Teorema de Líneas Paralelas: 'Propiedades', 'Aplicaciones'

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Las líneas paralelas son una parte importante del estudio de los cuadriláteros, como en los paralelogramos, por ejemplo, que son figuras de cuatro lados que tienen lados opuestos paralelos. En este artículo estudiaremos los teoremas y postulados sobre las rectas paralelas. Pero antes, definamos las rectas paralelas.

Las rectas coplanarias que son equidistantes entre sí y nunca se cruzan en ningún punto se conocen como rectas paralelas.

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Teoremas de ángulos y rectas paralelas

Podemos hacer afirmaciones sobre las rectas paralelas basándonos en los ángulos que forman. En otras palabras, podemos demostrar que las rectas son paralelas basándonos en los ángulos, y a la inversa, también podemos demostrar la congruencia de los ángulos basándonos en la existencia de rectas paralelas. Antes de seguir adelante, repasemos algunas definiciones y conceptos básicos relativos a las rectas paralelas. En primer lugar, ¿cómo podemos diferenciar las rectas paralelas de las no paralelas?

Las rectas noparalelas son dos o más rectas que no están a la misma distancia y que se cruzan en algún punto o que se cruzarán en algún punto.

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Quizá te preguntes, ¿qué relación tienen las rectas paralelas con los ángulos si nunca se intersecan? La respuesta son las transversales: Las rectas transversales desempeñan un papel importante en la determinación de los ángulos asociados a las rectas paralelas.

Una recta que pasa por dos rectas en puntos distintos del mismo plano se llama recta transversal.

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Congruencia de ángulos basada en rectas paralelas

En primer lugar, veremos los enunciados importantes para demostrar la congruencia de ángulos basada en rectas paralelas.

Teorema 1: Ángulo interior alterno

Si dos rectas paralelas de un plano se cortan por una transversal, los ángulos interiores alternos que se forman son congruentes (iguales). Observa que los ángulos interiores son los que están en el interior de las rectas paralelas.

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Los ángulos que se forman en el lado opuesto de la transversal y están en la cara interna de las rectas paralelas se conocen como ángulos alternos.

Teorema 2: Ángulo exterior alterno

Si dos rectas paralelas de un plano se cortan por una transversal, los ángulos exteriores que se forman son congruentes. Observa que los ángulos exteriores son los que están en el interior de las rectas paralelas.

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Teorema 3: Ángulos interiores consecutivos

Si dos rectas paralelas de un plano están cortadas por una transversal, los ángulos interiores consecutivos que se forman en el mismo lado son suplementarios.

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Dos ángulos son suplementarios si la suma de la medida de ambos ángulos es $180 °$ .

Teorema 4: Ángulos exteriores consecutivos

Si dos rectas paralelas de un plano están cortadas por una transversal, los ángulos exteriores consecutivos que se forman en el mismo lado son suplementarios.

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Teorema 5: Ángulos correspondientes

Si dos rectas paralelas de un plano están cortadas por una transversal, los ángulos correspondientes que se forman son congruentes.

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Los ángulos formados en los vértices coincidentes de las rectas paralelas formadas por la transversal se conocen como ángulos correspondientes.

Demostración de rectas paralelas basada en ángulos

Ahora veremos la parte inversa de los teoremas anteriores.

Teorema 6: Conversión de los ángulos interiores alternos

Si dos rectas de un plano están cortadas por una transversal tal que los ángulos interiores alternos formados son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas.

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Teorema 7: Conversión de ángulos exteriores alternos

Si dos rectas de un plano están cortadas por una transversal tal que los ángulos exteriores alternos formados son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas.

Teorema de las rectas paralelas, ángulos de las rectas paralelas, StudySmarter Líneas paralelas con ángulos exteriores alternos, StudySmarter Originals

Teorema 8: Ángulos interiores consecutivos conversos

Si dos rectas de un plano están cortadas por una transversal tal que los ángulos interiores consecutivos formados tienen una suma de $180 °$ entonces las dos rectas son paralelas.

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Teorema 9: Conversión de ángulos exteriores consecutivos

Si dos rectas de un plano están cortadas por una transversal tal que los ángulos exteriores consecutivos formados tienen una suma de $180 °$ entonces las dos rectas son paralelas.

Teoremas sobre rectas paralelas ángulos exteriores consecutivos StudySmarter Líneas paralelas con ángulos exteriores consecutivos, StudySmarter Originals

Teorema 10: Conversión de los ángulos correspondientes

Si dos rectas de un plano están cortadas por una transversal tal que los ángulos correspondientes formados son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas.

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Ángulos y rectas paralelas: Ejemplos resueltos

A continuación veremos algunos ejemplos relativos a los teoremas mencionados.

En la figura dada $p ∥ q$ y $m ∥ n$ . Y $m ∠ 3 = 102 °$ .

Halla (a) $m ∠ 5$ (b) $m ∠ 6$ (c) $m ∠ 14$

Teorema de las rectas paralelas, ángulos de las rectas paralelas, StudySmarter Rectas paralelas con dos transversales, StudySmarter Originals

Solución: (a) Aquí $m ∥ n$ y la recta p es transversal a las rectas m y n. Aplicando ahora el teorema de los ángulos interiores alternos, obtenemos $∠ 3 ≅ ∠ 5 .$

$\Rightarrow ∠ 3 = ∠ 5 \Rightarrow ∠ 5 = 102 °$

(b) De forma análoga a (a), p es transversal a las rectas paralelas m y n. Aplicamos el teorema de los ángulos interiores consecutivos. Así que $∠ 3$ y $∠ 6$ son suplementarios.

$\Rightarrow ∠ 3 + ∠ 6 = 180 ° \Rightarrow ∠ 6 = 180 ° - ∠ 3 \Rightarrow ∠ 6 = 180 ° - 102 ° ∴ ∠ 6 = 78 °$

(c) Utilizaremos el $∠ 6$ para calcular $∠ 14$ ya que ambas se encuentran en la misma recta n . Aquí $∠ 6$ y $∠ 14$ están sobre las rectas paralelas, p y q, respectivamente, y la recta n funciona como transversal de ambas rectas. Así que $∠ 6$ y $∠ 14$ forman ángulos correspondientes.

Por tanto, según el teorema del ángulo correspondiente, ambos ángulos son congruentes.

$\Rightarrow ∠ 6 ≅ ∠ 14 ∴ ∠ 14 = 78 °$

Veamos ahora otros teoremas importantes sobre las rectas paralelas y sus demostraciones.

Teorema de la transversal perpendicular para rectas paralelas

El siguiente enunciado presenta la relación entre las rectas transversales perpendiculares y las paralelas.

Teorema 11: Teorema de la transversal perpendicular

Si dos rectas de un plano están cortadas por una transversal perpendicular, entonces ambas rectas son paralelas.

Cuadriláteros, recta perpendicular paralela, StudySmarter Rectas paralelas con transversal perpendicular, StudySmarter Originals

Demostración: Aquí, la transversal t es perpendicular tanto a la recta p como a la recta q, $i . e . t ⊥ p, t ⊥ q$

Ahora tenemos que demostrar que p y q son paralelas. Como la transversal t es perpendicular a p, implica $m ∠ 1 = 90 ° .$ Análogamente, como la transversal t es perpendicular a q, obtenemos $m ∠ 2 = 90 ° .$

$\Rightarrow m ∠ 1 = m ∠ 2$

Ahora, utilizando la definición de congruencia, que establece que si la medida de dos ángulos es igual, entonces ambos ángulos son congruentes entre sí, obtenemos $∠ 1 ≅ ∠ 2 .$

En la figura podemos ver claramente que ambos ángulos son ángulos correspondientes. Así que utilizando el teorema 10, el teorema de la inversa de los ángulos correspondientes, podemos decir directamente que $p ∥ q .$ Es decir, tanto la recta p como la recta q son paralelas entre sí. Por tanto, el teorema queda demostrado.

Teorema de la transitividad de las rectas paralelas

Otra de las afirmaciones importantes de las rectas paralelas utiliza la relación de transitividad.

Teorema 11: Transitividad de las rectas paralelas

Si dos rectas de un plano son paralelas a la misma recta, entonces todas las rectas son paralelas entre sí.

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Demostración: Demostremos ahora que la recta común a otras rectas paralelas es paralela. Es decir, $p ∥ q, q ∥ r .$

Entonces, sin pérdida de generalidad, podemos decir que la recta q está entre la recta p y la recta r.

Ahora tenemos que demostrar que la recta p y la recta r son paralelas. $i . e . p ∥ r$

Aquí utilizaremos el método de la contradicción para demostrar este resultado, que demuestra que una afirmación es verdadera simplemente probando que no es posible que sea falsa. Por tanto, para demostrar que la recta p y la recta r son paralelas, primero suponemos que la recta p y la recta r no son rectas paralelas (una contradicción). Eso significa que la recta p y la recta r deben intersecarse, según la definición de rectas no paralelas. Ahora bien, como la recta q se encuentra entre las rectas p y r, cuando estas rectas se crucen, la recta p o la recta r tendrían que cruzarse también con la recta q. Sin embargo, como la recta q es paralela tanto a la recta p como a la recta r, esto no puede ser posible. Por tanto, nuestra suposición de que la recta p y la recta r no son paralelas es falsa. Por el método de la contradicción, la recta p y la recta r son paralelas entre sí. Así pues, hemos demostrado que si $p ∥ q$ y $q ∥ r$ entonces $p ∥ r .$

Vamos a ver el teorema que demuestra la proporcionalidad entre tres rectas paralelas.

Teorema 12: Teorema de las tres rectas paralelas

Si tres rectas paralelas son cortadas por dos transversales, entonces los segmentos formados en la transversal tienen igual proporción.

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Tres rectas paralelas, StudySmarter Originals

Demostración: Aquí las rectas p, q y r son paralelas entre sí. Y estas rectas son cortadas por dos transversales t y s en los puntos A, B, C, y D, E y F respectivamente.

Ahora tenemos que demostrar que $\frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F} .$

Para demostrarlo, utilizaremos el teorema de intercepción. Se nos da que las rectas p, q y r son paralelas. Entonces construimos una recta AH desde el punto A, que es paralela a DF.

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Podemos observar que la parte izquierda de la figura es exactamente lo que afirma el teorema del intercepto. Por tanto, a partir del teorema del intercepto, obtenemos

$\frac{A B}{B C} = \frac{A G}{G H}$

Como hemos construido la recta paralela AH, sabemos que $A H ∥ D F .$

También sabemos que las rectas p, q y r son paralelas. Así pues, por la definición de paralelogramo, ADEG y EFHG son ambos paralelogramos. Ahora, por las propiedades de un paralelogramo, sabemos que los lados opuestos son iguales.

$\Rightarrow A G = D E, G H = E F$

Utilizando la propiedad transitiva, podemos sustituir directamente y obtener el siguiente resultado.

$\frac{A B}{B C} = \frac{A G}{G H} = \frac{D E}{E F}$

$\Rightarrow \frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F}$

Por tanto, podemos decir que los segmentos formados en ambas transversales son de igual proporción.

Ejemplos resueltos con teoremas de rectas paralelas

Apliquemos los teoremas anteriores relativos a las rectas paralelas a algunos ejemplos.

Cada línea es paralela a la línea inmediata siguiente en la figura inferior. Demuestra entonces que $K_{1} ∥ K_{4} .$

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Solución: Se da que $K_{1} ∥ K_{2}$ y $K_{2} ∥ K_{3} .$ Entonces, aplicando el teorema de la propiedad transitiva de las rectas paralelas, obtenemos que $K_{1} ∥ K_{3 .}$ Ahora también se da que $K_{3} ∥ K_{4}$ y ya hemos encontrado $K_{1} ∥ K_{3 .}$ Por tanto, aplicando de nuevo el teorema de la propiedad transitiva de las rectas paralelas, sabemos que $K_{1} ∥ K_{4 .}$

En la siguiente figura dos rectas, a y c, son perpendiculares a la recta s. Además, se da que $a ∥ b .$ Entonces demuestra que $b ∥ c .$

Teorema de las rectas paralelas, ejemplos de rectas paralelas, StudySmarter Ejemplo de rectas paralelas, StudySmarter Originals

Solución: Aquí se da que la recta s corta perpendicularmente a la recta a y a la recta c. Así que aplicando el teorema de la transversal perpendicular obtenemos $a ∥ c .$ Se nos da $a ∥ b$ y ya hemos visto que $a ∥ c .$ Entonces, a partir de la propiedad de transitividad del teorema de las rectas paralelas, se demuestra inmediatamente que $b ∥ c .$

Teorema de las rectas paralelas - Puntos clave

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores alternos son congruentes. Y a la inversa, si dos rectas son cortadas por una transversal de modo que los ángulos interiores alternos son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas.
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos exteriores son congruentes. A la inversa, si dos rectas son cortadas por una transversal de modo que los ángulos exteriores alternos son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
Si dos rectas paralelas están cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores consecutivos y los ángulos exteriores consecutivos del mismo lado son suplementarios. También existe la inversa.
Dos rectas de un plano cortadas por transversales son paralelas si y sólo si los ángulos correspondientes son congruentes.
Si dos rectas de un plano están cortadas por una transversal perpendicular, ambas son paralelas.
Si dos rectas de un plano son paralelas a la misma recta, entonces todas las rectas son paralelas entre sí.
Si tres rectas paralelas son cortadas por dos transversales, los segmentos formados en las transversales tienen igual proporción.

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Si dos rectas de un plano son paralelas a la misma recta, ¿entonces todas las rectas son paralelas entre sí?

Sí

Los segmentos con tres líneas paralelas y dos transversales ¿qué proporción tienen?

Igual

Una transversal a dos rectas es perpendicular, luego ambas rectas no son paralelas.

Verdadero

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Preguntas frecuentes sobre Teorema de Líneas Paralelas

¿Qué es el Teorema de Líneas Paralelas?

El Teorema de Líneas Paralelas establece que si una línea transversal corta dos líneas paralelas, entonces los ángulos correspondientes son congruentes.

¿Cómo se identifican las líneas paralelas?

Para identificar líneas paralelas, observa si tienen la misma pendiente o si los ángulos correspondientes son congruentes cuando una transversal las corta.

¿Cuáles son los ángulos correspondientes en líneas paralelas?

Ángulos correspondientes son pares de ángulos en la misma posición relativa cuando una transversal corta dos líneas paralelas.

¿Qué relación hay entre líneas paralelas y ángulos alternos internos?

En líneas paralelas, los ángulos alternos internos son congruentes, es decir, tienen la misma medida.

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