Vectores en el espacio

El espacio tridimensional

Lo más probable es que hayas visto vectores en el plano, que es otra forma de referirse a un sistema de coordenadas bidimensional. Este sistema de coordenadas bidimensional está formado por dos ejes perpendiculares: el eje \(x\) y el eje \(y\), donde cada eje es una recta numérica que representa todos los números reales. Estos elementos juntos forman lo que conocemos como el plano cartesiano.

Fig. 1. El plano cartesiano bidimensional

Como es un plano formado por los ejes \(x\) e \(y\), este plano bidimensional se denomina, también, plano \(xy\).

Sin embargo, gran parte de la vida cotidiana ocurre en tres dimensiones. Por ello, se necesita una herramienta para describir los objetos tridimensionales.

Siguiendo la misma línea de pensamiento utilizada en el plano cartesiano, ahora se necesita un tercer eje para hacer un sistema de coordenadas tridimensional, naturalmente denominado eje \(z\). Este es perpendicular tanto al eje \(x\) como al eje \(y\).

Fig. 2. Sistema de coordenadas tridimensional.

Esencialmente, puedes obtener el sistema de coordenadas tridimensional añadiendo el eje \(z\) al plano \(xy\): toda una nueva dimensión para describir las cosas. Piensa en el suelo como el plano \(xy\); si consideras que allí puedes ir hacia arriba o hacia abajo, ahora puedes moverte en tres dimensiones. El eje \(z\) te da información sobre cómo de arriba o de abajo del plano \(xy\) estás.

Como hay un nuevo eje, puedes hacer dos planos más con él: el plano \(xz\) y el plano \(yz\):

• El plano \(xz\) está formado por todos los vectores cuya componente \(y\) es igual a cero.

• El plano \(yz\) está formado por todos los vectores cuya componente \(x\) es cero.

Fig. 3. El plano \(xy\), el plano \(xz\) y el plano \(yz\).

Definición de los vectores en el espacio

Ahora que estás familiarizado con el espacio tridimensional, es el momento de ver cómo se definen los vectores en el espacio.

En dos dimensiones, un vector \(\vec{A}\) se da en forma de vector:

\[ \vec{A} = (2, 3)\]

o en forma de componentes, utilizando los vectores unitarios \(\hat{i}\) y \(\hat{j}\):

\[\vec{A} = 2\hat{i}+3\hat{j}\]

La primera componente te da la posición relativa al eje \(x\), y la segunda componente te da la posición relativa al eje \(y\).

Fig. 4. El vector \(\vec{A}=2\hat{i}+3\hat{j}\) en el plano cartesiano.

Para los vectores en el espacio, necesitas una tercera componente. Esta componente te dará la posición con respecto al eje \(z\). Si escribes un vector \(\vec{A}\) con tres componentes, solo tienes que añadir la tercera componente después de la segunda; es decir:

\[\vec{A} = (2, 3, 5)\]

En forma de componente, se utiliza un tercer vector unitario, que se denota como \(\hat{k}\). Un vector \(\vec{A}\) en el espacio escrito en forma de componente será:

\[\vec{A} = 2\hat{i} +3\hat{j} + 5\hat{k}\]

Fig. 5. El vector \(\vec{A} = 2\hat{i} +3\hat{j} + 5\hat{k}\) en el espacio tridimensional.

Sumar y restar vectores en el espacio

Al igual que los vectores bidimensionales, los vectores en el espacio se pueden sumar y restar. Aquí puedes ver cómo.

Para sumar dos vectores, solo tienes que sumar cada componente respectivo. Por ejemplo, supongamos que tienes los vectores:

\[\vec{A} = \hat{i} + 3 \hat{j} -3 \hat{k}\]

y

\[\vec{B} = -4\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\]

Puedes encontrar la suma de los dos vectores anteriores sumando las componentes de \(\hat{i}\) con las componentes de \(\hat{i}\), las componentes de \(\hat{j}\) con las componentes de \(\hat{j}\), y las componentes de \(\hat{k}\) con las componentes de \(\hat{k}\); es decir:

\[\begin{align} \vec{A} + \vec{B} &= (\hat{i} +3\hat{j} -3\hat{k} )+( -4\hat{i} +2\hat{j} +\hat{k})= \\&= (\hat{i}-4\hat{i})+(3\hat{j}+2\hat{j})+(-3\hat{k}+\hat{k})=\\ &= (1-4)\hat{i}+(3+2)\hat{j} +(-3+1)\hat{k}= \\ &= -3\hat{i} +5\hat{j} -2\hat{k}\end{align}\]

También es posible que te resulte más fácil sumar vectores escritos en forma de vector. De esta forma puedes escribir menos y centrarte en la posición de cada componente; es decir:

\[\begin{align} \vec{A}+\vec{B} &= ( 1, 3,-3) + (-4,2,1)= \\ &= (1-4,3+2,-3+1)= \\ &= (-3, 5,-2) \end{align}\]

La representación gráfica de la suma de dos vectores en el espacio puede obtenerse dibujando el primer vector y, a continuación, dibujando el segundo vector a partir de donde terminaba el primero.

La resta de vectores en el espacio se define de forma similar. Pero, en lugar de sumar las componentes, para hallar la resta \(\vec{A}-\vec{B}\) se restan las componentes de \(\vec{B}\) de las componentes de \(\vec{A}\); es decir:

\[\begin{align} \vec{A}-\vec{B}&=(\hat{i}+3\hat{j}-3\hat{k})- (-4\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})= \\&=(1+4)\hat{i}+(3-2)\hat{j}+(-3-1)\hat{k}=\\&=5\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k} \end{align}\]

Prueba restar vectores en el espacio escribiéndolos en forma de vector. Si lo haces, obtendrás:

\[\begin{align} \vec{A}-\vec{B}&=(1,3,-3)-(-4,2,1)= \\ &=(1+4,3-2,-3-1)=(5,1,-4)\end{align}\]

Por último, la representación gráfica de la diferencia \( \vec{A}-\vec{B}\) puede obtenerse dibujando un vector que parte del punto final de \( \vec{B}\) y llega hasta el punto final de \(\vec{A}\).

Más cálculos con vectores en el espacio

Ahora que has visto que puedes sumar y restar vectores, quizá te preguntes si también es posible hacer más operaciones habituales. La respuesta es: sí. De hecho, la multiplicación tiene dos versiones diferentes cuando se habla de vectores: el producto escalar y el producto vectorial. Aquí puedes encontrar una breve descripción de ambos.

Producto escalar

El producto escalar, llamado así por la notación utilizada para escribirlo, es un tipo de multiplicación vectorial.

Como ya te habrás dado cuenta, el producto escalar es un tipo de operación especial —porque multiplica dos vectores—, pero el resultado es un escalar.

Has comprobado que el producto escalar de los vectores del ejemplo anterior es igual a \(0\). Cuando esto ocurre, se dice que los vectores son ortogonales, lo que en este contexto es otra forma de decir que son perpendiculares.

El producto escalar también puede utilizarse en dos dimensiones. En este caso, la operación se simplifica, al no tener que operar la tercera componente del vector; es decir:

\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = a_x b_x + a_y b_y, \quad \text{para} \quad \vec{A},\vec{B}\in\mathbb{R}^2\]

El producto escalarp es útil para encontrar el ángulo entre dos vectores.

Ejercicios de producto escalar

Vamos a hacer algunos ejercicios con el producto escalar entre dos vectores, para que practiques.

Producto vectorial

A diferencia de su homólogo escalar, el producto vectorial es una operación que se puede realizar con dos vectores que dan como resultado otro vector. El producto vectorial se escribe como:

\[\vec{A} \times \vec{B}\]

El producto vectorial tiene muchas particularidades. Una de ellas es que el vector \( \vec{A} \times \vec{B} \) es perpendicular tanto a \( \vec{A}\) como a \(\vec{B}\).

Otra propiedad especial del producto vectorial es que no es conmutativo, lo que significa que el orden en que realizas la operación importa. De hecho, el producto cruzado es anticonmutativo, que es una palabra elegante para decir que si realizas la operación en el orden contrario, también obtienes el signo contrario; es decir:

\[ \vec{A} \times \vec{B} = - (\vec{B} \times \vec{A})\]

Una observación importante es que el producto vectorial solo está definido en \( \mathbb{R}^3\). Esto significa que tratar de encontrar el producto vectorial de dos vectores en \( \mathbb{R}^2\) no tiene sentido.

Producto vectorial: ejercicios resueltos

Producto mixto

Otro tipo de operación que se puede realizar entre vectores en el espacio tridimensional es el producto mixto. Esta operación recibe su nombre de que es una mezcla entre el producto escalar y el producto vectorial.

El producto mixto implica siempre tres vectores como \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\), se denota como \([\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]\) y se calcula como:

\[ [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \vec{u}\cdot (\vec{v} \times \vec{w})\]

Como puedes ver, este producto se calcula como el producto escalar del vector \(\vec{u}\) por el resultado del producto vectorial \(\vec{v}\times \vec{w}\).

Como el producto vectorial es un determinante, podemos reexpresar el producto mixto como:

\[ [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}\]

A partir de esto, podemos deducir que si el producto mixto de tres vectores resulta ser nulo, entonces esos vectores son linealmente dependientes.

Una propiedad importante del producto mixto de tres vectores es que su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo definido por dichos tres vectores en el espacio:

\[V_p= |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]| = \left| \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}\right|\]