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Un cono, de hecho, es una figura que se genera con una recta inclinada, cuando esta se pone a girar. Esta recta inclinada se denomina la generatriz.
Podrás ver imágenes de un cono en los siguientes párrafos.
Generatriz
Se denomina generatriz a la curva o línea, que al rotar, genera una figura geométrica. En el caso de las secciones cónicas, la generatriz está dada por una línea recta con cierta inclinación.
Puedes verla en la siguiente gráfica:
Fig. 1: recta generatriz, donde \(y=x\).
Si esta línea (por ejemplo) se rota \(180º\), se obtiene la segunda línea:
Fig. 2: recta generatriz donde \(y=-x\).
Por último, en tres dimensiones, tendríamos una rotación como la que se ve a continuación:
Fig. 3: recta generatriz rotada \(180\) grados.
Ahora, si esta se hace rotar alrededor de una recta vertical fija, con la que corta en un punto llamado vértice, genera algo que en análisis también se denomina como sólido de revolución; en este caso, un cono.
Fig. 4: recta generatriz formando un cono.
Una característica del cono es que su eje divide lados opuestos de la recta en ángulos iguales.
Puedes ver esto en la figura 5:
Fig. 5: El eje del cono divide las rectas generatrices opuestas con ángulos iguales.
Superficie cónica
Una superficie cónica se obtiene cuando se hace girar una recta generatriz alrededor de un eje, al cual corta en un punto llamado vértice.
El resultado de esta revolución es una superficie en forma de cono doble —es decir, dos conos que se tocan por el vértice—, que hace que los conos sean simétricos entre sí. Hay varias figuras geométricas que se pueden obtener a partir de una superficie cónica; estas son llamadas, simplemente, cónicas.
La intersección de un plano con el cono es lo que genera estas cónicas. Hay dos tipos de ellas:
Cónicas degeneradas.
Cónicas no degeneradas.
La diferencia entre ambas radica en que para las cónicas degeneradas el plano que comparte el cono pasa por el vértice de ambos conos. Esto, en lugar de generar curvas, genera rectas o puntos.
Cónicas no degeneradas
Esencialmente hay cuatro cónicas no degeneradas, que son:
La circunferencia
Esta cónica nace de cortar el cono con un plano para formar un ángulo de \(90º\) entre el plano y el eje del cono.
Fig. 6: Plano cortando un cono perpendicularmente y creando una circunferencia
La parábola
Esta sección nace de interceptar el cono con un plano paralelo a una generatriz del cono, pero cortando solo una de las hojas del cono (es decir, sin pasar por el vértice).
Fig. 7: Plano cortando un cono paralelo a su eje y creando una parábola
La elipse
La elipse se podría definir como un círculo, pero achatado; mientras más achatado, se dice que su excentricidad es mayor.
Fig. 7: Plano cortando un cono, con cierta inclinación con respecto a su eje, y creando una elipse.
La excentricidad es un valor que se encuentra entre \(0<x<1\); de hecho, en caso de ser \(x=1\), lo que se tiene es un círculo.
La hipérbola
La hipérbola es la cónica que se obtiene cuando un plano corta al cono, formando un ángulo con el eje menor que el de las generatrices; por tanto, corta las dos hojas de la superficie cónica.
Fig. 8: Plano cortando dos conos y creando una hipérbola.
Cónicas degeneradas
Las cónicas degeneradas, por otro lado, son objetos que se obtienen cuando el plano corta la superficie cónica pasando por el vértice. De este modo, se obtienen tres cónicas degeneradas:
- El punto: cuando el plano corta al cono por el vértice, formando un ángulo con el eje mayor que el de las generatrices.
- Una recta: cuando el plano corta al cono por el vértice, formando el mismo ángulo con el eje que el de las generatrices.
- Dos rectas secantes: cuando el plano corta al cono por el vértice, formando un ángulo con el eje menor que el de las generatrices.
En la figura 9 puedes observar el corte del plano con el cono por el vértice. Así se forma un ángulo entre el plano y el eje que es mayor que el ángulo entre el eje y las generatrices. Con esto se obtiene un punto, que es justamente el vértice.
Fig. 9: Plano cortando el punto donde se encuentra un cono doble, creando así un punto.
Secciones cónicas - Puntos clave
Se denomina generatriz a la curva o línea que, al rotar, genera una figura geométrica.
Al rotar una generatriz, formada por una recta con una pendiente, se obtiene una superficie cónica.
El cono, al ser cortado por un plano, puede generar lo que se denomina superficies cónicas. Estas son:
Degeneradas.
No degeneradas.
Las cónicas degeneradas consisten en líneas y puntos.
Las cónicas no degeneradas son:
La elipse.
La circunferencia.
La hipérbola.
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Preguntas frecuentes sobre Secciones cónicas
¿Qué son las secciones cónicas y cómo se obtienen?
Una sección cónica es una figura geométrica generada al cortar un plano con un cono de tres dimensiones. Se pueden obtener diversas secciones, dependiendo del tipo de corte que se hace: si este es paralelo —por ejemplo— al eje de simetría, se obtiene una parábola.
¿Cuáles son las fórmulas de las secciones cónicas?
- Circunferencia (x-h)^2+(y-k)^2=r^2.
- Parábola ax^2+bx+c=d.
- Elipse (x^2)/a+(y^2)/b=1.
- Hipérbola ((y−k)^2)/(b^2)−((x−h)^2)/(a^2)=1.
¿Cómo se clasifican las secciones cónicas?
- Cónicas degeneradas.
- Cónicas no degeneradas.
¿Qué es la superficie de una cónica?
La superficie de una cónica es la superficie formada por el corte de un cono y un plano.
¿Cómo se obtiene una superficie cónica?
Una superficie cónica se obtiene al hacer girar una recta generatriz alrededor de un eje, al cual corta en un punto llamado vértice.
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