha derecha P''(6,-(-3))\].

$$P^{″}(6,3)$$

$$Q^{\prime }(5,-1)flechaderecha{Q}^{″}(5,-(-1))$$

$$Q^{″}(5,1)$$

\R'(3,-4) flecha derecha R''(3,-(-4))

$$R^{″}(3,4)$$

Las coordenadas de la figura planeada y reflejada son ahora $P^{″}(6,3),Q^{″}(5,1),R^{″}(3,4)$.

Quieres ver ésta y muchas más ilustraciones?

Regístrate gratis

Fig. 6. Imagen del triángulo PQR.

Vamos a ver otro ejemplo.

Dado un triángulo que es $A(3,1),B(6,-2),C(4,5)$,

a. Traduce $(x,y)\to (x,y-2)$.

b. Refleja en el eje y.

Solución:

Traza el triángulo $\text{gran}triánguloarribaABC$.

Quieres ver ésta y muchas más ilustraciones?

Regístrate gratis

Fig. 7. Preimagen del triángulo ABC.

Trasladaremos el traiángulo $\text{gran}triángulosobreABC$ y lo llamaremos $\text{gran}triángulosobre{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Entonces, restaremos $2$ unidades al eje y de cada punto.

$$A(3,1)\text{flechaderecha}{A}^{\prime }(3,1-2)$$

$$A^{\prime }(3,-1)$$

$$B^{\prime }(6,-2)\text{flechaderecha}{B}^{\prime }(6,-2-2)$$

$$B^{\prime }(6,-4)$$

$$C^{\prime }(4,5)\text{flecha}derecha{C}^{\prime }(4,5-2)$$

$$C^{\prime }(4,3)$$

La figura traducida tiene coordenadas $A^{\prime }(3,-1),B^{\prime }(6,-4),C^{\prime }(4,3)$.

Ahora querremos reflejar la figura trasladada para obtener $\text{tri}ángulograndesobre{A}^{″}{B}^{″}{C}^{″}$.

La reflexión sobre el eje y significa $(x,y)\text{arrowright}(-x,y)$.

$$A^{\prime }(3,-1)\text{flechaderecha}{A}^{″}(-3,-1)$$

$$B^{\prime }(6,-4)flechaderecha{B}^{″}(-6,-4)$$.

$$C^{\prime }(4,3)\text{flechaderecha}{C}^{″}(-4,3)$$

Quieres ver ésta y muchas más ilustraciones?

Regístrate gratis

Fig. 8. Imagen del triángulo ABC.

Dado un triángulo cuyas coordenadas son $A(-5,3),B(-2,4),C(-1,0)$,

1. Trasládalo $(x,y)\text{arrowright}(x+4,y)$
2. Refleja sobre la recta \(y=x).

Solución:

Primero traza el triángulo $\text{gran}triángulosobreABC$.

Quieres ver ésta y muchas más ilustraciones?

Regístrate gratis

Fig. 9. Preimagen del triángulo ABC.

Encontrar $\text{grantri}ánguloarriba{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ significa que añadiremos $4$ unidades a la componente x de cada punto.

$$(x,y)flechaderecha(x+4,y)$$

$$A(-5,3)\text{flechaderecha}{A}^{\prime }(-5+4,3)$$

$$A^{\prime }(-1,3)$$

$$B^{\prime }(-2,4)\text{flechaderecha}{B}^{\prime }(-2+4,4)$$

$$B^{\prime }(2,4)$$

$$C^{\prime }(-1,0)\text{flechaderecha}{C}^{\prime }(-1+4,0)$$

$$C^{\prime }(3,0)$$

La figura trasladada tiene coordenadas $A^{\prime }(-1,3),B^{\prime }(2,4),C(3,0)$. Ahora la reflejaremos sobre la recta $y=x$. Reflejar sobre la recta $y=x)significaque\text{(}(x,y)sobre(y,x)$.

$$A^{\prime }(-1,3)\text{flechaderecha}{A}^{″}(3,-1)$$

$$B^{\prime }(2,4)\text{flechaderecha}{B}^{″}(4,2)$$.

$$C^{\prime }(3,0)\text{flechaderecha}{C}^{″}(0,3)$$

Quieres ver ésta y muchas más ilustraciones?

Regístrate gratis

Fig. 10. Imagen del triángulo ABC.