Rombos

Propiedades de los rombos

Ahora que ya hemos hablado de las características básicas de un rombo, vamos a considerar sus propiedades con más detalle.

Los rombos como paralelogramos

Hemos mencionado que los rombos son un tipo especial de paralelogramo, por lo que podemos decir que todas las propiedades de los paralelogramos se aplican también a los rombos. Veamos cómo las propiedades de los paralelogramos en general se aplican específicamente a los rombos:

• Los dos pares de lados opuestos de un rombo son paralelos.

• Los ángulos opuestos de un rombo son iguales.

• Las diagonales de un rombo se bisecan entre sí. En otras palabras, la intersección de las dos diagonales está en el punto medio de cada diagonal.

• Cada diagonal de un rombo divide al rombo en 2 triángulos congruentes.

Propiedades exclusivas de los rombos

Además de las propiedades relativas a los paralelogramos, existen otras propiedades específicas y exclusivas de los rombos. A continuación las describiremos con referencia al rombo ABCD:

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• Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí. Esto significa que son perpendiculares entre sí.
• Así, en el diagrama anterior $AC\perp BD$.
• A partir de esto, también podríamos decir que $\angle AOD=\angle COD=\angle COB=\angle AOB=90°$
• Cada diagonal de un rombo biseca un par de ángulos interiores opuestos.
• En otras palabras $\angle CAB=\angle CAD=\angle ACB=\angle ACD$ y $\angle ABD=\angle CBD=\angle ADB=\angle CDB$
• Los cuatro triángulos creados al sumar las diagonales de los rombos son congruentes. Por tanto, son matemáticamente idénticos, pero sólo están orientados de forma diferente.

Los triángulos congruentes de los rombos

Por las propiedades de los rombos, sabemos que sus diagonales dividen la forma en cuatro triángulos que son congruentes. ¿Qué significa que los triángulos sean congruentes? Dos o más triángulos son congruentes si son matemáticamente idénticos. En otras palabras, todos los lados y ángulos son iguales, aunque tengan orientaciones distintas. Recuerda también que los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.

Considera el rombo siguiente. Demuestra que para el rombo dado, AC ⊥ BD.

El símbolo matemático ⊥ significa "perpendicular a".

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Solución:

Por la definición de rombo:

$AB=BC=CD=DA$

Considera ahora los triángulos $AOB$ y $COB$:

El lado $OB$ es un lado de ambos triángulos. Ahora bien, $AB=BC$ya que $ABCD$ es un rombo. También tenemos $OA=OC$ya que $ABCD$ también es un paralelogramo y las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí. Por tanto, el triángulo $AOB$ es congruente con el triángulo $COB$. En otras palabras, son exactamente los mismos triángulos, sólo que girados en posiciones distintas.

Esto implica que:

$\angle AOB=\angle COB$

Además $\angle AOB$ y $\angle COB$ se encuentran en la misma recta. Por tanto,

$\angle AOB+\angle COB=180°$

por tanto,

$\angle AOB=\angle COB=180÷2=90°$

Análogamente podemos demostrar que

$\angle AOD=\angle COD=90°$

Por tanto $AC$ y $BD$ son perpendiculares. Es decir $AC\perp BD$.

Fórmula del área de los rombos

Disponemos de una fórmula específica para hallar el área de un rombo. Considera el siguiente rombo:

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Ahora, marquemos las diagonales de modo que $BD=d_1$ y $AC=d_2$.

El área del rombo viene dada por la fórmula:

$Area\mathit{}\mathit{=}\mathit{}\frac{\mathit{1}}{\mathit{2}}{d}_{\mathit{1}}{d}_{\mathit{2}}$

Como un rombo es un tipo de cuadrilátero, también tenemos una fórmula alternativa para hallar el área.

El área de cualquier cuadrilátero viene dada por la fórmula:

$Area\mathit{}\mathit{=}\mathit{}base\mathit{}\mathit{\times }\mathit{}height$

Así pues, dependiendo de las longitudes que tengamos, podemos utilizar cualquiera de las fórmulas anteriores para calcular el área de un rombo.

Ten en cuenta que cuando hablamos de área, utilizamos unidades cuadradas. Por ejemplo, si las longitudes de la base y la altura se dan ambas en centímetros, las unidades del área son centímetros al cuadrado ($c{m}^2$).

Más ejemplos de rombos

Ahora veremos otros problemas de ejemplo sobre rombos.

Considera el siguiente rombo. Dado que $\angle ACB=35°$ $\angle DBA$halla .

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Solución:

Recuerda que en un rombo, cada diagonal es bisectriz, lo que significa que tenemos un par de ángulos iguales. También sabemos que los ángulos opuestos en un rombo son iguales.

Por tanto,

$\angle ACB=\angle OAB=35°$

Ahora bien, antes hemos dicho que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí. Por tanto,

$\angle AOB=90°$

Puesto que $OAB$ forma un triángulo, y los ángulos de un triángulo suman $180°$podemos calcular $\angle DBA$:

$\angle DBA+\angle AOB+\angle OAB=180°$

Así pues, sustituyendo los ángulos conocidos, tenemos

$\angle DBA+90°+35°=180°$

lo que implica que

$\angle DBA+125°=180°$

Restando $180°$ de ambos lados, obtenemos

$\angle DBA=180°-125°=55°$

Por tanto, tenemos que $\angle DBA=55°$.

Considera el siguiente rombo representado a continuación. Dado que $\angle ADC=120°$halla $\angle OAD$.

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Solución:

Recuerda que la diagonal $BD$ biseca $\angle ADC$. Por tanto, tenemos

$\angle ADO=120°÷2=60°$.

También tenemos que $\angle DOA=90°$ debido a la bisectriz perpendicular.

Entonces, como los ángulos de un triángulo suman $180°$tenemos:

$\angle OAD=180°-90°-60°=30°$.

Por tanto, $\angle OAD=30°$.