También se te puede pedir que determines qué cambio se produjo en el triángulo que está orientado de forma diferente. En este caso, se trata de una transformación de congruencia, porque los triángulos son idénticos. En este artículo hablaremos en detalle de las transformaciones de congruencia.
Definición de las transformaciones de congruencia
Antes de hablar de las transformaciones de congruencia, consideremos primero los conceptos y definiciones de congruencia y transformaciones por separado. ¿Qué significa que los objetos o las formas son congruentes?
Se dice que dos objetos son congruentes si tienen la misma forma y dimensiones (tamaño). Por ejemplo, un objeto y su reflejo en un espejo son congruentes, mientras que un objeto y su fotografía no lo son, ya que la fotografía es una representación a escala reducida del objeto.
Dos formas son congruentes si una de ellas puede moverse (sin cambiar su forma o tamaño) de modo que encaje exactamente sobre la otra. Ahora bien, ¿qué es una transformación realizada sobre una forma o un objeto?
Una transformación en Geometría se define como el cambio en la posición relativa o el tamaño de un objeto.
A continuación, vamos a definir las transformaciones de congruencia, que es una combinación de estos dos conceptos:
Una transformación de congruencia es el movimiento o reposicionamiento de una forma tal que produce una forma congruente con la original.
Ten en cuenta que no todas las transformaciones son transformaciones de congruencia. Por ejemplo, una transformación que cambie el tamaño del objeto no es una transformación de congruencia. Esto se debe a que si dos objetos no se solapan exactamente tras la aplicación de una transformación, los objetos son incongruentes, y la transformación no era una transformación de congruencia.
Las transformaciones de congruencia son útiles porque nos permiten demostrar la congruencia entre formas. Según el caso, podemos demostrar la congruencia de las formas utilizando una transformación de congruencia o una secuencia de múltiples transformaciones de congruencia.
Hay tres tipos de transformaciones de congruencia:
Traslación (arriba, abajo, izquierda, derecha), como deslizar un trozo de papel sobre una mesa
Reflexión (imagen especular de un objeto)
Rotación (alrededor de un punto del objeto o de un objeto situado en el exterior)
A continuación trataremos con más detalle cada uno de estos tipos de transformaciones, junto con algunos ejemplos.
Ejemplos prácticos de transformaciones de congruencia
Exploremos con más detalle cada una de las tres transformaciones de congruencia diferentes:
- Traslados
- Reflexiones
- Rotaciones
Traslación
En una traslación tomamos una forma y la trasladamos a otro lugar. La forma real no cambia, sino que se "copia y pega" en otro lugar. Los ejemplos siguientes ilustran este concepto.
Describe la transformación que convierte el triángulo ABC en A'B'C'.
Transformación que mapea el triángulo ABC en A'B'C' - StudySmarter Originals
Solución
En la figura podemos ver que el triángulo ABC simplemente se ha trasladado a otro lugar, dando como resultado el triángulo A'B'C'. Cuando describimos traslaciones, utilizamos vectores. En el diagrama anterior, si nos fijamos en el punto A, podemos ver que se ha desplazado tres espacios a la derecha y cuatro espacios hacia arriba para llegar al punto A'. Lo mismo ocurre con los puntos B y C. Por tanto, podemos decir que la forma ha sido trasladada por el vector .
El uso de vectores nos permite describir con precisión las traslaciones. Recordemos que los vectores se denotan como donde a representa las unidades que se ha desplazado horizontalmente y b representa las unidades que se ha desplazado verticalmente. Si tenemos un valor negativo para a, desplazamos la forma hacia la izquierda. Si tenemos un valor negativo para b, desplazamos la forma hacia abajo.
Traslada el cuadrilátero de abajo por el vector .
Ejemplo de traslación - StudySmarter Originals
Solución
Para trasladar la forma, ayuda mirar cada punto individualmente. Si tomamos el punto A, tenemos que moverlo 4 espacios a la izquierda y 3 espacios hacia abajo para llegar al punto A'. Si hacemos lo mismo con los puntos B, C y D, obtenemos el cuadrilátero A'B'C'D' de abajo.
Ejemplo de traslación - StudySmarter Originals
Reflejos
Una reflexión es esencialmente una imagen especular de una forma reflejada a través de una línea determinada. Para reflejar una forma, necesitamos conocer la ecuación de la recta sobre la que nos reflejamos. También podemos reflejar formas a través del eje x o del eje y. Veamos algunos ejemplos de reflexiones.
Refleja la forma ABCD a través del eje y.
Ejemplo de reflexión 1 - StudySmarter Originals
Solución
Como estamos reflejando a través del eje y, la figura sólo se moverá horizontalmente y sólo cambiarán los valores x. Para reflejar a través del eje y, multiplicamos los valores x por -1, como se indica a continuación:
- El punto A (2,5) se refleja en el punto A' (-2,5)
- El punto B (4,5) se refleja en el punto B' (-4,5)
- El punto C (4,3) se refleja en el punto C' (-4,3)
- El punto D (2,3) se refleja en el punto D' (-2,3)
Observa los puntos reflejados A', B', C' y D' trazados en el gráfico siguiente.
Ejemplo de reflexión 1 - StudySmarter Originals
En la figura de abajo, describe la única transformación que hace corresponder el triángulo ABC con el triángulo A'B'C'.
Ejemplo de reflexión 2 - StudySmarter Originals
Solución
Si observamos detenidamente la figura anterior, veremos que la forma ABC se ha reflejado sobre la recta . Por tanto, tenemos una reflexión sobre la recta .
Esta recta tiene pendiente positiva 1 y pasa directamente por el origen (0,0). Para reflejar sobre la recta y=x, intercambiamos las coordenadas x e y de los puntos, así
- El punto A (3,-1) se refleja en el punto A' (-1,3)
- El punto B (3,-3) se refleja en el punto B' (-3,3)
- El punto C (1,-3) se refleja en el punto C' (-3,1)
Rotaciones
Una rotación se produce cuando una forma gira alrededor de un punto determinado. Las rotaciones más comunes son 90 grados y 180 grados en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario. Al rotar una forma, debemos tener en cuenta el centro de rotación.
Describe la transformación simple que convierte la forma ABCDE en A'B'C'D'E'.
Ejemplo de rotación 1 - StudySmarter Originals
Solución
Observando la forma transformada podemos saber que se ha producido una rotación de 90 grados en el sentido contrario a las agujas del reloj. Sin embargo, necesitamos determinar el centro de rotación. Si nos fijamos en los puntos E y E', podemos ver que se forma un ángulo recto alrededor del origen. Por tanto, el origen es el centro de rotación para la transformación de congruencia de esta forma. Así pues, tenemos una rotación de 90 grados en el sentido contrario a las agujas del reloj en torno al origen.
Para girar un objeto 90 grados alrededor del origen, realizamos el siguiente ajuste en nuestras coordenadas:
(x,y) se convierte en (-y,x), así:
- El punto A (2,3) se gira al punto A' (-3,2)
- El punto B (4,3) se gira al punto B' (-3,4)
- El puntoC (4,0) se gira hasta el punto C' (0, 4)
- El punto D (3,1) se gira hasta el punto D' (-1,3)
- El punto E (2,0) se gira hasta el punto E' (0,2)
Rota el triángulo ABC 180 grados alrededor del origen.
Ejemplo de rotación 2 - StudySmarter Originals
Solución
Si consideramos la distancia del punto A al origen, vemos que está 1 unidad a la derecha y 3 unidades hacia arriba. Si lo giramos 180 grados en el sentido de las agujas del reloj, estará 1 unidad a la izquierda del origen y 3 unidades hacia abajo. Lo mismo ocurre con los puntos B y C. Tenemos la siguiente rotación.
Ejemplo de rotación 2 - StudySmarter Originals
Para girar un objeto 180 grados alrededor del origen, realizamos el siguiente ajuste en nuestras coordenadas:
(x,y) se convierte en (-x,-y), así:
- El punto A (1,3) se gira al punto A' (-1,-3)
- El punto B (3,1) se gira al punto B' (-3,-1)
- El punto C (4,4) se gira hasta el punto C' (-4,-4)
Reglas de las transformaciones de congruencia
A continuación veremos dos teoremas importantes sobre las transformaciones de congruencia. Son el teorema de la reflexión en rectas paralelas y el teorema de la reflexión en rectas que se cruzan, y nos ayudan a identificar las transformaciones de congruencia. Empecemos hablando del teorema de las reflexiones en rectas paralelas.
Teorema de las reflexiones en rectas paralelas
El teorema de la reflexión en rectas paralelas afirma que si reflejamos una forma sobre dos rectas paralelas, primero sobre la recta A y luego sobre la recta B, el triángulo resultante es igual que la traslación del triángulo original. Además, la orientación de la traslación resultante es perpendicular a las rectas paralelas, y la magnitud será siempre el doble de la distancia entre las rectas paralelas.
Teorema de las reflexiones en rectas paralelas - StudySmarter Originals
Teorema de las reflexiones en rectas que se intersecan
El teorema de las reflexiones en las líneas que se cruzan afirma que, si reflejamos una forma dos veces sobre dos líneas que se cruzan, la forma resultante también puede obtenerse mediante la rotación de la forma alrededor del punto de intersección de las líneas. El ángulo de rotación es siempre el doble del ángulo entre las rectas que se intersecan.
Teorema de las reflexiones en rectas intersecantes - StudySmarter Originals
Transformaciones congruentes - Puntos clave
Hay tres tipos de transformaciones congruentes: reflexión, traslación y rotaciones.
Las transformaciones de congruencia no cambian la forma ni el tamaño del objeto.
Si una forma puede obtenerse a partir de otra mediante una secuencia de transformaciones de congruencia, las formas son congruentes.
La congruencia entre dos formas puede demostrarse mediante una única transformación de congruencia o mediante una secuencia de transformaciones de congruencia.
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