No te preocupes, aquí no se va a disparar a nadie, más bien irás más allá de las balas, ya que el significado, la identificación, la aplicación, la fórmula, así como ejemplos de Polígonos similares se tratarán más adelante. Carga, apunta y dispara "poligones".
Significado de los polígonos similares
Los Polígonos Semejantes pueden describirse como Figuras bidimensionales que tienen la misma forma pero varían de tamaño.
Sus vértices pueden emparejarse de modo que los lados correspondientes tengan longitudes proporcionadas y todos los pares de ángulos correspondientes sean iguales.
De hecho, estos dos factores definen su forma.
Puedes encontrar estos pares de lados y ángulos simplemente mirando la forma o anotando las etiquetas de los vértices. Los ángulos son congruentes, y la relación directamente proporcional de los lados es consecuencia de ello.
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¡¡¡Polígono-Polígono-Polígono!!! ¿Qué es un polígono?
Un polígono es una figura plana formada por al menos 3 líneas rectas o lados con no menos de 3 ángulos. Esto significa que un círculo no puede ser un polígono, ya que es curvo.
Todos los polígonos congruentes son semejantes, ya que tienen los mismos ángulos y sus lados son iguales, por lo que guardan entre sí la misma relación proporcional. Además, si dos polígonos regulares tienen el mismo número de lados, siempre serán semejantes, ya que tienen los mismos ángulos. Un ejemplo de ello es que todos los triángulos equiláteros son semejantes, ya que todos tienen los mismos tres ángulos y, por tanto, la misma forma. Está claro que los polígonos seguirán siendo semejantes bajo reflexión, traslación y ampliación.
¿Cuál de los siguientes es un polígono?
Fig. 1. Identificación de polígonos.
Solución:
La figura \(i\) es obviamente un polígono dadas las líneas rectas y teniendo más de 3 lados. Del mismo modo, \(iii\) es un polígono aunque tenga varios lados; no importa cuántos lados mientras tenga 3 o más lados. Sin embargo, \(ii\) no es un polígono, ya que su ángulo superior derecho tiene una curva.
Por tanto, sólo las figuras \(i\) y \(iii\) son polígonos.
Identificar polígonos semejantes
Al hacer diagramas de polígonos semejantes, hay que prestar mucha atención al etiquetado de los vértices y al orden de estas etiquetas. Te ayudarán a identificar qué lados de los polígonos se corresponden entre sí. Los polígonos se nombrarán mediante letras que rodeen los vértices en cuestión, las dos primeras letras de cada uno representarán el lado entre estos vértices para cada polígono y estos lados tienen una relación proporcional. Lo mismo ocurre con todos los demás pares de letras en distintas posiciones en los nombres. Por ejemplo, considera los dos polígonos similares que aparecen a continuación:
Fig. 2. Diagramas de dos cuadriláteros semejantes.
La semejanza de los polígonos \(ABCD\) y \(WXYZ\) puede escribirse como \[ABCD \sim WXYZ\] Las longitudes de los lados correspondientes de cada polígono tienen la misma relación proporcional entre sí: un lado de \(WXYZ\) es una constante multiplicada por la longitud del lado correspondiente de \(ABCD\):
\[\frac{AB}{WX}=\frac{BC}{XY}=\frac{CD}{YZ}=\frac{DA}{ZW}\]
Como ya se ha dicho, esto se debe a que los ángulos de los vértices correspondientes de cada polígono son iguales:
\[\ángulo A = \ángulo W ; \ángulo B = \ángulo X ; \ángulo C = \ángulo Y ; \ángulo D = \ángulo Z].
Aplicación de los polígonos semejantes
Hay varios usos del concepto de polígonos semejantes, y una aplicación importante es encontrar los lados y ángulos que faltan.
Utilizar polígonos semejantes para encontrar ángulos y lados que faltan
Si se sabe que dos polígonos son semejantes, esto puede servir para calcular los valores de los lados y ángulos desconocidos. Los lados deben satisfacer la relación proporcional de los polígonos semejantes y el ángulo de un vértice de un polígono debe ser igual al ángulo del vértice equivalente del otro polígono.
Los dos cuadriláteros \(ABCD\) y \(WXYZ\) de la figura 1 son semejantes. La longitud de \(AB\) es \(5\, cm\), la longitud de \(WX\) es \(7,5\, cm\) y la longitud de \(CD\) es \(6\, cm\). ¿Cuál es la longitud de \(YZ\)?
Solución:
Sabemos que los cocientes de los lados correspondientes de cada polígono deben ser iguales:
\[\frac{WX}{AB}=\frac{YZ}{CD}=1.5\]
\[YZ=1,5 veces CD\]
sabiendo que \(CD\) es \(6\, \text{cm}\), por tanto,
\[YZ=1,5\times 6\, \text{cm}=9\, \text{cm}]
Esta pregunta se refiere de nuevo a la figura 1. El polígono \(ABCD\) tiene ángulos en los vértices \(A\), \(B\) y \(C\) de \(80°\) , \(110°\) y \(105°\) respectivamente. ¿Cuál es el ángulo \(Z\) en el polígono \(WXYZ\)?
Solución:
Sabemos que los ángulos interiores de un cuadrilátero suman \(360°\). Esto da el ángulo en \(D\):
\[\angle D=360°-80°-110°-105°=65°\]
Además, los dos polígonos son semejantes y el vértice \(D\) corresponde al vértice \(Z\) en \(WXYZ\) por lo que son iguales:
\[\ángulo Z=65°\]
Utilizar polígonos semejantes para determinar otras propiedades de los polígonos
Estos dos ejemplos anteriores muestran cómo se pueden utilizar las propiedades de los triángulos semejantes para encontrar individualmente los lados y ángulos que faltan. Las técnicas anteriores pueden utilizarse conjuntamente para hallar otras propiedades de los polígonos, como su altura, perímetro y área.
Fig. 3. Diagramas que muestran dos cuadriláteros similares. Los ángulos en los vértices \(B\), \(C\), \(F\) y \(G\) son todos ángulos rectos.
Arriba se muestran dos cuadriláteros semejantes. Halla la longitud de \(FG\) y halla también el área de \(EFGH\).
Solución:
Podemos ver por la forma de los cuadriláteros que el lado \(DA\) corresponde a \(HE\) y el lado \(CD\) a \(GH\). Esto significa que los cocientes de estos pares son iguales:
\[\frac{HE}{DA}=\frac{GH}{CD}=\frac{6}{3}=2\]
Esto da
\[HE=2 veces DA\]
Sabiendo que \(DA\) es \(2\, \text{cm}\), por tanto,
\[HE=2\times 2\, \text{cm}=4\, \text{cm}]
El vértice \(D\) corresponde al vértice \(H\), por lo que sus ángulos deben ser iguales:\[\ángulo H=\ángulo D=30°\\]
Utilizando trigonometría simple, se puede calcular la longitud de \(FG\):
\[FG=4, \text{cm} veces \sin(30°)=2, \text{cm}]
Para hallar el área del cuadrilátero, se puede dividir en dos trazando una línea perpendicular desde la base \(GH\) hasta el punto \(E\) para formar un triángulo a la izquierda y un rectángulo a la derecha.
Fig. 4. Diagrama que muestra cómo el cuadrilátero \(EFGH\) puede dividirse en un triángulo y un rectángulo trazando una línea descendente desde el punto \(E\) que es perpendicular a la base \(GH\).
El lado \(EH\) es conocido, por lo que se puede calcular el valor de \(x\):
\[x=4\, \text{cm} \times \cos(30°)=2\times\sqrt{3}\, \text{cm}\].
Observa que \[\cos(30°)=\frac{{cuadrado{3}}{2}]
El área del triángulo, \(A_T\), es igual a la mitad de la base multiplicada por la altura, donde la altura es la longitud de \(FG\) y la base es igual a \(x\).
\[A_T=\frac{x\veces FG}{2}]
donde \(x\) es \(2\tr3}\, \text{cm}\) y \(FG\) es \(2\, \text{cm}\), entonces,
\[A_T=\frac{2\sqrt{3}\, \text{cm} \2 veces 2, \text{cm}{2}=2tr3, \text{cm}^2].
El área del rectángulo, \(A_R\), puede calcularse hallando la longitud de la base menos \(x\) y multiplicando esta cantidad por la longitud de \(FG\). Por tanto
\[A_R=(GH-x)\times FG\]
esto da
\[A_R=(6-2\sqrt{3})\, \text{cm} \veces 2, \text{cm}=(12-4triángulo3)\text{cm}^2].
Las dos áreas pueden sumarse para obtener el área total del cuadrilátero, \(A_Q\):
\[A_Q=A_T+A_R\]
por tanto
\[A_Q=2\3}, \text{cm}^2+12-4\3}, \text{cm}^2=(12-2\3})\2].
por tanto,
\[A_Q=8,53\, \text{cm}^2]
Fórmula poligonal similar
La mayoría de las veces, resulta más fácil tener la fórmula de ciertos temas para poder aplicarlas fácilmente cuando las necesites en los problemas. A diferencia de esos temas, apenas hay fórmulas que se puedan atribuir para encontrar un polígono semejante. Se te aconseja que tengas en cuenta dos principios: la proporción de los lados correspondientes y el tamaño de los ángulos correspondientes.
Sin embargo, al realizar ciertas tareas que implican la aplicación de polígonos semejantes, puede que tengas que formar ecuaciones.
Formar ecuaciones sencillas para encontrar los lados que faltan
Puede haber preguntas en las que se desconozcan todos los lados de uno de dos polígonos semejantes. Sin embargo, si la longitud de los lados viene dada por cantidades que están relacionadas, entonces la relación directamente proporcional entre los lados de los polígonos puede utilizarse para formar una ecuación y hallar las longitudes desconocidas.
Fig. 5. Dos triángulos semejantes en los que el triángulo más pequeño tiene lados desconocidos.
Solución:
El diagrama anterior muestra los triángulos semejantes \(ABC\) y \(XYZ\). Halla el valor de \(x\).
La razón entre los lados correspondientes de cada triángulo debe ser igual. Por los nombres de los triángulos (intenta mirarlos bien), el lado \(XY\) será proporcional a \(AB\) y el lado \(YZ\) será proporcional a \(BC\):
\[\frac{XY}{AB}=\frac{YZ}{BC}\]
Esta ecuación puede reordenarse de modo que, si se ponen los valores, un lado estará completamente en términos de \(x\):
\[XY{veces BC=AB{veces YZ{]
esto da
\[12x=8x+8\]
Junta los términos semejantes y resuelve para \(x\) y obtén
\[x=2\]
Formar ecuaciones cuadráticas para encontrar los lados que faltan
También puede darse el caso de que se desconozcan todos los lados de dos polígonos semejantes. Esto también puede resolverse si todos los lados están en términos de la misma incógnita. Los cocientes de los lados correspondientes de cada polígono se pueden igualar entre sí para formar una ecuación cuadrática de esta incógnita.
Esto dará dos soluciones, pero siempre es importante recordar que una longitud no puede ser negativa y las soluciones que den como resultado esto para cualquiera de los lados deben ignorarse.
Observa el siguiente ejemplo.
Fig. 6. Diagramas que muestran dos cuadriláteros semejantes con lados de longitud desconocida en términos de \(x\).
El diagrama anterior muestra dos cuadriláteros semejantes \(ABCD\) y \(PQRS\). Halla el valor de \(x\).
Solución:
El mismo método que se utilizó anteriormente puede aplicarse de nuevo a este problema. El orden de las letras en los nombres nos da los lados correspondientes. Los lados \(BC\) y \(QR\) forman un par y lo mismo ocurre con los lados \(CD\) y \(RS\). Igualando las proporciones de estos pares de lados obtenemos
\[\frac{BC}{QR}=\frac{CD}{RS}\]
Se puede hallar una ecuación cuadrática para \(x\) multiplicando el denominador de un lado de la ecuación por el numerador del otro lado y viceversa:
\[BC\times RS=QR\times CD\]
que es
\[2x(x-1)=(x+3)(x+1)\]
\[2x^2-2x=x^2+4x+3\]
lo que te da la ecuación cuadrática
\[x^2-6x-3=0\]
Esta ecuación no se factoriza fácilmente, por lo que te aconsejamos que resuelvas \(x\) aplicando para completar el método del cuadrado o utilizando la fórmula cuadrática.
En este caso, aplicaremos la fórmula cuadrática.
Recuerda que en la fórmula cuadrática, para una ecuación cuadrática de la forma
\[ax^2+bx+c=0\]].
entonces
\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
Por tanto,
\[x=\frac{6\pm\sqrt{6^2-(4\times 1 \times (-3))}}{2(1)}]
lo que da
\[x=\frac{6\pm\sqrt{48}}{2}\]
por lo tanto
\[x=3-2\sqrt{3}\]
o
\[x=3+2sqrt{3}\]
La solución con el signo menos debe descartarse, ya que da lugar a que los lados \(BC\) y \(RS\) sean negativos, esto nos deja:
\[x=3+2\sqrt{3}\]
Ejemplos de uso de polígonos semejantes
Los problemas pueden presentarse de cualquier forma sobre polígonos similares, es aconsejable probar varios tipos de preguntas.
Un polígono de 4 lados tiene dos lados idénticos tales que un lado es el doble del otro. Si su perímetro es \(36\, cm\), y se va a cortar un polígono semejante que es un tercio de este polígono, halla la longitud del lado más pequeño del nuevo polígono.
Solución:
No te preocupes por el problema de las palabras.
Interpreta la pregunta palabra por palabra desde la primera frase hasta la siguiente.
Como el polígono tiene cuatro lados con un par idénticos, puedes decir que un lado sea \(a\), mientras que el otro podría ser \(b\). Así los cuatro lados pasan a ser \(a\), \(a\), \(b\) y \(b\).
Otro detalle es que un lado es el doble del otro. Puedes interpretarlo diciendo que \(a\) es el lado mayor, de modo que
\[a=2b\]
El siguiente detalle dice que el perímetro es \(36\, cm\). Esto implica que el perímetro del polígono, \(P_p\) viene dado por
\[P_p=a+a+b+b\]
Recuerda que
\[a=2b\]
y \[P_p=36\, cm\]
Por tanto,
\[36\, \text{cm}=2b+2b+b+b\]
haciendo que \(b\) sea el sujeto de la fórmula, por tanto
\[b=6, \text{cm}\]
Eso significa que el lado mayor, \(a\), es
\[a=2 veces 6\, \text{cm}=12\, \text{cm}\].
Sin embargo, hay que recortar un polígono similar que es un tercio del polígono. Esto significa que los lados de este nuevo polígono pueden obtenerse hallando el producto de los lados del antiguo polígono por \(\frac{1}{3}\).
Aparentemente, sólo necesitamos el lado más pequeño; así, como estos polígonos son semejantes, el lado más pequeño del polígono mayor se corresponde con el lado más pequeño del polígono menor.
Por tanto, el lado más pequeño del nuevo polígono más pequeño \(S_s\) es
\[S_s=6\, \text{cm} \times \frac{1}{3}\]
Por tanto
\[S_s=2\, \text{cm}\]
Se va a hacer una percha con una chapa triangular de cobre de altura \(12, \text{cm}) y longitud de base \(30, \text{cm}). Si la percha se forma cortando una chapa triangular más pequeña pero de forma similar del triángulo original, halla el área de la percha si la longitud interna de la base es \(24\, \text{cm}\).
Solución:
Paso 1: Haz un esquema de la información proporcionada para tener una idea clara del problema.
Fig. 7. Uso de polígonos semejantes para hacer una percha.
Paso 2: Como te han pedido que halles el área de la percha, necesitas hallar el área del triángulo original, \(A_o\), de modo que
\[A_o=\frac{1}{2}veces 30\, \text{cm}veces 12\, \text{cm}].
Recuerda que el área de un triángulo es \(\frac{1}{2} \times base \times altura\)
\[A_o=180\, \text{cm}^2]
Paso 3: Halla el área del triángulo más pequeño recortado. Aquí es donde aplicarías lo que has aprendido sobre el ángulo semejante. Sabiendo que ambos triángulos son semejantes, puedes hallar la altura del triángulo recortado. Pero necesitarías conocer la razón entre ambos ángulos. Por tanto, deberías utilizar la longitud de la base de ambos triángulos para determinar su razón.
\[b_s:b_b=\frac{24}{30}\]
donde \(b_s\) es la longitud de la base del triángulo pequeño (triángulo recortado), y \(b_b\) es la longitud de la base del triángulo grande.
\[b_s:b_b=\frac{4}{5}\]
Ahora, debes multiplicar la altura del triángulo grande, \(12\, \text{cm}\) por \(\frac{4}{5}\) para obtener la altura del triángulo más pequeño, \(h_s\):
\[h_s=12\, \text{cm} \times \frac{4}{5}]
\[h_s=9,6\, \text{cm}\]
Por tanto, el área del triángulo pequeño, \(A_s\), es
\[A_s=frac{1}{2} veces 24\, \text{cm} veces 9,6\, \text{cm}].
\[A_s=115,2, \text{cm}^2]
Paso 4: Halla el área de la percha. Puedes conseguirlo restando el área del triángulo menor, \(A_s\), del área del triángulo mayor, \(A_o\). Así se calcula que el área de la percha, \(A_h\) es
\[A_h=A_o-A_s\]
\[A_h=180\, \text{cm}^2-115,2\, \text{cm}^2\].
Por tanto, el área de la percha es
\[A_h=64,8\, \text{cm}^2\]
Puntos clave - Utilización de polígonos semejantes
- Dos polígonos son semejantes si tienen el mismo número de lados y sus ángulos correspondientes son iguales.
- Los polígonos semejantes tienen pares de lados correspondientes que están en relación directamente proporcional entre sí.
- Al hacer diagramas de polígonos semejantes, hay que prestar mucha atención al etiquetado de los vértices y al orden de dichos etiquetados.
- Apenas hay fórmulas que se puedan atribuir para hallar un polígono semejante.
- La relación entre polígonos semejantes puede utilizarse para hallar longitudes y ángulos desconocidos.
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