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Un ejemplo de reflejo en la naturaleza, pixabay.com
En este artículo trataremos el concepto de simetría, diferenciando entre los distintos tipos. También hablaremos de cómo pueden aplicarse los principios de la simetría a las figuras de los gráficos.
Significado de la simetría
Lo más probable es que ya te hayas encontrado con el concepto de simetría fuera de las matemáticas. Por ejemplo, cuando piensas en simetría, puedes pensar en una imagen especular. De hecho, un espejo es un excelente ejemplo de simetría en el mundo real. Los espejos muestran un tipo de simetría llamada simetría refleja, en la que una mitad del objeto es un espejo o reflejo de la otra. Sin embargo, la simetría reflexiva es sólo un tipo de simetría. La definición de simetría en matemáticas es más precisa que el uso común de simetría en la vida cotidiana. Una definición formal es la siguiente:
En matemáticas, se habla de simetría cuando dos o más objetos son idénticos tras realizar una transformación, como una voltereta, un deslizamiento o un giro. El objeto matemático puede ser una forma dentro de un plano o una línea en un gráfico, por ejemplo.
Tipos de simetría
En esta sección trataremos cuatro tipos diferentes de simetría:
- Simetría traslacional
- Simetría rotacional
- Simetría reflexiva
- Simetría de deslizamiento
Simetría de traslación
La simetría traslativa se produce cuando un objeto ha sufrido un desplazamiento o una traslación (es decir, ha cambiado su ubicación), pero no se han realizado otras transformaciones sobre él. En otras palabras, la simetría traslativa sólo implica que el objeto se desplace de posición, como hacia arriba o hacia abajo, así como hacia la izquierda o hacia la derecha. En la simetría traslacional, el objeto seguirá teniendo el mismo tamaño y la misma forma, y no girará de ninguna manera.
Tomemos la siguiente figura como ejemplo y veamos cómo es la simetría traslacional:
Ejemplo de simetría traslacional, StudySmarter Originals
Ahora, traslademos la figura hacia arriba y hacia la izquierda:
Ejemplo de simetría traslacional, StudySmarter Originals
Puedes ver que la figura no ha cambiado de tamaño ni de forma, ni se ha girado. Simplemente ha cambiado de posición. Por estas razones, es un ejemplo de simetría traslacional.
Simetría rotacional
La simetría rotacional se aplica si una forma puede girarse parcialmente alrededor de su centro y seguir teniendo el mismo aspecto. En otras palabras, para que un objeto sea rotacionalmente simétrico, debe tener al menos dos posiciones dentro de la vuelta completa de rotación (360 grados) en las que parezca idéntico.
Para describir la simetría rotacional, podemos referirnos al orden de simetría rotacional, que describe el número de veces que el objeto es idéntico a su posición original dentro de la rotación completa de 360 grados. Por ejemplo, un triángulo equilátero tiene una simetría rotacional de orden 3 porque puede girarse parcialmente 3 veces y seguir pareciendo idéntico. Para averiguar el orden de simetría rotacional de una forma, puedes utilizar la siguiente ecuación:
Un triángulo que muestra la simetría rotacional - StudySmarter Originals
Como puedes ver en el diagrama anterior, el punto A se mueve con cada rotación, pero el triángulo en sí tiene exactamente el mismo aspecto. En el caso de este triángulo, decimos que tiene simetría rotacional de orden 3 porque hay 3 posiciones a las que se puede girar el triángulo en las que tendrá simetría. Comprobemos esto mirando la fórmula para hallar el orden de simetría rotacional:
Simetría puntual
La simetría puntual se produce cuando existe un punto común de reflexión para cada punto de una forma. Ese punto común se llama punto de simetría. Observa que la reflexión de cada punto es en sentido contrario, de modo que tiene el mismo aspecto desde arriba que desde abajo. Un ejemplo de simetría puntual es la letra H.
Una cosa importante que hay que tener en cuenta es que la simetría de punto es lo mismo que una forma que tiene simetría rotacional de orden 2, o dicho de otro modo, el objeto parece idéntico después de que lo hayas girado 180 grados alrededor de su centro.
Simetría reflexiva
La simetría reflectante es un tipo de simetría en la que una mitad del objeto refleja la otra mitad. La simetría reflexiva se conoce con distintos nombres, como simetría de línea y simetría de espejo. Los tres términos tienen el mismo significado: una mitad del objeto es idéntica a la otra.
Para comprobar si un objeto presenta simetría reflectante, imagina que lo doblas por la mitad a lo largo de la línea de simetría (una línea imaginaria que divide las dos mitades reflectantes). Si ambas mitades coinciden, entonces la forma tiene simetría reflexiva a lo largo de la línea sobre la que se dobló.
Un ejemplo de simetría reflexiva - StudySmarter Originals
En este ejemplo, el cuadrado original está etiquetado como CDEF, y la línea de simetría es el eje y. Como puedes ver, la imagen reflejada tiene las mismas coordenadas de valor y pero tiene valores x negativos.
Línea de simetría
La línea de simetría es una línea que se puede dibujar en un objeto por la que ambos lados se reflejarán mutuamente, cortando el objeto por la mitad. Por ejemplo, si colocas una línea de simetría en el centro de un cuadrado, ambos lados serán iguales.
Las distintas formas pueden tener cantidades variables de líneas de simetría:
- Un cuadrado tiene 4 líneas de simetría
- Un triángulo equilátero tiene 3 líneas de simetría
- Un trapecio no tiene ninguna línea de simetría
Eje de simetría
La simetría no está reservada a las formas y patrones: también puede verse en los gráficos. Cuando los gráficos tienen simetría, puede ser una propiedad útil porque nos permite predecir y comprender mejor las partes simétricas. Generalmente, los gráficos son simétricos respecto a un eje de simetría.
Al igual que la línea de simetría, el eje de simetría es una línea recta sobre la que se refleja un objeto para obtener dos partes iguales y especulares. Si una gráfica fuera simétrica tanto para valores negativos como positivos de x, entonces tendría un eje de simetría a lo largo del eje y. Como recta, podemos describir el eje de simetría con la ecuación de una recta: . Veamos un ejemplo que demuestra el eje de simetría.
Consideremos la gráfica siguiente y determinemos si existe alguna simetría.
Una parábola en una gráfica - StudySmarter Originals
En esta gráfica de una parábola, hay un eje vertical de simetría, ya que la ecuación de la parábola es. Podemos ver que el punto más bajo de la gráfica está en y = -2. Éste es también el punto de la gráfica en el que la curva de la parábola cruza sobre el eje y, y, por tanto, la ubicación del eje de simetría debe ser el eje y, o x = 0.
Reflexión de deslizamiento
La reflexión por deslizamiento es una combinación de dos transformaciones diferentes, una traslación y una reflexión, aunque no necesariamente en ese orden. En una reflexión por deslizamiento, la traslación es siempre paralela a la línea de reflexión. Si la imagen reflejada se aleja o se acerca a la línea de reflexión, no se trata de una reflexión por deslizamiento.
Los reflejos de deslizamiento pueden crear simetría. Cuando se producen dos reflejos de deslizamiento, la imagen original vuelve a la misma posición, creando un reflejo y una línea de simetría entre las dos imágenes.
Un ejemplo real de simetría de deslizamiento son las huellas en la arena. Cuando comparamos la huella de la izquierda con la de la derecha en la imagen de abajo, vemos que la huella de la izquierda puede reflejarse sobre una línea de reflexión y trasladarse hacia arriba a lo largo de esa línea para obtener la huella del pie derecho.
Un ejemplo de simetría de deslizamiento, unsplash.com
Simetría - Puntos clave
- La simetría se produce cuando dos o más objetos son idénticos después de realizar una transformación.
- Existen 4 tipos principales de simetría: simetría traslacional, simetría rotacional, simetría reflexiva y simetría de deslizamiento.
- La simetría traslacional es aquella en la que un objeto se ha movido (trasladado) pero sigue teniendo el mismo aspecto.
- La simetría rotacional es aquella en la que un objeto se ha girado alrededor de su centro y tiene el mismo aspecto en más de una posición.
- La simetría reflexiva se produce cuando un objeto se refleja sobre un eje o una línea, de modo que una mitad tiene exactamente el mismo aspecto que la otra.
- La simetría de deslizamiento combina dos pasos de transformaciones, una reflexión y luego una traslación, aunque no necesariamente en ese orden.
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