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Pero, ¿qué ocurre cuando se trata de cualquier punto gráfico o de cualquier objeto geométrico? ¿Cómo podemos rotar estos objetos y encontrar su imagen? En esta sección, comprenderemos el concepto de rotación en forma de transformación y veremos cómo rotar cualquier imagen.
Significado de rotación
Las rotaciones son transformaciones en las que el objeto gira unos ángulos respecto a un punto fijo. Ejemplos de rotaciones son la aguja minutera de un reloj, el tiovivo, etc.
En todos los casos de rotación, habrá un punto central que no se verá afectado por la transformación. En el reloj, el punto en el que la aguja está fija en el centro no se mueve en absoluto. En otras palabras, la aguja gira alrededor del reloj en torno a este punto.
Girar un objeto \(\mathbf{\pm d^{\circ}}) alrededor de un punto \((a, b)\) es girar cada punto del objeto de modo que la línea que une los puntos del objeto y el punto \((a, b)\} gira un ángulo \(d^{\circ}}) en sentido horario o antihorario, según el signo de \(d\).
Si \(d\) es positivo, entonces es antihorario; en caso contrario, es negativo. En ambas transformaciones, el tamaño y la forma de la figura permanecen exactamente iguales. Denotamos rotación por \(R_{texto{ángulo}}).
Propiedades de la rotación
La preimagen y las imágenes tienen algunas propiedades interesantes de la rotación.
El mapeado en la rotación es de línea a línea, de segmento a segmento y de ángulo a ángulo.
Una rotación es una transformación en la que cada punto y su imagen tienen la misma distancia y el mismo ángulo desde el vértice.
Existe una congruencia entre la imagen previa y la imagen tras la rotación.
La rotación mantiene la misma orientación.
La distancia y el ángulo se conservan en la transformación de rotación.
Fórmula de rotación
Los giros alrededor de un eje suelen hacerse en el sentido de las agujas del reloj. Dado que la rotación en el sentido de las agujas del reloj se denota con una magnitud negativa, la rotación realizada en el sentido contrario a las agujas del reloj se denota con una magnitud positiva.
En general, la rotación puede producirse en cualquier punto con un ángulo de rotación poco común, pero nos centraremos en ángulos de rotación comunes como \(90^{circ}, 180^{circ}, 270^{circ}\)
La fórmula general de rotación sobre el origen \((0, 0)\) es la siguiente:
| Tipo de rotación | Punto en la imagen previa | Punto después de la rotación en el sentido de las agujas del reloj | Punto después de la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj |
| Rotación a \(90^{circ}\}) | \(x, y) | \(y, -x) | \(-y, x) |
| Rotación a \(180^{circ}\}) | \(x, y) | \(-x, -y) | \(-x, -y) |
| Rotación a \(270^{circ}\}) | \(x, y) | \(-y, x) | \(y, -x) |
Reglas de rotación en geometría
Hay algunas reglas básicas de rotación en geometría que deben seguirse al girar una imagen. Cualquier imagen previa sigue las siguientes reglas básicas al rotar:
Generalmente, el punto central para la rotación se considera \((0,0)\) a menos que se indique otro punto fijo.
El ángulo de rotación debe tomarse específicamente.
Ten en cuenta la dirección de la rotación, ya que influye enormemente en la posición de la imagen tras la rotación.
Rotación de \(90^{circ}\})
La rotación de \(90^{\circ}\) en el sentido de las agujas del reloj dará como resultado la imagen con \((y, -x)\). Así, las coordenadas \(x\) y \(y\) cambiarán de lugar y con la multiplicación de \(-1\) por la coordenada \(x\). Y para la rotación en sentido antihorario de \(90^{\circ}\), la imagen tendrá \((-y, x)\). La rotación de \(90^{circ}\}) también se considera \(-270^{circ}\}).
Rotación de \(180^{circ}\})
La imagen con rotación de \(180^{\circ}\}) en sentido horario o antihorario tendrá los mismos puntos de coordenadas de \((-x, -y)\}. Por tanto, \(-1\\) se multiplicará en ambas coordenadas sin cambiar de lugar. Aquí, la rotación de \(180^{circ}\}) también se toma como \(-180^{circ}\}).
Rotación de \(270^{circ}\})
Los puntos de coordenadas de una imagen previa se intercambian y la coordenada \(y\) se multiplica por \(-1\) al girar \(270^{\\circ}\}) en el sentido de las agujas del reloj. O se multiplica por \(-1\) con \(x\) después de intercambiarlas al girar \(270^{\c}\}) en sentido contrario a las agujas del reloj.
Ejemplos de rotación
Aquí tienes algunos ejemplos de rotación resueltos.
Rota la figura \(ABC\) con coordenadas \(A (2, 1), B (3, 1), C (3, 2)\) \(90^{\circ}\) en el sentido de las agujas del reloj.
Solución:
Aquí tenemos que girar la imagen \(ABC\) \(90^{\circ}\) en el sentido de las agujas del reloj. De acuerdo con la regla, tenemos nuestros puntos \((x, y)\) que se mapearán a \((y, -x)\).
Por tanto, aplicaremos individualmente la fórmula de rotación a los tres puntos dados.
\[A (2, 1) \a A' (1, -2)\a A' (1, -2)\a A' (1, -2)\a].
\[B (3, 1) \flecha derecha B' (1, -3)\]
\[C (3, 2) \flechaderecha C' (2, -3)\]
La figura \(A'B'C'\) tiene coordenadas \(A'(1, -2), B' (1, -3), C' (2, -3)\)
Tracemos ahora nuestras Figuras.
Fig. 1. Rotación de la imagen en el sentido de las agujas del reloj \(90^{circ}\).
Gira la figura \(XYZ\) con coordenadas \(X (1, 1), Y(5, 5), Z(-2, 4)\) \(270^{\circ}\) en el sentido contrario a las agujas del reloj.
Solución:
A partir de la fórmula de rotación de girar una imagen en sentido antihorario \(270^{\circ}\), tendremos nuestros puntos (x, y) mapeados a (y, -x). Entonces, aplicando la fórmula de rotación a puntos individuales, obtenemos
\[X(1, 1) \rightarrow X'(1, -1)\].
\[Y(5, 5) \flechaderecha Y'(5, -5)\]
\[Z(-2, 4) \flechaderecha Z'(4, 2)\]
La figura \(X'Y'Z'\) tiene coordenadas X'(1, -1), Y'(5, -5), Z'(4, 2).
Tracemos ahora nuestras figuras.
Fig. 2. Imagen girada \(270^{\circ}\} en sentido contrario a las agujas del reloj.
Rotaciones - Puntos clave
- Rotar un objeto \(\mathbf{\pm d^{\circ}}) alrededor de un punto \((a, b)\) es rotar cada punto del objeto de modo que la línea que une los puntos del objeto y el punto (a, b) gire un ángulo \(d^{\circ}}) en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario, según el signo de \(d\)).
- La rotación se denota por \(R_{texto{ángulo}}).
- La rotación se realiza en sentido horario o antihorario.
- La imagen se asigna a los puntos \((y, -x)\) o \((-y, x)\) cuando se gira \(90^{circ}\) en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario, respectivamente.
- La rotación \(180^{\circ}\) es la misma en sentido horario o antihorario y se asigna a \((-x, -y)\).
- La imagen se asigna a los puntos \((-y, x)\) o \((y, -x)\) cuando se gira \(270^{\ccir}\) en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario, respectivamente.
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