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Seguro que sabes lo que es un cono: una figura geométrica, en tres dimensiones, que se parece a una pirámide cuya superficie es circular. También podemos decir, simplemente, que es como un cono de helado; es probable que esto sea más fácil de relacionar.
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Enviar comentariosUn cono, de hecho, es una figura que se genera con una recta inclinada, cuando esta se pone a girar. Esta recta inclinada se denomina la generatriz.
Podrás ver imágenes de un cono en los siguientes párrafos.
Se denomina generatriz a la curva o línea, que al rotar, genera una figura geométrica. En el caso de las secciones cónicas, la generatriz está dada por una línea recta con cierta inclinación.
Puedes verla en la siguiente gráfica:
Fig. 1: recta generatriz, donde \(y=x\).
Si esta línea (por ejemplo) se rota \(180º\), se obtiene la segunda línea:
Fig. 2: recta generatriz donde \(y=-x\).
Por último, en tres dimensiones, tendríamos una rotación como la que se ve a continuación:
Fig. 3: recta generatriz rotada \(180\) grados.
Ahora, si esta se hace rotar alrededor de una recta vertical fija, con la que corta en un punto llamado vértice, genera algo que en análisis también se denomina como sólido de revolución; en este caso, un cono.
Fig. 4: recta generatriz formando un cono.
Una característica del cono es que su eje divide lados opuestos de la recta en ángulos iguales.
Puedes ver esto en la figura 5:
Fig. 5: El eje del cono divide las rectas generatrices opuestas con ángulos iguales.
Una superficie cónica se obtiene cuando se hace girar una recta generatriz alrededor de un eje, al cual corta en un punto llamado vértice.
El resultado de esta revolución es una superficie en forma de cono doble —es decir, dos conos que se tocan por el vértice—, que hace que los conos sean simétricos entre sí. Hay varias figuras geométricas que se pueden obtener a partir de una superficie cónica; estas son llamadas, simplemente, cónicas.
La intersección de un plano con el cono es lo que genera estas cónicas. Hay dos tipos de ellas:
Cónicas degeneradas.
Cónicas no degeneradas.
La diferencia entre ambas radica en que para las cónicas degeneradas el plano que comparte el cono pasa por el vértice de ambos conos. Esto, en lugar de generar curvas, genera rectas o puntos.
Esencialmente hay cuatro cónicas no degeneradas, que son:
Esta cónica nace de cortar el cono con un plano para formar un ángulo de \(90º\) entre el plano y el eje del cono.
Fig. 6: Plano cortando un cono perpendicularmente y creando una circunferencia
Esta sección nace de interceptar el cono con un plano paralelo a una generatriz del cono, pero cortando solo una de las hojas del cono (es decir, sin pasar por el vértice).
Fig. 7: Plano cortando un cono paralelo a su eje y creando una parábola
La elipse se podría definir como un círculo, pero achatado; mientras más achatado, se dice que su excentricidad es mayor.
Fig. 7: Plano cortando un cono, con cierta inclinación con respecto a su eje, y creando una elipse.
La excentricidad es un valor que se encuentra entre \(0<x<1\); de hecho, en caso de ser \(x=1\), lo que se tiene es un círculo.
Fig. 8: Plano cortando dos conos y creando una hipérbola.
Las cónicas degeneradas, por otro lado, son objetos que se obtienen cuando el plano corta la superficie cónica pasando por el vértice. De este modo, se obtienen tres cónicas degeneradas:
En la figura 9 puedes observar el corte del plano con el cono por el vértice. Así se forma un ángulo entre el plano y el eje que es mayor que el ángulo entre el eje y las generatrices. Con esto se obtiene un punto, que es justamente el vértice.
Fig. 9: Plano cortando el punto donde se encuentra un cono doble, creando así un punto.
Se denomina generatriz a la curva o línea que, al rotar, genera una figura geométrica.
Al rotar una generatriz, formada por una recta con una pendiente, se obtiene una superficie cónica.
El cono, al ser cortado por un plano, puede generar lo que se denomina superficies cónicas. Estas son:
Degeneradas.
No degeneradas.
Las cónicas degeneradas consisten en líneas y puntos.
Las cónicas no degeneradas son:
La elipse.
La circunferencia.
La hipérbola.
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¿Qué son las secciones cónicas y cómo se obtienen?
Una sección cónica es una figura geométrica generada al cortar un plano con un cono de tres dimensiones. Se pueden obtener diversas secciones, dependiendo del tipo de corte que se hace: si este es paralelo —por ejemplo— al eje de simetría, se obtiene una parábola.
¿Cuáles son las fórmulas de las secciones cónicas?
¿Cómo se clasifican las secciones cónicas?
¿Qué es la superficie de una cónica?
La superficie de una cónica es la superficie formada por el corte de un cono y un plano.
¿Cómo se obtiene una superficie cónica?
Una superficie cónica se obtiene al hacer girar una recta generatriz alrededor de un eje, al cual corta en un punto llamado vértice.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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