Teorema de Pitágoras: 'Ejemplos', 'Aplicaciones'

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Historia del teorema de Pitágoras

¿Qué explica el teorema de Pitágoras?

El teorema de Pitágoras nos dice que si los lados de un triángulo rectángulo o rectángulo son cuadrados, el área del cuadrado mayor es igual a la suma del área de los dos cuadrados menores.

Teorema de Pitágoras Una imagen que ilustra la relación entre los cuadrados y un triángulo rectángulo StudySmarter Una imagen que ilustra la relación entre los cuadrados y un triángulo rectángulo, Njoku - StudySmarter Originals

Teorema de Pitágoras Una imagen que utiliza cuadrados para demostrar el teorema de Pitágoras StudySmarter Una imagen que utiliza cuadrados para demostrar el teorema de Pitágoras, Njoku - StudySmarter Originals

Así pues, el área del cuadrado mayor es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados menores;

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$

Esto es lo que explica el teorema de Pitágoras.

Por tanto, el teorema de Pitágoras afirma que cuando un triángulo tiene uno de sus ángulos igual a 90 grados, entonces el cuadrado del lado más largo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

El lado más largo se llama hipotenusa, el lado vertical se llama opuesto y el lado horizontal se llama adyacente.

Teorema de Pitágoras Una ilustración sobre los lados de un triángulo rectángulo StudySmarter Una ilustración sobre los lados de un triángulo rectángulo, Njoku - StudySmarter Originals

Así pues, la fórmula del teorema de Pitágoras es;

$h y p o t e n u s e^{2} = o p p o s i t e^{2} + a d j a c e n t^{2}$

Halla el valor de x en la figura siguiente;

Utilizando el teorema de Pitágoras, podemos ver que nuestro opuesto y adyacente está dado pero nuestra hipotenusa está dada como x. Por tanto

${hypotenuse}^{2} = {opposite}^{2} + {adjacent}^{2} x^{2} = 5^{2} + 12^{2} x^{2} = 25 + 144 x^{2} = 169$

Halla la raíz cuadrada de ambos lados

$x = 13 c m$

Si un triángulo rectángulo tiene igual dimensión en dos de sus lados y el lado mayor mide 8 cm. Halla los otros lados.

Solución.

Según la pregunta, la hipotenusa mide 8 cm. Sin embargo, no se indican los lados opuesto y adyacente. Además, se nos dice opuesto = adyacente.

Dejemos que adyacente = y; eso significa opuesto = y. Por tanto:

Usando el teorema de Pitágoras ${hypotenuse}^{2} = {opposite}^{2} + {adjacent}^{2} 8^{2} = y^{2} + y^{2} 64 = 2 y^{2}$

Divide ambos lados por 2

$\frac{64}{2} = \frac{2 y^{2}}{2} 32 = y^{2}$

Halla la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación

$\sqrt{32} = \sqrt{y^{2}} y = 4 \sqrt{2} c m$

Entonces el opuesto es 4√2cm y el adyacente es 4√2cm.

Si senØ = 2/5, halla cosØ y tanØ.

Solución

$S i n Ø = \frac{o p p o s i t e}{h y p o t e n u s e} = \frac{2}{5}$

Esto significa que el opuesto es 2 y el adyacente es 5. Mientras tanto, tenemos que hallar el adyacente: ${hypotenuse}^{2} = {opposite}^{2} + {adjacent}^{2} 5^{2} = 2^{2} + a d j a c e n t^{2} 9 = 4 + a d j a c e n t^{2}$

Resta 4 a ambos lados de la ecuación.

$9 - 4 = 4 + a d j a c e n t^{2} - 4 5 = a d j a c e n t^{2}$

Saca las raíces cuadradas.

$a d j a c e n t = \sqrt{5}$

Ahora tenemos los valores de todos los lados.

$\cos \emptyset = \frac{adjacent}{hypotenuse} \cos \emptyset = \frac{\sqrt{5}}{5} Tan \emptyset = \frac{opposite}{adjacent} t a n \emptyset = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Racionaliza multiplicando el denominador y el numerador por √5.

$t a n \emptyset = \frac{2 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} t a n \emptyset = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

¿Qué es el triple de Pitágoras?

Un triple pitagórico consiste en 3 conjuntos de números que demuestran correctamente el teorema de Pitágoras. Esto significa que el cuadrado del número más alto entre estos números debe ser igual a la suma de los cuadrados de los otros dos números del conjunto.

Determina si lo siguiente es un triple pitagórico.

1. 7, 12 y 5

2. 8, 15 y 17

Solución

1. Para confirmar si las series 7, 12 y 5 son triples pitagóricos, toma el cuadrado del número mayor.

El número mayor es 12 y su cuadrado es 144.

Debes sumar los cuadrados de los otros dos números de la serie.

el cuadrado de 7 es 49

el cuadrado de 5 es 25

49+25 = 74

$144 \neq 74 12^{2} \neq 7^{2} + 5^{2}$

Esto significa que la serie 7, 12 y 5 no es un triple pitagórico.

2. Para confirmar si las series 8, 15 y 17 son triples pitagóricos, toma el cuadrado del número mayor.

El número mayor es 17 y su cuadrado es 289.

Debes sumar los cuadrados de los otros dos números de la serie.

el cuadrado de 8 es 64

el cuadrado de 15 es 225

64+225 = 289

$289 = 289 17^{2} = 8^{2} + 15^{2}$

Esto demuestra que el conjunto 8, 15 y 17 es un triple pitagórico.

Teorema de Pitágoras - Puntos clave

El teorema de Pitágoras nos dice que si los lados de un triángulo rectángulo o rectángulo son cuadrados, el área del cuadrado mayor es igual a la suma del área de los dos cuadrados menores.
El lado más largo se llama hipotenusa, el vertical opuesto y el horizontal adyacente.
La fórmula del teorema de Pitágoras es; $h y p o t e n u s e^{2} = o p p o s i t e^{2} + a d j a c e n t^{2}$
Un triple pitagórico consiste en 3 conjuntos de números que demuestran correctamente el teorema de Pitágoras.

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Preguntas frecuentes sobre Teorema de Pitágoras

¿Qué es el Teorema de Pitágoras?

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos.

¿Cómo se usa el Teorema de Pitágoras?

Para usar el Teorema de Pitágoras, se necesitan las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo para encontrar la tercera.

¿Cuál es la fórmula del Teorema de Pitágoras?

La fórmula del Teorema de Pitágoras es: a² + b² = c², donde 'c' es la hipotenusa y 'a' y 'b' son los catetos.

¿Cuáles son ejemplos del Teorema de Pitágoras en la vida real?

Ejemplos incluyen medir distancias diagonales como en una pantalla de TV, calcular longitudes de rampas o en navegación y topografía.

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