Triángulos rectángulos: 'Ángulos', 'Teorema'

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En este artículo aprenderemos más cosas sobre los triángulos rect ángulos y sus propiedades.

¿Qué es un triángulo rectángulo?

Un triángulo rect ángulo es un triángulo en el que un ángulo es un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados. También se conoce como triángulo rectángulo.

Los triángulos rectángulos se caracterizan por tener un cuadrado dibujado en el vértice de su ángulo recto, como se muestra a continuación.

Triángulos rectángulos Imagen de un triángulo rectángulo StudySmarter

Imagen de un triángulo rectángulo, StudySmarter Originals

Tipos de triángulos rectángulos

Hay dos tipos de triángulos rectángulos.

Triángulo rectángulo isósceles

Un triángulo rectángulo isósceles tiene dos de sus lados de igual longitud. Es decir, aparte del ángulo de 90 grados, sus ángulos interiores son ambos de 45 grados cada uno.

Triángulos rectángulos Imagen de un triángulo rectángulo isósceles StudySmarter

Imagen de un triángulo rectángulo isósceles - StudySmarter OriginalsLos triángulos rectángulos isósceles se utilizan para hallar el seno, el coseno y la tangente del ángulo de 45 grados.

Triángulo rectángulo escaleno

Un triángulo rectángulo escaleno no tiene ninguno de sus lados iguales. Esto significa que uno de sus ángulos interiores es de 90 grados y los otros dos no son iguales pero suman 90 grados.

Triángulos rectángulos Imagen de un triángulo rectángulo escaleno StudySmarter

Una imagen de un triángulo rectángulo escaleno, StudySmarter Originals

Los triángulos rectángulos escalenos se utilizan para encontrar el seno, el coseno y la tangente de los dos ángulos especiales 30° y 60°.

Geometría de los triángulos rectángulos

Un triángulo rectángulo está formado por tres lados, dos ángulos complementarios y un ángulo recto. El lado más largo del triángulo se llama hipotenusa, y está opuesto al ángulo recto dentro del triángulo. Los otros dos lados se denominan base y altura.

Triángulos rectángulos Ilustración sobre los componentes de un triángulo rectángulo StudySmarter

Una ilustración sobre los componentes de un triángulo rectángulo - StudySmarter Originals

Propiedades de los triángulos rectángulos

Un triángulo puede identificarse como triángulo rectángulo si verifica lo siguiente,

1. Uno de sus ángulos debe ser igual a 90 grados.

2. Los ángulos no rectos son agudos, es decir, la medida de cada uno de ellos es menor que 90 grados.

Clasifica los siguientes ángulos etiquetados del I al III.

Triángulos rectángulos
Triángulos no rectángulos
Triángulos rectángulos isósceles
Triángulos rectángulos escalenos

Solución:

Podemos ver que la figura I es un triángulo rectángulo porque tiene uno de sus ángulos igual a 90°. Sin embargo, las indicaciones de sus lados muestran que no hay dos lados iguales. Esto significa que la figura I es un triángulo rectángulo escaleno.

Sin embargo, en la figura II, ninguno de sus ángulos es igual a 90º. Por tanto, la figura II es un triángulo no rectángulo.

Del mismo modo que en la figura I, la figura III tiene uno de sus ángulos igual a 90º. Esto hace que sea un triángulo rectángulo. A diferencia de la figura I, la figura III tiene un ángulo de 45º, lo que significa que el tercer ángulo también sería de 45º. Por tanto, esto implica que la figura III es un triángulo rectángulo isósceles, ya que no sólo posee uno de sus ángulos igual a 90º, sino que los otros dos ángulos son iguales. De ahí que la respuesta correcta a esta pregunta sea

a. Triángulos rectángulos - I y III

b. Triángulo no rectángulo - II

c. Triángulo rectángulo isósceles - III

d. Triángulo rectángulo escaleno - I

Perímetro de triángulos rectángulos

El perímetro de cualquier superficie bidimensional es la distancia alrededor de esa figura. Así, el perímetro de un triángulo rectángulo es la suma de sus tres lados: la altura, la base y la hipotenusa.

Así pues, el perímetro de cualquier triángulo rectángulo de lados a, b y c viene dado por

$P e r i m e t e r = a + b + c$

Triángulos rectángulos Triángulo rectángulo StudySmarter Un triángulo rectángulo - StudySmarter Originals

Halla el perímetro del triángulo.

Solución:

El perímetro del triángulo es igual a la suma de las longitudes de sus lados. Por tanto,

$P = 3 + 4 + 5 = 12 c m$

Área de triángulos rectángulos

El área de un triángulo rectángulo puede calcularse multiplicando la base por la altura (o altitud) y dividiendo el resultado por dos.

$A = \frac{B a s e \times H e i g h t}{2} .$

En concreto, para hallar el área de un triángulo rectángulo isósceles, sustituyes la base por la altura o viceversa, ya que la altura y la base tienen la misma longitud.

Un bloque de cemento en forma de triángulo rectángulo con lados de 5 cm, 13 cm y 12 cm se utiliza para cubrir un césped cuadrado de 30 cm de lado. ¿Cuántos triángulos rectángulos se necesitan para cubrir el césped?

Solución:

Tenemos que determinar la superficie del césped cuadrado. Dejamos que l sea la longitud lateral del césped cuadrado, de modo que l = 30 m,

${A r e a}_{s q u a r e l a w n} = l^{2} = 30^{2} = 900 m^{2}$

Para saber el número de triángulos rectángulos que cubrirían el césped cuadrado, debemos calcular el área de cada triángulo rectángulo que ocuparía para llenar el cuadrado.

${A r e a}_{r i g h t t r i a n g l e} = \frac{1}{2} \times b a s e \times h e i g h t = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30 c m^{2}$

Ahora que hemos calculado el área del triángulo rectángulo y del cuadrado, podemos determinar cuántos de los bloques de cemento triangulares rectángulos se pueden encontrar en el césped cuadrado.

$N u m b e r o f c e m e n t b l o c k = \frac{A r e a o f s q u a r e l a w n}{A r e a o f r i g h t a n g l e d c e m e n t b l o c k} = \frac{A r e a_{s q u a r e l a w n}}{A r e a_{r i g h t t r i a n g l e}}$

Pero antes, tenemos que convertir^m2 en ^cm2 recordando que

$100 c m = 1 m {(100 c m)}^{2} = {(1 m)}^{2} 10 000 c m^{2} = 1 m^{2} 900 m^{2} = 9 000 000 c m^{2}$

Por tanto,

$Number of cement block = \frac{9 000 000 c m^{2}}{30 c m^{2}} Number of cement block = 300 000$

Por tanto, se necesitarían 300.000 triángulos rectángulos (de 5 cm por 12 cm por 13 cm) para cubrir un césped cuadrado de 30 m de longitud.

Ejemplos de problemas de triángulos rectángulos

Unos cuantos problemas más de triángulos rectángulos resueltos seguramente elaborarían mejor.

La siguiente figura contiene dos triángulos rectángulos que están unidos. Si la hipotenusa del triángulo rectángulo mayor mide 15 cm, halla el cociente entre el área del triángulo rectángulo mayor y el del menor.

Solución:

Como la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo mayor es 15 cm, la hipotenusa del triángulo rectángulo menor es

$20 c m - 15 c m = 5 c m$

Necesitamos hallar el área del triángulo rectángulo mayor, que es_Ab, y la calculamos como:

$A r e a = \frac{1}{2} \times b a s e \times h e i g h t A_{b} = \frac{1}{2} \times 9 c m \times 12 c m A_{b} = \frac{1}{2} \times 9 c m \times^{6} 12 c m A_{b} = 9 c m \times 6 c m A_{b} = 54 c m^{2}$

Del mismo modo, tenemos que hallar el área del triángulo rectángulo menor, que es As_, y calcularla como

$A r e a = \frac{1}{2} \times b a s e \times h e i g h t A_{s} = \frac{1}{2} \times 3 c m \times 4 c m A_{s} = \frac{1}{2} \times 3 c m \times^{2} 4 c m A_{s} = 3 c m \times 2 c m A_{s} = 6 c m^{2}$

La relación entre el área del triángulo rectángulo mayor_Ab y la del triángulo rectángulo menor_As es

$A_{b} : A_{s} = 54 c m^{2} : 6 c m^{2} A_{b} : A_{s} = \frac{54 c m^{2}}{6 c m^{2}} A_{b} : A_{s} = \frac{^{9} 54 c m^{2}}{^{1} 6 c m^{2}} A_{b} : A_{s} = \frac{9}{1} A_{b} : A_{s} = 9 : 1$

Un triángulo rectángulo tiene unas dimensiones de 11 cm por 15,6 cm por 11 cm. ¿De qué tipo de triángulo rectángulo se trata? Halla el perímetro del triángulo rectángulo.

Solución:

Según la pregunta, como dos lados del triángulo rectángulo son iguales, significa que es un triángulo rectángulo isósceles.

El perímetro del triángulo rectángulo es

$P e r i m e t e r = a + b + c P e r i m e t e r = 11 c m + 11 c m + 15.6 c m P e r i m e t e r = 37.6 c m$

Triángulos rectángulos - Puntos clave

Un triángulo rectángulo es un triángulo en el que un ángulo es un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados.
Los triángulos rectángulos escaleno e isósceles son los dos tipos de triángulos rectángulos.
El triángulo rectángulo consta de tres lados, un par de ángulos complementarios y un ángulo recto.
El perímetro de un triángulo rectángulo de la suma de todos los lados.
El área del triángulo rectángulo es el producto de la mitad de su base y su altura.

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Preguntas frecuentes sobre Triángulos rectángulos

¿Qué es un triángulo rectángulo?

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo de 90 grados.

¿Cuáles son las propiedades de un triángulo rectángulo?

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90 grados y sigue el Teorema de Pitágoras.

¿Cómo se aplica el Teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo?

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, a² + b² = c², donde c es la hipotenusa.

¿Qué es la hipotenusa en un triángulo rectángulo?

La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo, opuesto al ángulo de 90 grados.

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