Superficie de sólidos

Fórmulas para la superficie de los sólidos

Las caras de una forma son las superficies planas que componen el sólido, las bases son las superficies superior e inferior de un sólido.

Fig. 1. Identificación de caras y bases de un sólido.

Cuando se halla la superficie de un sólido, se pueden hallar dos tipos diferentes de superficie

1. la superficie total

2. la superficie lateral

Para hallar la superficie total de cualquier sólido, se suma el área de todas las caras y bases del sólido.

¿Y la superficie lateral?

Para hallar la superficie lateral, suma el área de las caras del sólido excluyendo la base o bases.

Para hallar la superficie de cualquier sólido, tendrás que descomponer la forma: esto puede hacerse de forma diferente según el sólido que te hayan dado. Para ayudarte a hallar la superficie de un sólido, existen fórmulas que puedes utilizar, ¡dependen del tipo de sólido que tengas!

Veamos algunos tipos de sólidos y las fórmulas que puedes utilizar para hallar su superficie.

Superficie de un cilindro

Un cilindro es un tipo de sólido que no tiene aristas rectas, es similar a un prisma en el que ambas bases tienen la misma forma y la superficie puede calcularse de forma similar.

Fig. 2. Ejemplo de cilindro

En general, las variables utilizadas serán

• \(B\) - área de la base;

• \(C\) - circunferencia de la base;

• \(r\) - radio de la base;

• \(h\) - altura del cilindro; y

• \(S\) - superficie del cilindro.

Existe una fórmula que puede utilizarse para hallar la superficie de un cilindro;

\S& =2B+Ch &=2\pi r^2+2\pi rh. \end{align}]

Superficie de un cono

Un cono es un tipo de sólido que tiene una base y un vértice. Un cono tiene una altura y una altura oblicua, la altura es la distancia desde el centro de la base hasta la parte superior del cono, el vértice. Mientras que la altura oblicua es la distancia desde el borde de la base hasta el vértice.

Fig. 3. Ejemplo de cono

Existe una fórmula que te puede ayudar a hallar la superficie de un cono:

\[S=B+\frac{1}{2}Cl=\pi r^2+\pi r\cdot l\]

donde

• \(B\) - área de la base

• \(C\) - circunferencia de la base

• \(r\) - radio de la base

• \(l\) - altura oblicua

Superficie de una esfera

Una esfera es un tipo de sólido que es un círculo tridimensional, por ejemplo una pelota. Una esfera tiene un punto central y el radio es la distancia desde el punto central hasta el punto exterior de la esfera.

Fig. 4. Ejemplo de esfera

Existe una fórmula que te puede ayudar a hallar la superficie de una esfera:

\[S=4\pi r^2\]

\[r=\texto{el radio}]

Superficie de una pirámide

Una pirámide es un tipo de sólido que tiene una base y caras triangulares que llegan todas a un vértice. Hay distintos tipos de pirámides, que se denominan según el tipo de base que tengan:

• Pirámide cuadrada

• Pirámide rectangular

• Pirámide triangular

• Pirámide hexagonal

Aquí tienes unos diagramas que muestran el aspecto de estas pirámides;

Fig. 5. Ejemplos de pirámides

Existe una fórmula que puede utilizarse para hallar la superficie de una pirámide:

\[S=B+\frac{1}{2}Pl\]

donde

• \(B\) - área de la base
• \(P\) - perímetro de la base
• \(l\) - altura oblicua

Superficie de un sólido rectangular

He aquí un ejemplo del aspecto que puede tener un sólido rectangular.

Fig. 6. Un sólido rectangular

Para saber cómo calcular la superficie de un sólido rectangular, puede ser útil descomponer la forma en sus distintas secciones. En el diagrama anterior puedes ver que hay dos caras con lados \(L\) y \(W\). Hay dos caras con las longitudes laterales \(L\) y \(H\) y hay dos caras con las longitudes laterales \(W\) y \(H\).

Como el área de la superficie es la suma del área de cada una de las caras de las formas, para hallar el área de la superficie de un sólido rectangular puedes hallar el área de cada una de estas caras y sumarlas.

Esto se puede poner en una fórmula que te ayude a hallar el área total de la superficie del sólido rectangular:

\S=2LW+2LH+2WH.

Veamos un ejemplo de utilización de esta fórmula.

Superficie de un sólido triangular

Un sólido triangular tiene este aspecto:

Fig. 8. Sólido triangular (prisma triangular)

Hay muchos tipos distintos de prismas, no sólo el prisma triangular.

Cuando un prisma se corta por la mitad quedan dos formas idénticas, hay distintos tipos de prismas:

• Prisma hexagonal

• Prisma triangular

• Prisma rectangular

• Prisma cuadrado

Aquí tienes algunos diagramas que muestran el aspecto de estos prismas:

Fig. 9. Ejemplos de prismas

La apotema de una base es la distancia desde el punto medio de la forma hasta el lado exterior.

Independientemente del tipo de prisma que tengas, puedes hallar la superficie de un prisma utilizando la fórmula

\[S=2B+Ph = aP+Ph\]

donde

• \(B\) - área de la base

• \(a\) - apotema de la base

• \(P\) - perímetro de la base

• \(h\) - altura

Cálculo de la superficie de un hemisferio sólido

Una semiesfera sólida se parece a una esfera cortada por la mitad. Su aspecto es el siguiente

Fig. 10. Una semiesfera sólida

Para hallar la superficie total de una semiesfera sólida, tienes que hallar el área de la base del círculo y el área de la cara curva. Para ayudarte a hacerlo en un solo cálculo, existe una fórmula que puedes utilizar:

\[A=3\pi r^2\]

donde \(r\) es el radio.

Esta fórmula es muy parecida a la que utilizas para hallar la superficie de una esfera, \(4\pi r^2\). Cuando hallas la superficie de una semiesfera sólida, estás hallando la superficie de media esfera, por lo que divides la fórmula por la mitad para obtener \(2\pi r^2\). También tienes que añadir el área de la base del círculo \(\pi r^2\), ¡sumando todo esto obtienes la fórmula de una semiesfera sólida!

Veamos un ejemplo utilizando esta fórmula.

Ejemplos de la superficie de un sólido

Aquí tienes algunos ejemplos para hallar el área de la superficie de los sólidos.

Aquí tienes otro ejemplo.