En Geometría hemos aprendido el concepto de línea. Este concepto fundamental también se ve en todas partes en la vida cotidiana, como en los lados de puertas y ventanas o en cualquier superficie plana con un borde recto. A menudo, vemos dos líneas paralelas similares, como en un paso de cebra, las vías del tren o las escaleras.
Las líneas paralelas son una parte importante del estudio de los cuadriláteros, como en los paralelogramos, por ejemplo, que son figuras de cuatro lados que tienen lados opuestos paralelos. En este artículo estudiaremos los teoremas y postulados sobre las rectas paralelas. Pero antes, definamos las rectas paralelas.
Las rectas coplanarias que son equidistantes entre sí y nunca se cruzan en ningún punto se conocen como rectas paralelas.
Líneas paralelas, StudySmarter Originals
Teoremas de ángulos y rectas paralelas
Podemos hacer afirmaciones sobre las rectas paralelas basándonos en los ángulos que forman. En otras palabras, podemos demostrar que las rectas son paralelas basándonos en los ángulos, y a la inversa, también podemos demostrar la congruencia de los ángulos basándonos en la existencia de rectas paralelas. Antes de seguir adelante, repasemos algunas definiciones y conceptos básicos relativos a las rectas paralelas. En primer lugar, ¿cómo podemos diferenciar las rectas paralelas de las no paralelas?
Las rectas noparalelas son dos o más rectas que no están a la misma distancia y que se cruzan en algún punto o que se cruzarán en algún punto.
Líneas no paralelas, StudySmarter Originals
Quizá te preguntes, ¿qué relación tienen las rectas paralelas con los ángulos si nunca se intersecan? La respuesta son las transversales: Las rectas transversales desempeñan un papel importante en la determinación de los ángulos asociados a las rectas paralelas.
Una recta que pasa por dos rectas en puntos distintos del mismo plano se llama recta transversal.
Transversal, Originales de StudySmarter
Congruencia de ángulos basada en rectas paralelas
En primer lugar, veremos los enunciados importantes para demostrar la congruencia de ángulos basada en rectas paralelas.
Teorema 1: Ángulo interior alterno
Si dos rectas paralelas de un plano se cortan por una transversal, los ángulos interiores alternos que se forman son congruentes (iguales). Observa que los ángulos interiores son los que están en el interior de las rectas paralelas.
Los ángulos que se forman en el lado opuesto de la transversal y están en la cara interna de las rectas paralelas se conocen como ángulos alternos.
Teorema 2: Ángulo exterior alterno
Si dos rectas paralelas de un plano se cortan por una transversal, los ángulos exteriores que se forman son congruentes. Observa que los ángulos exteriores son los que están en el interior de las rectas paralelas.
Si dos rectas paralelas de un plano están cortadas por una transversal, los ángulos interiores consecutivos que se forman en el mismo lado son suplementarios.
Dos ángulos son suplementarios si la suma de la medida de ambos ángulos es.
Teorema 4: Ángulos exteriores consecutivos
Si dos rectas paralelas de un plano están cortadas por una transversal, los ángulos exteriores consecutivos que se forman en el mismo lado son suplementarios.
Si dos rectas paralelas de un plano están cortadas por una transversal, los ángulos correspondientes que se forman son congruentes.
Ángulos correspondientes, StudySmarter Originals
Los ángulos formados en los vértices coincidentes de las rectas paralelas formadas por la transversal se conocen como ángulos correspondientes.
Demostración de rectas paralelas basada en ángulos
Ahora veremos la parte inversa de los teoremas anteriores.
Teorema 6: Conversión de los ángulos interiores alternos
Si dos rectas de un plano están cortadas por una transversal tal que los ángulos interiores alternos formados son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas.
Líneas paralelas con ángulos interiores alternos, StudySmarter Originals
Teorema 7: Conversión de ángulos exteriores alternos
Si dos rectas de un plano están cortadas por una transversal tal que los ángulos exteriores alternos formados son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas.
Líneas paralelas con ángulos exteriores alternos, StudySmarter Originals
Si dos rectas de un plano están cortadas por una transversal tal que los ángulos interiores consecutivos formados tienen una suma deentonces las dos rectas son paralelas.
Rectas paralelas con ángulos interiores consecutivos, StudySmarter Originals
Teorema 9: Conversión de ángulos exteriores consecutivos
Si dos rectas de un plano están cortadas por una transversal tal que los ángulos exteriores consecutivos formados tienen una suma de entonces las dos rectas son paralelas.
Líneas paralelas con ángulos exteriores consecutivos, StudySmarter Originals
Teorema 10: Conversión de los ángulos correspondientes
Si dos rectas de un plano están cortadas por una transversal tal que los ángulos correspondientes formados son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas.
Líneas paralelas con ángulos correspondientes, StudySmarter Originals
Ángulos y rectas paralelas: Ejemplos resueltos
A continuación veremos algunos ejemplos relativos a los teoremas mencionados.
En la figura dada y . Y .
Halla (a) (b) (c)
Rectas paralelas con dos transversales, StudySmarter Originals
Solución: (a) Aquí y la recta p es transversal a las rectas m y n. Aplicando ahora el teorema de los ángulos interiores alternos, obtenemos
(b) De forma análoga a (a), p es transversal a las rectas paralelas m y n. Aplicamos el teorema de los ángulos interiores consecutivos. Así que y son suplementarios.
(c) Utilizaremos el para calcular ya que ambas se encuentran en la misma recta n . Aquí y están sobre las rectas paralelas, p y q, respectivamente, y la recta n funciona como transversal de ambas rectas. Así que y forman ángulos correspondientes.
Por tanto, según el teorema del ángulo correspondiente, ambos ángulos son congruentes.
Veamos ahora otros teoremas importantes sobre las rectas paralelas y sus demostraciones.
Teorema de la transversal perpendicular para rectas paralelas
El siguiente enunciado presenta la relación entre las rectas transversales perpendiculares y las paralelas.
Teorema 11: Teorema de la transversal perpendicular
Si dos rectas de un plano están cortadas por una transversal perpendicular, entonces ambas rectas son paralelas.
Rectas paralelas con transversal perpendicular, StudySmarter Originals
Demostración: Aquí, la transversal t es perpendicular tanto a la recta p como a la recta q,
Ahora tenemos que demostrar que p y q son paralelas. Como la transversal t es perpendicular a p, implica Análogamente, como la transversal t es perpendicular a q, obtenemos
Ahora, utilizando la definición de congruencia, que establece que si la medida de dos ángulos es igual, entonces ambos ángulos son congruentes entre sí, obtenemos
En la figura podemos ver claramente que ambos ángulos son ángulos correspondientes. Así que utilizando el teorema 10, el teorema de la inversa de los ángulos correspondientes, podemos decir directamente que Es decir, tanto la recta p como la recta q son paralelas entre sí. Por tanto, el teorema queda demostrado.
Teorema de la transitividad de las rectas paralelas
Otra de las afirmaciones importantes de las rectas paralelas utiliza la relación de transitividad.
Teorema 11: Transitividad de las rectas paralelas
Si dos rectas de un plano son paralelas a la misma recta, entonces todas las rectas son paralelas entre sí.
Propiedad transitiva de las rectas paralelas, StudySmarter Originals
Demostración: Demostremos ahora que la recta común a otras rectas paralelas es paralela. Es decir,
Entonces, sin pérdida de generalidad, podemos decir que la recta q está entre la recta p y la recta r.
Ahora tenemos que demostrar que la recta p y la recta r son paralelas.
Aquí utilizaremos el método de la contradicción para demostrar este resultado, que demuestra que una afirmación es verdadera simplemente probando que no es posible que sea falsa. Por tanto, para demostrar que la recta p y la recta r son paralelas, primero suponemos que la recta p y la recta r no son rectas paralelas (una contradicción). Eso significa que la recta p y la recta r deben intersecarse, según la definición de rectas no paralelas. Ahora bien, como la recta q se encuentra entre las rectas p y r, cuando estas rectas se crucen, la recta p o la recta r tendrían que cruzarse también con la recta q. Sin embargo, como la recta q es paralela tanto a la recta p como a la recta r, esto no puede ser posible. Por tanto, nuestra suposición de que la recta p y la recta r no son paralelas es falsa. Por el método de la contradicción, la recta p y la recta r son paralelas entre sí. Así pues, hemos demostrado que si y entonces
Vamos a ver el teorema que demuestra la proporcionalidad entre tres rectas paralelas.
Teorema 12: Teorema de las tres rectas paralelas
Si tres rectas paralelas son cortadas por dos transversales, entonces los segmentos formados en la transversal tienen igual proporción.
Tres rectas paralelas, StudySmarter Originals
Demostración: Aquí las rectas p, q y r son paralelas entre sí. Y estas rectas son cortadas por dos transversales t y s en los puntos A, B, C, y D, E y F respectivamente.
Ahora tenemos que demostrar que
Para demostrarlo, utilizaremos el teorema de intercepción. Se nos da que las rectas p, q y r son paralelas. Entonces construimos una recta AH desde el punto A, que es paralela a DF.
Tres rectas paralelas con una tercera transversal, StudySmarter Originals
Podemos observar que la parte izquierda de la figura es exactamente lo que afirma el teorema del intercepto. Por tanto, a partir del teorema del intercepto, obtenemos
Como hemos construido la recta paralela AH, sabemos que
También sabemos que las rectas p, q y r son paralelas. Así pues, por la definición de paralelogramo, ADEG y EFHG son ambos paralelogramos. Ahora, por las propiedades de un paralelogramo, sabemos que los lados opuestos son iguales.
Utilizando la propiedad transitiva, podemos sustituir directamente y obtener el siguiente resultado.
Por tanto, podemos decir que los segmentos formados en ambas transversales son de igual proporción.
Ejemplos resueltos con teoremas de rectas paralelas
Apliquemos los teoremas anteriores relativos a las rectas paralelas a algunos ejemplos.
Cada línea es paralela a la línea inmediata siguiente en la figura inferior. Demuestra entonces que
Ejemplo de propiedad de transitividad con cuatro rectas paralelas
Solución: Se da que y Entonces, aplicando el teorema de la propiedad transitiva de las rectas paralelas, obtenemos que Ahora también se da que y ya hemos encontrado Por tanto, aplicando de nuevo el teorema de la propiedad transitiva de las rectas paralelas, sabemos que
En la siguiente figura dos rectas, a y c, son perpendiculares a la recta s. Además, se da que Entonces demuestra que
Ejemplo de rectas paralelas, StudySmarter Originals
Solución: Aquí se da que la recta s corta perpendicularmente a la recta a y a la recta c. Así que aplicando el teorema de la transversal perpendicular obtenemos Se nos da y ya hemos visto que Entonces, a partir de la propiedad de transitividad del teorema de las rectas paralelas, se demuestra inmediatamente que
Teorema de las rectas paralelas - Puntos clave
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores alternos son congruentes. Y a la inversa, si dos rectas son cortadas por una transversal de modo que los ángulos interiores alternos son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas.
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos exteriores son congruentes. A la inversa, si dos rectas son cortadas por una transversal de modo que los ángulos exteriores alternos son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
Si dos rectas paralelas están cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores consecutivos y los ángulos exteriores consecutivos del mismo lado son suplementarios. También existe la inversa.
Dos rectas de un plano cortadas por transversales son paralelas si y sólo si los ángulos correspondientes son congruentes.
Si dos rectas de un plano están cortadas por una transversal perpendicular, ambas son paralelas.
Si dos rectas de un plano son paralelas a la misma recta, entonces todas las rectas son paralelas entre sí.
Si tres rectas paralelas son cortadas por dos transversales, los segmentos formados en las transversales tienen igual proporción.
Aprende más rápido con las 3 tarjetas sobre Teorema de Líneas Paralelas
Regístrate gratis para acceder a todas nuestras tarjetas.
Preguntas frecuentes sobre Teorema de Líneas Paralelas
¿Qué es el Teorema de Líneas Paralelas?
El Teorema de Líneas Paralelas establece que si una línea transversal corta dos líneas paralelas, entonces los ángulos correspondientes son congruentes.
¿Cómo se identifican las líneas paralelas?
Para identificar líneas paralelas, observa si tienen la misma pendiente o si los ángulos correspondientes son congruentes cuando una transversal las corta.
¿Cuáles son los ángulos correspondientes en líneas paralelas?
Ángulos correspondientes son pares de ángulos en la misma posición relativa cuando una transversal corta dos líneas paralelas.
¿Qué relación hay entre líneas paralelas y ángulos alternos internos?
En líneas paralelas, los ángulos alternos internos son congruentes, es decir, tienen la misma medida.
How we ensure our content is accurate and trustworthy?
At StudySmarter, we have created a learning platform that serves millions of students. Meet
the people who work hard to deliver fact based content as well as making sure it is verified.
Content Creation Process:
Lily Hulatt
Digital Content Specialist
Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.