Teorema de Pitágoras

Halla el valor de x en la figura siguiente;

Utilizando el teorema de Pitágoras, podemos ver que nuestro opuesto y adyacente está dado pero nuestra hipotenusa está dada como x. Por tanto

$$\begin{gathered} {\mathrm{hypotenuse}}^2={\mathrm{opposite}}^2+{\mathrm{adjacent}}^2 \\ {x}^2=5^2+{12}^2 \\ {x}^2=25+144 \\ {x}^2=169 \end{gathered}$$

Halla la raíz cuadrada de ambos lados

$x=13cm$

Si un triángulo rectángulo tiene igual dimensión en dos de sus lados y el lado mayor mide 8 cm. Halla los otros lados.

Solución.

Según la pregunta, la hipotenusa mide 8 cm. Sin embargo, no se indican los lados opuesto y adyacente. Además, se nos dice opuesto = adyacente.

Dejemos que adyacente = y; eso significa opuesto = y. Por tanto:

Usando el teorema de Pitágoras $$\begin{gathered} {\mathrm{hypotenuse}}^2={\mathrm{opposite}}^2+{\mathrm{adjacent}}^2 \\ {8}^2=y^2+y^2 \\ 64=2y^2 \end{gathered}$$

Divide ambos lados por 2

$$\begin{gathered} \frac{64}{2}=\frac{2y^2}{2} \\ 32=y^2 \end{gathered}$$

Halla la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación

$$\begin{gathered} \sqrt{32}=\sqrt{y^2} \\ y=4\sqrt{2}cm \end{gathered}$$

Entonces el opuesto es 4√2cm y el adyacente es 4√2cm.

Si senØ = 2/5, halla cosØ y tanØ.

Solución

$SinØ=\frac{opposite}{hypotenuse}=\frac{2}{5}$

Esto significa que el opuesto es 2 y el adyacente es 5. Mientras tanto, tenemos que hallar el adyacente:$$\begin{gathered} {\mathrm{hypotenuse}}^2={\mathrm{opposite}}^2+{\mathrm{adjacent}}^2 \\ {5}^2=2^2+adjacen{t}^2 \\ 9=4+adjacen{t}^2 \end{gathered}$$

Resta 4 a ambos lados de la ecuación.

$$\begin{gathered} 9-4=4+adjacen{t}^2-4 \\ 5=adjacen{t}^2 \end{gathered}$$

Saca las raíces cuadradas.

$adjacent=\sqrt{5}$

Ahora tenemos los valores de todos los lados.

$$\begin{gathered} \cos \varnothing =\frac{\mathrm{adjacent}}{\mathrm{hypotenuse}} \\ \cos \varnothing =\frac{\sqrt{5}}{5} \\ \mathrm{Tan}\varnothing =\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}} \\ tan\varnothing =\frac{2}{\sqrt{5}} \end{gathered}$$

Racionaliza multiplicando el denominador y el numerador por √5.

$$\begin{gathered} tan\varnothing =\frac{2\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}} \\ tan\varnothing =\frac{2\sqrt{5}}{5} \end{gathered}$$

Determina si lo siguiente es un triple pitagórico.

1. 7, 12 y 5

2. 8, 15 y 17

Solución

1. Para confirmar si las series 7, 12 y 5 son triples pitagóricos, toma el cuadrado del número mayor.

El número mayor es 12 y su cuadrado es 144.

Debes sumar los cuadrados de los otros dos números de la serie.

el cuadrado de 7 es 49

el cuadrado de 5 es 25

49+25 = 74

$$\begin{gathered} 144\ne 74 \\ {12}^2\ne 7^2+5^2 \end{gathered}$$

Esto significa que la serie 7, 12 y 5 no es un triple pitagórico.

2. Para confirmar si las series 8, 15 y 17 son triples pitagóricos, toma el cuadrado del número mayor.

El número mayor es 17 y su cuadrado es 289.

Debes sumar los cuadrados de los otros dos números de la serie.

el cuadrado de 8 es 64

el cuadrado de 15 es 225

64+225 = 289

$$\begin{gathered} 289=289 \\ {17}^2=8^2+{15}^2 \end{gathered}$$

Esto demuestra que el conjunto 8, 15 y 17 es un triple pitagórico.