Estos dos ejemplos anteriores muestran cómo se pueden utilizar las propiedades de los triángulos semejantes para encontrar individualmente los lados y ángulos que faltan. Las técnicas anteriores pueden utilizarse conjuntamente para hallar otras propiedades de los polígonos, como su altura, perímetro y área.
Fig. 3. Diagramas que muestran dos cuadriláteros similares. Los ángulos en los vértices \(B\), \(C\), \(F\) y \(G\) son todos ángulos rectos.
Arriba se muestran dos cuadriláteros semejantes. Halla la longitud de \(FG\) y halla también el área de \(EFGH\).
Solución:
Podemos ver por la forma de los cuadriláteros que el lado \(DA\) corresponde a \(HE\) y el lado \(CD\) a \(GH\). Esto significa que los cocientes de estos pares son iguales:
\[\frac{HE}{DA}=\frac{GH}{CD}=\frac{6}{3}=2\]
Esto da
\[HE=2 veces DA\]
Sabiendo que \(DA\) es \(2\, \text{cm}\), por tanto,
\[HE=2\times 2\, \text{cm}=4\, \text{cm}]
El vértice \(D\) corresponde al vértice \(H\), por lo que sus ángulos deben ser iguales:
\[\ángulo H=\ángulo D=30°\\]
Utilizando trigonometría simple, se puede calcular la longitud de \(FG\):
\[FG=4, \text{cm} veces \sin(30°)=2, \text{cm}]
Para hallar el área del cuadrilátero, se puede dividir en dos trazando una línea perpendicular desde la base \(GH\) hasta el punto \(E\) para formar un triángulo a la izquierda y un rectángulo a la derecha.
Fig. 4. Diagrama que muestra cómo el cuadrilátero \(EFGH\) puede dividirse en un triángulo y un rectángulo trazando una línea descendente desde el punto \(E\) que es perpendicular a la base \(GH\).
El lado \(EH\) es conocido, por lo que se puede calcular el valor de \(x\):
\[x=4\, \text{cm} \times \cos(30°)=2\times\sqrt{3}\, \text{cm}\].
Observa que \[\cos(30°)=\frac{{cuadrado{3}}{2}]
El área del triángulo, \(A_T\), es igual a la mitad de la base multiplicada por la altura, donde la altura es la longitud de \(FG\) y la base es igual a \(x\).
\[A_T=\frac{x\veces FG}{2}]
donde \(x\) es \(2\tr3}\, \text{cm}\) y \(FG\) es \(2\, \text{cm}\), entonces,
\[A_T=\frac{2\sqrt{3}\, \text{cm} \2 veces 2, \text{cm}{2}=2tr3, \text{cm}^2].
El área del rectángulo, \(A_R\), puede calcularse hallando la longitud de la base menos \(x\) y multiplicando esta cantidad por la longitud de \(FG\). Por tanto
\[A_R=(GH-x)\times FG\]
esto da
\[A_R=(6-2\sqrt{3})\, \text{cm} \veces 2, \text{cm}=(12-4triángulo3)\text{cm}^2].
Las dos áreas pueden sumarse para obtener el área total del cuadrilátero, \(A_Q\):
\[A_Q=A_T+A_R\]
por tanto
\[A_Q=2\3}, \text{cm}^2+12-4\3}, \text{cm}^2=(12-2\3})\2].
por tanto,
\[A_Q=8,53\, \text{cm}^2]