Un sólido es una forma tridimensional (3D). La superficie es el área total de las caras que componen un sólido. En otras palabras, para nuestro ejemplo del papel de regalo, ¡el área superficial es la cantidad de papel que se necesitaría para cubrir el regalo! Aquí explorarás métodos y ecuaciones para calcular la superficie de los sólidos.
Fórmulas para la superficie de los sólidos
Las caras de una forma son las superficies planas que componen el sólido, las bases son las superficies superior e inferior de un sólido.
Fig. 1. Identificación de caras y bases de un sólido.
Cuando se halla la superficie de un sólido, se pueden hallar dos tipos diferentes de superficie
la superficie total
la superficie lateral
Superficie total: es la suma de las superficies de las caras y bases que componen un sólido.
Para hallar la superficie total de cualquier sólido, se suma el área de todas las caras y bases del sólido.
¿Y la superficie lateral?
Superficielateral: es la suma de las caras que forman un sólido, excluyendo la base o bases.
Para hallar la superficie lateral, suma el área de las caras del sólido excluyendo la base o bases.
Para hallar la superficie de cualquier sólido, tendrás que descomponer la forma: esto puede hacerse de forma diferente según el sólido que te hayan dado. Para ayudarte a hallar la superficie de un sólido, existen fórmulas que puedes utilizar, ¡dependen del tipo de sólido que tengas!
Veamos algunos tipos de sólidos y las fórmulas que puedes utilizar para hallar su superficie.
Superficie de un cilindro
Un cilindro es un tipo de sólido que no tiene aristas rectas, es similar a un prisma en el que ambas bases tienen la misma forma y la superficie puede calcularse de forma similar.
Fig. 2. Ejemplo de cilindro
En general, las variables utilizadas serán
\(B\) - área de la base;
\(C\) - circunferencia de la base;
\(r\) - radio de la base;
\(h\) - altura del cilindro; y
\(S\) - superficie del cilindro.
Existe una fórmula que puede utilizarse para hallar la superficie de un cilindro;
\S& =2B+Ch &=2\pi r^2+2\pi rh. \end{align}]
Para saber más sobre la superficie de los cilindros, consulta Superficie de los cilindros.
Superficie de un cono
Un cono es un tipo de sólido que tiene una base y un vértice. Un cono tiene una altura y una altura oblicua, la altura es la distancia desde el centro de la base hasta la parte superior del cono, el vértice. Mientras que la altura oblicua es la distancia desde el borde de la base hasta el vértice.
Fig. 3. Ejemplo de cono
Existe una fórmula que te puede ayudar a hallar la superficie de un cono:
\[S=B+\frac{1}{2}Cl=\pi r^2+\pi r\cdot l\]
donde
\(B\) - área de la base
\(C\) - circunferencia de la base
\(r\) - radio de la base
\(l\) - altura oblicua
Para saber más sobre la superficie de los conos, consulta Superficie de los conos.
Superficie de una esfera
Una esfera es un tipo de sólido que es un círculo tridimensional, por ejemplo una pelota. Una esfera tiene un punto central y el radio es la distancia desde el punto central hasta el punto exterior de la esfera.
Fig. 4. Ejemplo de esfera
Existe una fórmula que te puede ayudar a hallar la superficie de una esfera:
\[S=4\pi r^2\]
\[r=\texto{el radio}]
Para saber más sobre la superficie de las esferas, consulta Superficie de las esferas.
Superficie de una pirámide
Una pirámide es un tipo de sólido que tiene una base y caras triangulares que llegan todas a un vértice. Hay distintos tipos de pirámides, que se denominan según el tipo de base que tengan:
Pirámide cuadrada
Pirámide rectangular
Pirámide triangular
Pirámide hexagonal
Aquí tienes unos diagramas que muestran el aspecto de estas pirámides;
Fig. 5. Ejemplos de pirámides
Existe una fórmula que puede utilizarse para hallar la superficie de una pirámide:
\[S=B+\frac{1}{2}Pl\]
donde
- \(B\) - área de la base
- \(P\) - perímetro de la base
- \(l\) - altura oblicua
Para saber más sobre la superficie de las pirámides, consulta Superficie de las pirámides.
Superficie de un sólido rectangular
Un sólido rectangular es una forma tridimensional en la que todos los lados son rectángulos.
He aquí un ejemplo del aspecto que puede tener un sólido rectangular.
Fig. 6. Un sólido rectangular
Para saber cómo calcular la superficie de un sólido rectangular, puede ser útil descomponer la forma en sus distintas secciones. En el diagrama anterior puedes ver que hay dos caras con lados \(L\) y \(W\). Hay dos caras con las longitudes laterales \(L\) y \(H\) y hay dos caras con las longitudes laterales \(W\) y \(H\).
Como el área de la superficie es la suma del área de cada una de las caras de las formas, para hallar el área de la superficie de un sólido rectangular puedes hallar el área de cada una de estas caras y sumarlas.
Esto se puede poner en una fórmula que te ayude a hallar el área total de la superficie del sólido rectangular:
\S=2LW+2LH+2WH.
Veamos un ejemplo de utilización de esta fórmula.
Halla el área superficial del siguiente sólido rectangular;
Fig. 7. Ejemplo de sólidos rectangulares
Contesta:
Para hallar la superficie de un sólido rectangular, identifiquemos primero cada parte de la forma.
- \(L = 5\, cm\)
- \(An = 7 cm)
- \(H = 10 \, cm\)
Ahora puedes introducir cada valor en la fórmula y simplificar:
\S&=2LW+2C S&=2LW+2LH+2WH\&=2(5)(7)+2(5)(10)+2(7)(10) \N &= 2\cdot 35+2\cdot 50+2\cdot 70 \N&=70+100+140 \N &=310. \]
¡No olvides las unidades! El área de la superficie es \(310 \, cm^2\).
Superficie de un sólido triangular
Un sólido triangular, también conocido como prisma triangular, es un tipo de forma tridimensional cuyas bases son triángulos.
Un sólido triangular tiene este aspecto:
Fig. 8. Sólido triangular (prisma triangular)
Hay muchos tipos distintos de prismas, no sólo el prisma triangular.
Un prisma es un tipo de sólido en el que ambas bases tienen la misma forma.
Cuando un prisma se corta por la mitad quedan dos formas idénticas, hay distintos tipos de prismas:
Prisma hexagonal
Prisma triangular
Prisma rectangular
Prisma cuadrado
Aquí tienes algunos diagramas que muestran el aspecto de estos prismas:
Fig. 9. Ejemplos de prismas
La apotema de una base es la distancia desde el punto medio de la forma hasta el lado exterior.
Independientemente del tipo de prisma que tengas, puedes hallar la superficie de un prisma utilizando la fórmula
\[S=2B+Ph = aP+Ph\]
donde
\(B\) - área de la base
\(a\) - apotema de la base
\(P\) - perímetro de la base
\(h\) - altura
Para saber más sobre la superficie de los prismas, consulta Superficie de los prismas.
Cálculo de la superficie de un hemisferio sólido
Una semiesfera sólida se parece a una esfera cortada por la mitad. Su aspecto es el siguiente
Fig. 10. Una semiesfera sólida
Para hallar la superficie total de una semiesfera sólida, tienes que hallar el área de la base del círculo y el área de la cara curva. Para ayudarte a hacerlo en un solo cálculo, existe una fórmula que puedes utilizar:
\[A=3\pi r^2\]
donde \(r\) es el radio.
Esta fórmula es muy parecida a la que utilizas para hallar la superficie de una esfera, \(4\pi r^2\). Cuando hallas la superficie de una semiesfera sólida, estás hallando la superficie de media esfera, por lo que divides la fórmula por la mitad para obtener \(2\pi r^2\). También tienes que añadir el área de la base del círculo \(\pi r^2\), ¡sumando todo esto obtienes la fórmula de una semiesfera sólida!
Veamos un ejemplo utilizando esta fórmula.
Halla la superficie total de una semiesfera sólida que tiene un radio de \(5\, cm\).
Contesta:
En primer lugar, te han dicho que el sólido es una semiesfera sólida con un radio de \ (5\, cm\). Para hallar la superficie total, puedes utilizar la fórmula del sólido:
\[A=3\pi r^2.\]
Ahora puedes introducir la información de la pregunta, es decir \(r=5\), para obtener
\[A&=3\pi 5^2 \\\\tu=75\pi \\tu=aproximadamente 235,6.\\tu]
Observa la diferencia entre el área exacta \( 75\pi \ , cm^2) y la aproximación del área, \ ( 235,6 \, cm^2).
Ejemplos de la superficie de un sólido
Aquí tienes algunos ejemplos para hallar el área de la superficie de los sólidos.
Halla el área de la superficie del siguiente sólido.
Fig. 11. Ejemplo resuelto
Contesta:
En primer lugar, fíjate en que se trata de un cono. Después, ¿qué información tienes en el diagrama?
- El radio \(r\) es de 5 pulgadas.
- La altura oblicua \(l\) es de 10 pulgadas.
Saber que tienes la altura oblicua te indica qué fórmula para el área de la superficie de un cono debes utilizar. En este caso, es
\[S=\pi r^2+\pi r \cdot l.\]
Ahora puedes introducir lo que sabes en la fórmula:
\[\begin{align} S &=\pi 5^2+\pi (5)(10)\\pi &=\pi 5^2+50\pi \\pi & = 75\pi .\end{align}\]
Cuando escribas tu respuesta, ¡no olvides las unidades! Así que la superficie del cono es de \(75\) pulgadas cuadradas, o \(75\, in^2\).
Puede que te pidan que aproximes la superficie. En ese caso, si utilizas una aproximación para \(\pi\) y redondeas a un decimal, obtendrás que la superficie es aproximadamente \(235,6 \, in^2\). Podrías escribirlo como
\[S \aprox 235,6 \, in^2.\]
Aquí tienes otro ejemplo.
¿Qué fórmula utilizarías para hallar la superficie del siguiente sólido?
Fig. 12. Ejemplo resuelto
Responde:
Para hallar la superficie de esta forma, primero tendrías que identificar la forma. Se trata de una esfera.
Ahora puedes recordar la fórmula utilizada para hallar la superficie de una esfera, que es
\[S=4\pi r^2.\]
Superficie de los sólidos - Puntos clave
- Un sólido es una forma tridimensional, puedes hallar la superficie de un sólido sumando todas las caras y bases de la forma.
- Puedes utilizar distintas fórmulas en función del sólido para hallar más rápidamente el área superficial;
- Superficie de un prisma \[S=2B+Ph = aP+Ph\]
- Superficie de un cilindro \[S=2B+Ch=2\pi r^2+2\pi rh\]
- Superficie de un cono \[S=B+\frac{1}{2}Cl=\pi r^2+\pi rl\]
- Superficie de una esfera \[S=4\pi r^2]
- Superficie de una pirámide \[ S=B+\frac{1}{2}Pl\]
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