Triángulos Isósceles

Componentes de un triángulo isósceles

Considera el triángulo isósceles ABC que aparece a continuación.

Triángulo isósceles, StudySmarter Originals

Aquí tienes los componentes más importantes de un triángulo isósceles:

Lados y vértices

• Los catetos del triángulo isósceles están representados por la variable a.

• La base está definida por la variable b.

• El vértice $C$ es la parte superior del triángulo isósceles. También se denomina vértice.

• La altitud$CD$es un segmento de recta perpendicular trazado desde el vértice a la base de un triángulo isósceles.

• La longitud de la altitud se llama altura y se describe mediante la variable h.

Ángulos

• El ángulo ${}_{\angle }C$ entre los catetos del triángulo isósceles se llama ángulo del vértice (o ángulo del vértice).

• Cada uno de los dos ángulos ${}_{\angle }B$ y ${}_{\angle }A$ entre un cateto y la base del triángulo isósceles se llama ángulo de la base.

Propiedades de un triángulo isósceles

Hay varias propiedades significativas de los triángulos isósceles con las que debes familiarizarte para comprender plenamente la composición de un triángulo isósceles. En la tabla siguiente se describen detalladamente.

Identificación del cateto y la base de un triángulo isósceles

Supongamos que nos dan un triángulo de tres lados. Nos dicen que el triángulo es, efectivamente, un triángulo isósceles. Sin embargo, necesitamos determinar qué lados son los catetos del triángulo isósceles y qué lado es la base.

Para determinar los catetos del triángulo isósceles, fíjate en las siguientes características:

• Hayexactamente dos lados iguales, que son los catetos

• Ambos catetos salen del vértice del triángulo

• La altura es adyacente a los dos catetos

Por el contrario, la base debe cumplir las siguientes propiedades

• Los dos ángulos de los extremos de la base son iguales

• Una altitud trazada desde el vértice es perpendicular a la base

• Un segmento de recta perpendicular que pase por el vértice biseca la base, es decir, corta la base en dos mitades iguales

Teoremas del triángulo isósceles

Teniendo esto en cuenta, veamos ahora dos teoremas notables sobre los triángulos isósceles que profundizan en las dos propiedades principales descritas anteriormente.

Teorema 1

Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles son iguales.

Teorema 2

Los lados opuestos a los ángulos iguales de un triángulo isósceles son iguales.

Tipos de triángulos isósceles

Hay que considerar tres tipos de triángulos isósceles, a saber

1. Isósceles agudo;

2. Isósceles recto;

3. Isósceles obtuso.

La tabla siguiente compara cada uno de estos tipos de triángulos isósceles.

Fórmulas de triángulos isósceles

En este apartado veremos tres fórmulas importantes de los triángulos isósceles, a saber

1. La altura de un triángulo isósceles;

2. El perímetro de un triángulo isósceles;

3. El área de un triángulo isósceles.

La altura de un triángulo isósceles

La altura de un triángulo isósceles se puede hallar aplicando el Teorema de Pitágoras. Supongamos que tenemos el siguiente triángulo isósceles ABC, en el que están dadas las medidas de un cateto a y de la base b.

Altura de un triángulo isósceles, StudySmarter Originals

Sabemos que la altura (segmento de recta CD) del ángulo vértice biseca la base del triángulo isósceles. Esto significa que

$AD=BD=\frac{1}{2}b$.

Además, ADC y BDC son triángulos rectángulos en los que a es la hipotenusa. Por tanto, para hallar la altura, podemos adoptar simplemente el Teorema de Pitágoras como

id="5162800" role="matemáticas" $$\begin{gathered} a^2=h^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2 \\ \Rightarrow h^2=a^2-{\left(\frac{b}{2}\right)}^2 \\ \Rightarrow h=\sqrt{a^2-{\left(\frac{b}{2}\right)}^2} \end{gathered}$$

El perímetro de un triángulo isósceles

El perímetro de un triángulo isósceles viene dado por la siguiente fórmula.

$P=2a+b$

donde a es la longitud de los dos lados iguales y b es la base del triángulo isósceles. Vamos a demostrarlo con un ejemplo práctico.

El área de un triángulo isósceles

Una vez que conoces la altura de un triángulo isósceles, calcular el área es pan comido. La fórmula es

$Area=\frac{1}{2}\times b\times h$,

donde b es la base y h es la altura del triángulo isósceles. A continuación se muestra un ejemplo práctico en el que se aplica este método.

Altitudes en triángulos isósceles

Definamos ahora una altitud de un triángulo.

Ahora que hemos establecido la definición de altitud, vamos a relacionar esta idea con nuestro tema en cuestión. A continuación se exponen dos teoremas que relacionan la altitud con los triángulos isósceles.

Teorema 1

La altitud a la base de un triángulo isósceles biseca el ángulo del vértice.

Teorema 2

La altura a la base de un triángulo isósceles biseca la base.

Ejemplos prácticos de triángulos isósceles

Comparación de triángulos

Hay tres tipos de triángulos que veremos a menudo a lo largo de este temario, a saber

1. Triángulo isósceles

2. Triángulo equilátero

3. Triángulo escaleno

En esta última sección, veremos las diferencias entre estos tres triángulos. Familiarizándonos con estos contrastes, podremos distinguir adecuadamente cada tipo con el que estamos tratando y realizar los cálculos correctos. La tabla siguiente compara estos tres triángulos en cuanto a lados, ángulos y alturas.

Propiedad	Triángulo isósceles	Triángulo equilátero	Triángulo escaleno
Diagrama	Triángulo isósceles, StudySmarter Originals	Triánguloequilátero, StudySmarter Originals	Triángulo escaleno,StudySmarter Originals
Lados	Dos lados de igual longitud	Tres lados de igual longitud	Tres lados de distinta longitud
Ángulos	Dos ángulos de igual valor	Tres ángulos de igual valor	Tres ángulos de distinto valor
Altitud	Una altitud trazada desde el ángulo vértice biseca ese ángulo y el lado desigual del triángulo.	Una altitud trazada desde cualquier ángulo biseca ese ángulo y el lado opuesto del triángulo.	Sin criterios especiales