Trigonometría

Trigonometría básica

En la trigonometría básica, las funciones trigonométricas nos permiten encontrar los ángulos y longitudes de los lados de un triángulo. Para ello, primero se deben definir los lados de un triángulo: en el caso de un triángulo rectángulo existen los dos lados llamados catetos, cuya intersección incluye el ángulo recto, y la hipotenusa —el lado más largo de un triángulo rectángulo y contraria a este ángulo recto—.

Fig. 1: Imagen de un triángulo rectángulo. El ángulo marcado con un cuadrado es conocido como ángulo recto y mide 90 grados.

Fórmulas de la trigonometría

Las relaciones trigonométricas expresan relaciones entre los ángulos y las longitudes de un triángulo; se pueden utilizar para obtener cantidades desconocidas. Puedes verlas en las fórmulas siguientes:

\[\sin(\theta)=\dfrac{CO}{H}\]

\[\cos(\theta)=\dfrac{CA}{H}\]

\[\tan(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=\dfrac{CO}{CA}\]

Aqui:

\(CO=\) cateto opuesto.

\(CA=\) cateto adyacente.

\(H=\) hipotenusa.

En consecuencia, para encontrar algún valor del triángulo rectángulo con estas fórmulas tenemos que:

1. Encontrar los valores conocidos, ya sean catetos o ángulos.

2. Escoger la ecuación trigonométrica, dependiendo del valor que se debe encontrar y los datos de los que se dispone.

3. Sustituir los datos en la ecuación.

4. Resolver la ecuación para encontrar la cantidad desconocida.

En el caso en el que se necesite encontrar un ángulo, y no una longitud, podemos utilizar las funciones trigonométricas inversas. Estas aparecen a continuación:

\[\theta=arcsin \left( \dfrac{CO}{H} \right) \]

\[\theta=arccos \left( \dfrac{CA}{H} \right) \]

\[\theta=arctan \left( \dfrac{CO}{CA} \right) \]

Triángulos no rectángulos

Las fórmulas trigonométricas también son válidas en triángulos que no son rectángulos. En este caso, se suelen usar las reglas del seno y del coseno. De nuevo, es crucial identificar adecuadamente los lados del triángulo que queremos estudiar.

Fig. 4: Triángulo escaleno, donde ningún lado es similar al otro.

Regla del coseno

La regla del coseno es empleada para encontrar la longitud en triángulos, cuando se desconoce la longitud de uno de los catetos. La fórmula es la siguiente:

\[a=\sqrt{b^2+c^2-2bc \cdot \cos(A)}\]

Por supuesto, también se puede usar esta regla para encontrar el ángulo, despejando de la función el \(A\).

\[A=arccos \left( \dfrac{a^2-b^2-c^2}{-2bc} \right)\]

Regla del seno

Al igual que la regla del coseno, se puede usar la regla del seno para encontrar la longitud de un lado de un triángulo que no es rectángulo, o para averiguar longitudes desconocidas. Las fórmulas son las siguientes:

Para un lado:

\[a=b \dfrac{\sin(A)}{\sin(B)}\]

Para un ángulo:

\[A=arcsin \left( \dfrac{a \cdot (B)}{b} \right)\]

Área de un triángulo

Si conocemos la longitud de dos lados de cualquier triángulo y el ángulo entre ellos, se puede encontrar el área del triángulo empleando el seno del ángulo formado:

\[A=\dfrac{1}{2} a \cdot b \sin(C)\]

El círculo unitario

Un círculo unitario es una figura geométrica que puede ayudar a comprender las funciones trigonométricas. Este círculo tiene un radio de \(1\) (las unidades de longitud son irrelevantes) y su centro está en las coordenadas \((0,0)\). Se puede obtener una relación muy sencilla para las coordenadas cartesianas de un punto arbitrario que se encuentra en la circunferencia utilizando las funciones trigonométricas:

• \(\cos(\theta)=x\), la coordenada$x$de$P$.

• \(\sin(\theta)=y\), la coordenada \(y\) de \(P\).

En este caso, medimos el ángulo \(\theta\), en dirección contraria a las agujas del reloj.

A continuación, tienes un ejemplo de un círculo unitario:

Fig. 7. Círculo unitario y coordenadas del círculo unitario.

Para encontrar la pendiente formada por la recta que pasa por el punto \(P\) y por el centro, se debe usar la relación trigonométrica siguiente:

\[\tan(\theta)= \dfrac{y}{x} \]

Tabla de trigonometría

Es importante saber que, en trigonometría, los valores de las funciones son cíclicos; es decir, que se repiten en intervalos fijos. Estos valores se repiten cuando damos un giro de \(360^o\) o \(2 \pi rad\) y obtenemos los mismos valores, pero con signo cambiado, cuando el giro sea la mitad.

Veamos valores comunes en la tabla debajo para las funciones seno, coseno y tangente:

Tabla 1. Valores del seno, coseno y tangente para diferentes ángulos relevantes.

Como puedes observar, al llegar al valor, los términos se repiten nuevamente.