De hecho, ¡sí la hay! Podemos utilizar la fórmula para hallar la superficie total de una pirámide, que es exactamente de lo que hablaremos a lo largo de este artículo. ¡Empecemos!
Componentes de una pirámide
La expresión superficie se asocia a figuras tridimensionales. Tales objetos se denominan sólidos. La pirámide pertenece a esta categoría de objetos.
Para hallar la superficie de una pirámide tendrías que sumar las superficies de todos sus lados. La base de una pirámide está formada por un polígono. Recuerda que un polígono es una figura plana cerrada delimitada por líneas rectas unidas de extremo a extremo. Todos los lados de una pirámide se unen en un punto llamado vértice.
En algunos libros de texto, el ápice puede denominarse vértice.
La distancia perpendicular desde el centro de la base de la pirámide hasta el vértice se conoce como Altitud (o altura). Por su parte, la distancia oblicua desde la base de la pirámide hasta su vértice se denomina altura oblicua.
Las pirámides se clasifican explícitamente por la forma de sus bases. Por ejemplo, podemos tener una pirámide de base cuadrada, rectangular o incluso triangular. Sin embargo, nos fijaremos en las pirámides con base cuadrada para abarcar mejor este tema. Como sugiere la base, se denominan pirámides cuadradas. He aquí un diagrama que ilustra todos estos componentes mencionados.
Fig. 1. Componentes de una pirámide de base cuadrada.
Ahora, descompongamos esta pirámide y observemos cada una de estas superficies. Esencialmente, estamos abriendo la pirámide para estudiar cada una de sus superficies planas, también conocidas como caras. Esto se denomina la red de una pirámide.
La red de un sólido es una forma bidimensional que puede plegarse para formar un sólido tridimensional. La disposición de las caras de un sólido nos permite determinar los polígonos que componen el objeto.
La red de una pirámide de base cuadrada está formada por un cuadrado y cuatro triángulos. Esto se muestra a continuación.
Fig. 2. Red de una pirámide.
Calcular la superficie de una pirámide significa que tendremos que sumar el área de cada cara de la pirámide, como se ve arriba.
Propiedades de las pirámides
La forma de las propiedades que vamos a estudiar en este nivel es sólo para las pirámides regulares. Por tanto, a continuación se exponen las propiedades de las pirámides regulares.
Una pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un Polígono Regular.
Su base es un Polígono Regular.
Todas las aristas laterales son congruentes.
Todas las caras laterales son Triángulos Isósceles congruentes.
Las alturas coinciden con la base en su centro.
Fórmula de la superficie de una pirámide
Como ya hemos dicho, la superficie total de una pirámide puede calcularse sumando las superficies de todas sus caras. Las superficies de las pirámides se miden en unidades cuadradas, como metros cuadrados o centímetros cuadrados, según las unidades de medida. Existen fórmulas matemáticas específicas para hallar la superficie total de las pirámides, siempre que la forma sea regular.
Solemos clasificar la superficie de una pirámide en dos tipos: la superficie lateral y la superficie total. La superficie lateral de la pirámide es la suma de las caras laterales de la pirámide sin tener en cuenta la base, mientras que la superficie total de la pirámide es la superficie lateral incluyendo la superficie de la base. Matemáticamente, se expresan como sigue;
Superficie lateral de una pirámide = suma de las superficies de las caras laterales de la pirámide
\[LSA=\frac{1}{2}\frac{1} veces P\frac{1} veces I\]
La Superficie Total (SST ) de una pirámide = SST de la pirámide + superficie de la base
\[TSA=\frac{1}{2} veces P\ veces I+B\]
donde
P = Perímetro de la pirámide;
l = Altura de cada cara triangular;
B = Área de la base de la pirámide.
Hallar la superficie de una pirámide
En este apartado hablaremos de cómo hallar la superficie de una pirámide en función de la forma de su base. Aquí exploraremos tres tipos diferentes de pirámides, a saber
pirámide de base triangular
pirámide de base cuadrada;
pirámide de base hexagonal.
Cada sección explorará una fórmula general utilizada para hallar la superficie de dichas pirámides, seguida de un ejemplo para ayudar a la representación visual.
Pirámides de base triangular
Una pirámide de base triangular es una pirámide que sólo consta de triángulos como caras.
Está formada por una base triangular y tres caras laterales triangulares. Para deducir la superficie total de una pirámide de este tipo, bastaría con sumar las áreas de las cuatro caras triangulares.
Hay tres tipos de pirámides de base triangular, a saber
- Pirámide de base triangularregular: Estas pirámides tienen todas sus caras como triángulos equiláteros. También se conoce como tetraedro.
- Pirámide de base triangular recta: Estas pirámides tienen como base triángulos equiláteros. Labase es un triángulo equilátero, mientras que las demás caras son triángulos isósceles.
- Pirámide de base triangular irregular - untriángulo escaleno o isósceles forma la base.
La fórmula de la superficie total de una pirámide de base triangular viene dada por
\[TSA=\frac{1}{2}(h\veces b)+\frac{3}{2}(b\veces s)\].
donde
\(\frac{1}{2}(h\times b)\) es el área de la base;
\(\frac{3}{2}(b\veces s)\) es el producto del perímetro y la altura oblicua de la pirámide ;
\(h\) es la altura perpendicular desde la base;
\(b\) es la longitud de la base;
\(s\) es la altura oblicua.
He aquí una representación gráfica de una pirámide de base triangular junto con todos los componentes mencionados.
Fig. 3. Pirámide de base triangular.
Veamos ahora un ejemplo trabajado que demuestra esta fórmula.
Dado que la longitud de la base de una pirámide triangular es de 16 cm, la altura perpendicular desde la base es de 21 cm y la altura oblicua es de 19 cm, determina la superficie total.
Solución
Aquí, \(b=16\), \(h=21\) y \(s=19\). Sustituyendo estos valores en nuestra fórmula anterior para la superficie total de una pirámide triangular se obtiene
\[TSA=\frac{1}{2}(21=16)+\frac{3}{2}(16=19)=\frac{1}{2}=336+\frac{3}{2}=304].
Simplificando, obtenemos
\[TSA=168+456=624\]
Por tanto, la superficie total de esta pirámide de base triangular es de 624 unidades2.
Pirámides de base cuadrada
Una pirámide de base cuadrada es una pirámide formada por una base cuadrada y cuatro caras laterales triangulares.
Estas caras triangulares son isósceles y congruentes. Además, la base de cada triángulo coincide con un lado de la base cuadrada. La superficie total de una pirámide de base cuadrada es la suma del área de la base cuadrada y el área de las cuatro caras triangulares.
Una pirámide de base cuadrada se denomina a veces pentaedro, ya que tiene cinco caras.
La fórmula de la superficie total de una pirámide cuadrada viene dada por
\[TSA=a^2+2al\]
donde
\(a^2\) es el área de la base;
\(a\) es la longitud de la base;
\(l\) es la altura oblicua.
A continuación se muestra un diagrama de una pirámide de base cuadrada junto con todos estos componentes mencionados.
Fig. 4. Pirámide de base cuadrada.
A continuación veremos un ejemplo trabajado que utiliza esta fórmula.
Calcula la altura oblicua es una pirámide de base cuadrada cuya superficie total es de 2200 unidades2 y la longitud de la base es de 22 unidades.
Solución
Basándonos en la información dada anteriormente, tenemos \(a=22\) y \(TSA=2200\). Dada nuestra fórmula para la superficie total de una pirámide cuadrada, reordenemos esta ecuación de modo que \(l\) sea el sujeto.
\[TSA=a^2+2al\implies 2al=TSA-a^2\]
Colocando ahora sólo \(l\) en el lado izquierdo de esta ecuación se obtiene
\[l=\frac{TSA-a^2}{2a}\]
Sustituyendo ahora nuestros valores conocidos, obtenemos
\[l=\frac{2200-22^2}{2(22)}=\frac{1716}{44}\]
Simplificando, obtenemos
\[l=39\]
Por tanto, la altura oblicua de esta pirámide es de 39 unidades.
Pirámides de base hexagonal
Como su nombre indica
una pirámide de base hexagonal es una pirámide que tiene una base de forma hexagonal.
Esta base en particular tiene seis lados y seis caras laterales triangulares. Otro nombre para este tipo de pirámide es Heptaedro. La fórmula de la superficie total de una pirámide hexagonal viene dada por
\[TSA=3ab+3bs\]
donde
\(3ab\) es el área de la base de la pirámide hexagonal;
\(a\) es la apotema de la pirámide;
\(b\) es la longitud de la base;
\(s\) es la altura oblicua.
La apotemade un polígono regularviene definida por un segmento de recta desde su centro hasta el punto medio de uno de sus lados.
He aquí una ilustración de una pirámide hexagonal en la que se indican todos estos componentes mencionados.
Fig. 5. Pirámide de base hexagonal.
Veamos ahora un ejemplo trabajado que aplica esta fórmula.
Halla el área de la base y la superficie total de una pirámide hexagonal dadas las siguientes dimensiones.
Longitud de la apotema = 12 unidades
Longitud de la base = 17 unidades
Altura oblicua = 21 unidades
Solución
Para determinar estas dos áreas, basta con utilizar la fórmula dada anteriormente y sustituir estos números dados. Las dimensiones son: \(a=12\), \(b=17\) y \(s=21\). Primero hallaremos el área de la base de esta pirámide.
\[B=3ab=3(12)(17)=612\]
Así pues, el área de la base de esta pirámide hexagonal es de 612 unidades2. A continuación, identificaremos la superficie total.
\[TSA=3ab+3bs=612+3(17)(21)\]
Resolviendo esto obtenemos
\[TSA=612+1071=1683\]
Por tanto, la superficie total de esta pirámide hexagonal es de 1683 unidades2.
Superficie de una pirámide Ejemplos
En este apartado vamos a explorar cómo hallar tanto la superficie lateral como la superficie total de una pirámide. Pongamos un ejemplo para facilitar el proceso.
Resuelve la superficie lateral de una pirámide cuadrada dado que la longitud lateral de la base es de 14 cm y la altura oblicua de la pirámide es de 20 cm.
Solución
Observemos la fórmula para hallar la superficie lateral y veamos qué valores faltan. Todavía no tenemos el valor del perímetro. Sin embargo, podemos hallarlo utilizando la longitud lateral de la base.
\[P=4a\]
Donde a = longitud lateral de la base. Entonces
\[P=4(14)=56\]
La altura oblicua de la pirámide es \(l = 20\).
Ahora sustituiremos los valores en la ecuación
\[LSA=\frac{1}{2}\frac{1}{2} veces 56\frac{1} veces 20\frac{1}].
Simplificando, obtenemos
\[LSA=1\veces 56\veces 1=560\]
Por tanto, la superficie lateral de esta pirámide es de 560 cm2.
Veamos ahora un ejemplo para hallar la superficie total de una pirámide.
¿Cuál es la superficie total de una pirámide si cada arista de la base mide 16 m, la altura oblicua de un lado es de 17 m y la Altitud es de 15 m?
Solución
Observando primero la fórmula para hallar la superficie total de una pirámide, podemos determinar los valores de los que no disponemos. De nuevo, no tenemos el valor del perímetro, pero sí el de la longitud del lado.
\[P=4a\]
donde a = longitud del lado de la base. Entonces
\[P = 4(16)=64\]
El área de la base es s2. Por tanto
\[B = 16^2= 256\]
Además, nos dan la altura oblicua como \[l = 17\]. Sustituyendo ahora estos valores en nuestra fórmula, obtenemos
\TSA = 64 veces 17+256 veces 256].
Resolviendo esto obtenemos
\[TSA=544+256=800\]
Por tanto, la superficie total de una pirámide es de 800m2.
He aquí otro ejemplo que demuestra el uso de nuestras fórmulas dadas para el TSA y el LSA.
La superficie lateral de una pirámide mide 706m2, mientras que la superficie total mide 932m2. Dadas estas áreas, identifica el área de la base de esta pirámide.
Solución
A partir de la información anterior, se nos da que \(LSA=706\) y \(TSA=932\).
Utilizando la fórmula para hallar el TSA, tenemos que
\[TSA=\frac{1}{2}{veces P\veces I+B\]
Si introducimos la ecuación LSA en la expresión anterior, obtenemos
\[TSA=LSA+B\]
Haciendo ahora sujeto a \(B\), tenemos
\[B=TSA-LSA\]
Ahora podemos sustituir nuestros valores dados para el TSA y el LSA en la expresión anterior.
\[B=932-706=226\]
Así pues, el área de la base de esta pirámide es de 226m2.
Terminaremos esta discusión con el siguiente ejemplo final que resume todo lo que hemos aprendido a lo largo de esta discusión.
Dado que la superficie total de una pirámide triangular es de 74 unidades2, determina la altura oblicua de esta pirámide. Además, el área de la base y el perímetro de esta pirámide son 36 unidades2 y 45 unidades respectivamente.
Solución
La fórmula de la superficie total de una pirámide triangular viene dada por
\[TSA=B+\frac{1}{2}(P\times I)\]
donde
- B = superficie de la base de la pirámide;
- P = perímetro de la pirámide;
- I = altura oblicua.
A partir de nuestra ecuación anterior, reorganicémosla para que \(I\) sea el sujeto.
\[TSA-B=\frac{1}{2}(P\veces I)\implica P\veces I=2(TSA-B)\].
Por último
\[I=\frac{2(TSA-B)}{P}\]
Sustituyendo ahora nuestros valores conocidos, hallamos que
\[I=\frac{2(74-36)}{45}=\frac{76}{45}=1.69\]
Por tanto, la altura oblicua de esta pirámide triangular es de 1,69 unidades, correcta con dos decimales.
Superficie de las pirámides - Puntos clave
- Una pirámide es una figura tridimensional que tiene forma de polígono con una base y cuyos lados se unen en un punto llamado ápice, también conocido como vértice.
- La distancia perpendicular desde el centro de la base de la pirámide hasta el vértice se conoce como altitud o altura.
- La superficie total de una pirámide puede calcularse sumando las superficies de todas sus caras.
- La fórmula para hallar la superficie lateral de una pirámide es \[LSA=\frac{1}{2}\times P\times I\].
- La fórmula para hallar la superficie total de una pirámide es \[TSA=\frac{1}{2}veces Pveces I+B].
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