Superficie de prismas

Prisma triangular

Un prisma triangular tiene 5 caras, de las cuales 2 son triangulares y 3 rectangulares.

Imagen de un prisma triangular, StudySmarter Originals

Prisma rectangular

Un prisma rectangular tiene 6 caras, todas ellas rectangulares.

Una imagen de un prisma rectangular, StudySmarter Originals

Prisma pentagonal

Un prisma pentagonal tiene 7 caras, de las cuales 2 son pentagonales y 5 rectangulares.

Imagen de un prisma pentagonal, StudySmarter Originals

Prisma trapezoidal

Un prisma trapezoidal tiene 6 caras, 2 de ellas trapezoidales y 4 rectangulares.

Imagen de un prisma trapezoidal, StudySmarter Originals

Prisma hexagonal

Un prisma hexagonal tiene 8 caras, incluidas 2 hexagonales y 6 rectangulares.

Una imagen de un prisma hexagonal, StudySmarter Originals

¿Cuál es el método para hallar la superficie de un prisma?

El método que permitió calcular la superficie de un prisma fue la consideración de cada una de sus caras. Para ello, debemos analizar en qué consiste un prisma simple.

Todo prisma consta de dos caras idénticas en forma y dimensión. Llamamos a estas dos caras la parte superior y la base.

También consta de superficies rectangulares según el número de caras que tenga la base del prisma. Por ejemplo, un prisma de base triangular tendrá otras 3 caras además de su parte superior y base idénticas. Del mismo modo, un prisma de base pentagonal tendrá otras 5 caras aparte de su parte superior y base idénticas, y esto se aplica a todos los prismas.

Ilustración de las caras rectangulares de un prisma utilizando un prisma triangular, StudySmarter Originals

Recuerda siempre que las caras distintas de la parte superior y la base son rectangulares; esto te ayudará a comprender el planteamiento utilizado para desarrollar la fórmula.

Ahora que sabemos de qué se componen las superficies de un prisma, es más fácil calcular la superficie total de un prisma. Tenemos 2 lados idénticos que adoptan la forma del prisma, y n lados rectangulares -donde n es el número de lados de la base-.

El área de la parte superior debe ser seguramente igual al área de la base, que depende de la forma de la base. Por tanto, podemos decir que la superficie total de la parte superior y de la base del prisma es

$$\begin{gathered} A_B=basearea \\ {A}_T=toparea \\ {A}_{TB}=Areaofbaseandtop \\ {A}_B=A_T \\ {A}_{TB}=A_B+A_T \\ {A}_{TB}=A_B+A_B \\ {A}_{TB}=2A_B \end{gathered}$$

Por tanto, el área de la base y de la parte superior es el doble del área de la base.

Ahora seguimos teniendo n lados rectangulares. Esto significa que tenemos que calcular el área de cada rectángulo. Esto será aún más estresante a medida que aumente el número de lados.

$$\begin{gathered} Areaofface1=Side1\times height \\ Areaofface2=Side2\times height \\ Areaofface3=Side3\times height \\ Areaofface4=Side4\times height \\ . \\ . \\ . \\ Areaofface\mathit{n}=Side\mathit{n}\times height \end{gathered}$$

Así que para reducir el trabajo, algo es constante. La altura es constante, ya que vamos a sumar todas las áreas, ¿por qué no hallar la suma de todos los lados y multiplicarla por la altura? Esto significa que

id="5168086" role="matemáticas" $$\begin{gathered} Totalrec\tan gularbodyareaofaprism=(Side1\times height)+(Side2\times height)+(Side3\times height)..+Siden\times height) \\ Totalrec\tan gularbodyareaofaprism=height(Side1+Side2+Side3+Side4...+Siden\left) \\ \right(Side1+Side2+Side3+Side4...+Siden)=Perimeterofbasesurface \\ Totalrec\tan gularbodyareaofaprism=height(Perimeterofbasesurface) \end{gathered}$$

Siendo h la altura de un prisma,_AB el área de la base y_PB el perímetro de la base del prisma, la superficie total de un prisma es

$A_P=2A_B+P_{B}h$

Ilustración de la altura y la base de un prisma para determinar el área de la superficie, StudySmarter Originals

¿Cuál es la superficie de un prisma triangular?

Si h es la altura de un prisma,_AB es el área de la base y_PB es el perímetro de la base del prisma, la superficie total de un prisma puede calcularse mediante la siguiente fórmula:

$A_P=2A_B+P_{B}h$

Pero tenemos que adaptar esta fórmula a un triángulo, ya que un prisma triangular tiene la base de un triángulo. Como el área de un triángulo_At de base b y altura_ht es

$A_t=\frac{1}{2}b\times h_t$

y el perímetro de un triángulo _Pt con a, b, c es

$P_t=a+b+c$

entonces la superficie total de un prisma triangular_APt sería

$$\begin{gathered} A_{Pt}=2(\frac{1}{2}b\times h_t)+h(a+b+c) \\ {A}_{Pt}=\cancel{2}(\frac{1}{\cancel{2}}b\times h_t)+h(a+b+c) \\ {A}_{Pt}=(b\times h_t)+h(a+b+c) \end{gathered}$$

Observa que_ht es la altura de la base triangular, mientras que h es la altura del propio prisma.

Ilustración del área de un prisma triangular, StudySmarter Originals

¿Cuál es la superficie de un prisma rectangular?

Un prisma rectangular se llama cuboide si tiene base rectangular o cubo si tiene base cuadrada y la altura del prisma es igual al lado de la base cuadrada.

Donde h es la altura de un prisma,_AB es el área de la base y_PB es el perímetro de la base del prisma, la superficie total de un prisma puede calcularse mediante la siguiente fórmula:

$A_P=2A_B+P_{B}h$

Pero tenemos que adaptar esta fórmula a un rectángulo, ya que un prisma rectangular tiene la base de un rectángulo. Como el área de un rectángulo_Ar de base b y altura _hr es

$A_r=b\times h_r$

y el perímetro del mismo rectángulo_Pr es

$P_r=2(b+h_r)$

entonces la superficie total de un prisma triangular_APr sería

$$\begin{gathered} A_{Pr}=2(b\times h_r)+h\left(2\right(b+h_r\left)\right) \\ {A}_{Pr}=2(b\times h_r)+2h(b+h_r) \\ {A}_{Pr}=2\left(\right(b\times h_r)+h(b+h_r\left)\right) \end{gathered}$$

Observa que _hr es la altura de la base rectangular, mientras que h es la altura del propio prisma. Además, la base b y la altura _hr de la base rectangular se conocen también como la anchura y la longitud de la base rectangular.

Ilustración de un prisma rectangular, StudySmarter Originals

Nota, para otros tipos de formas, basta con introducir sus áreas respectivas y hallar sus perímetros y aplicar la fórmula general

$A_P=2A_B+P_{B}h$

seguramente llegarías a la respuesta correcta.

Ejemplos de superficie de prismas

Te aconsejamos que pruebes tantos ejemplos como sea posible para aumentar tu competencia en la resolución de problemas sobre la superficie de prismas. A continuación encontrarás algunos ejemplos que te ayudarán.