Contenidos de aprendizaje
Funciones
Descubra
Muchas magnitudes (como la velocidad o la aceleración) están asociadas, además del módulo, a una dirección y sentido. Por esta razón, se expresan no sólo como números (que en estos casos se llaman escalares) sino como vectores.
Millones de tarjetas didácticas para ayudarte a sobresalir en tus estudios.
Regístrate gratis¿Cuál de los siguientes vectores es bidimensional?
Di cuál de los siguientes vectores es unitario.
¿Qué magnitudes se representan mediante vectores?
¿Qué vectores forman la base canónica en \(\mathbb R^2\)?
¿Qué vectores forman la base canónica en \(\mathbb R^3\)?
Los vectores \((2,3)\) y \((-4,1)\):
¿Qué se tiene que cumplir para que dos vectores formen una base en \(\mathbb R^2\)?
Si dos vectores son linealmente independientes en \(\mathbb R^3\), ¿forman una base?
¿Cuál de los siguientes vectores es bidimensional?
Di cuál de los siguientes vectores es unitario.
¿Qué magnitudes se representan mediante vectores?
¿Qué vectores forman la base canónica en \(\mathbb R^2\)?
¿Qué vectores forman la base canónica en \(\mathbb R^3\)?
Los vectores \((2,3)\) y \((-4,1)\):
¿Qué se tiene que cumplir para que dos vectores formen una base en \(\mathbb R^2\)?
Si dos vectores son linealmente independientes en \(\mathbb R^3\), ¿forman una base?
Achieve better grades quicker with Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Did you know that StudySmarter supports you beyond learning?
Review generated flashcards
Comienza a aprender o crea tus propias tarjetas de aprendizaje con IA
Equipo de profesores de Vectores en matemáticas
¡Gracias por tu interés en el aprendizaje por audio!
Esta función aún no está lista, pero nos encantaría saber por qué prefieres el aprendizaje por audio.
¿Por qué prefieres el aprendizaje por audio? (opcional)
Enviar comentariosLos vectores son objetos matemáticos que nos dan más información, aparte del valor de la magnitud.
Por ejemplo, si te dicen que un coche va a 40 m/s, esto nos dice la magnitud de la velocidad del coche. Pero, si te dicen que va de Sevilla a Valencia, también te están indicando una dirección e, incluso, un sentido. Con un vector puedes expresar toda esta información.
Un vector es un objeto matemático que expresa la magnitud (módulo), dirección y sentido. Se dibujan como una flecha, en la que la longitud de la fecha expresa el módulo, la orientación de la flecha expresa la dirección con respecto al sistema de coordenadas y el sentido lo indica la punta de la flecha.
Fig. 1; Representación gráfica de un vector, donde se aprecia que es una flecha con una determinada longitud y dirección y sentido. Los vectores son objetos que tienen un punto de origen y un punto de extremo. Debido a esto, dependiendo del punto de origen y del extremo, cada vector tendrá: un módulo, una dirección y un sentido.
Entonces, si tenemos un vector con origen en el punto \(A\) y con extremo en el punto \(B\):
El módulo del vector \(\overrightarrow{AB}\) es la distancia entre el punto de origen y el punto extremo. Su valor siempre es un número real positivo o nulo. El módulo se escribe como \(|\overrightarrow{AB}|\).
La dirección del vector \(\overrightarrow{AB}\) viene determinada por la recta que contiene los puntos de origen y el extremo.
El sentido del vector \(\overrightarrow{AB}\) se considera dentro de la dirección, puesto que cada dirección tiene dos sentidos —como el que va desde el origen \(A\) hasta el extremo \(B\)—.
Se dice que dos vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{CD}\) son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Se representa como:
\[\overrightarrow{AB}\approx\overrightarrow{CD}\]
Otra definición sería que dos vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{CD}\), que pertenecen a dos rectas diferentes, son equipolentes si el cuadrilátero con vértices \(ABCD\) es un paralelogramo.
Fig. 2: Aunque estén representados en ubicaciones distintas, los vectores \(u\) y \(v\) son vectores equipolentes: tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. También, podemos observar que entre ambos se forma un paralelepípedo.
Tras esta definición, podemos pasar lo que es un vector libre:
Se llama vector libre al conjunto de vectores formado por todos los vectores equipolentes a un vector fijo.
Ten en cuenta que todas estas definiciones se aplican a todos los vectores, en cualquier dimensión. Normalmente trabajarás con vectores en el plano o en el espacio —vectores de dos o tres dimensiones— y, por tanto, coordenadas, respectivamente.
Si tenemos varios vectores de la forma \(\vec{u}_1\), \(\vec{u}_2\), ... , \(\vec{u}_n\), podemos definir una combinación lineal de estos vectores de la forma \(a_1\vec{u}_1+a_2\vec{u}_2+...+a_n\vec{u}_n\); siendo los coeficientes \(a_1,...,a_n\) números reales.
Por tanto, el vector \(\vec{u}\) se dice que depende linealmente del conjunto de vectores \(\vec{u}_1\), \(\vec{u}_2\), ... , \(\vec{u}_n\), si \(\vec{u}\) se puede escribir como una combinación lineal de este conjunto. En caso de que \(\vec{u}\) no se pueda expresar como una combinación lineal de este conjunto de vectores, se dice que \(\vec{u}\) es linealmente independiente de este conjunto.
¡Ahora, ya sabes qué son los vectores y las relaciones que hay ente ellos! Pero, ¿cómo los representamos y cómo los ubicamos en el plano o en el espacio?: asignamos coordenadas a los vectores.
Las coordenadas son una serie de números que indican la posición de un punto con respecto a un origen, normalmente, el origen de coordenadas.
El primer número corresponde a la posición con respecto al eje \(x\), el segundo número corresponde a la posición con respecto al eje \(y\) y, si hay un tercero, corresponde a la posición con respecto al eje \(z\).
Si tenemos los puntos \(A=(2,4)\) y \(B=(5,2)\), ¿cuál es el vector definido como \(\overrightarrow{AB}\)?
Solución:
En primer lugar, observamos que este vector está contenido en el plano, puesto que los puntos solo tienen dos coordenadas.
El vector que va de un origen a un extremo se define con las coordenadas: \(\overrightarrow{AB}=B-A\).
Por tanto:
\[\overrightarrow{AB}=(5,2)-(2,4)=(3,-2)\]
A partir de los vectores \(\vec{u}=(3,5,0)\) y \(\vec{v}=(2,0,1)\), calcula un tercer vector \(\vec{w}\) que sea una combinación lineal de \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\).
Solución:
En este caso, tenemos vectores en el espacio, porque tienen tres coordenadas.
Según la definición anterior de combinación lineal de vectores, podemos decir que el vector \(\vec{w}\) es:
\[\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}\]
Siendo \(a\) y \(b\) números reales.
Por tanto, podemos elegir aleatoriamente estos números para formar cualquier combinación lineal. Vamos a elegir, por ejemplo, \(a=-1\) y \(b=2\).
Entonces, el vector \(\vec{w}\):
\[\vec{w}=-1\vec{u}+2\vec{v}=(-3,-5,0)+(4,0,2)=(1,-5,2)\]
En estos dos ejemplos, hemos realizado cálculos con vectores.
Si quieres saber más sobre cómo hacer Operaciones con vectores, no olvides leer nuestro artículo.
Como ya hemos dicho, una de las características de un vector es su longitud —denominada módulo—. Por tanto, dos vectores pueden tener misma dirección y sentido, pero distinto módulo. Esto significa que si, por ejemplo, estos vectores están asociados a las velocidades de dos coches, los dos coches se mueven en la misma dirección y el mismo sentido, pero el de mayor módulo es el que más rápido se mueve.
Dicho esto, podemos definir vectores que tengan módulo unitario; es decir, igual a la unidad.
Un vector unitario es aquel que tiene módulo unidad.
Dicho esto, vamos a ver un ejemplo.
Determina si los siguientes vectores son unitarios, o no.
\[\vec{a}=(1,0,1)\]
\[\vec{b}=(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2})\]
\[\vec{c}=(0,-1)\]
\[\vec{d}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1)\]
Solución:
Calculamos el módulo del vector \(\vec{a}\):
\[|\vec{a}|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}\neq 1\]
Por tanto, este vector no tiene módulo unidad y no es unitario. Probemos con el vector \(\vec{b}\):
\[|\vec{b}|=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{4}}=1\]
Podemos decir que el vector \(\vec{b}\) es unitario porque su módulo es igual a la unidad.
Ahora, calculemos el módulo del vector \(\vec{c}\):
\[|\vec{c}|=\sqrt{0^2+(-1)^2}=\sqrt{1}=1\]
El vector \(\vec{c}\) es, también, un vector unitario.
Por último, para calcular el módulo del vector \(\vec{d}\), se introduce el factor dentro de cada una de las coordenadas, para tenerlo en cuenta:
\[|\vec{d}|=\sqrt{\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}}=1\]
Por tanto, el vector \(\vec{d}\) es, también, un vector unitario.
Una base es un conjunto de vectores que son linealmente independientes entre sí; por tanto, podemos expresar el resto de vectores como una combinación lineal de los vectores de esta base.
Se sabe que los vectores \(\vec{u}_1=(2,1)\) y \(\vec{u}_2=(3,0)\) forman una base de \(\mathbb R^2\).
Expresa el vector \(\vec{v}=(-1,2)\) en esta base.
Solución:
Si \(\vec{u}_1\) y \(\vec{u}_2\) forman una base, quiere decir que son linealmente independientes y, por tanto, cualquier otro vector de \(\mathbb R^2\) puede expresarse como una combinación lineal de estos dos vectores:
\[\vec{v}=\alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_2\]
Separamos en componentes:
\[(v_1,v_2)=\alpha(2,1)+\beta(3,0)\]
Expresamos como un sistema de ecuaciones:
\[\left\{\begin{align}\ v_1&=2\alpha+3\beta\\v_2&=\alpha\end{align}\right.\]
Resolvemos este sistema por el método que más nos convenga. En este caso, ya tenemos despejado \(\alpha=2\). Entonces, sustituimos en la primera ecuación y obtenemos \(\beta=-\dfrac{5}{3}\). Por tanto, ya tenemos los coeficientes de la combinación lineal.
El vector \(\vec{v}\) se expresa en la nueva base como:
\[\vec{v}=2\vec{u}_1-\dfrac{5}{3}\vec{u}_2\]
Para poder determinar si un conjunto de vectores forma una base, podemos realizar el determinante de la matriz formada por estos vectores:
Si el determinante resulta ser \(0\), indica que los vectores son linealmente dependientes y por tanto, no pueden formar una base.
Si, por el contrario, el determinante resulta ser distinto de \(0\), los vectores son linealmente independientes y pueden formar una base.
Si una base está formada por vectores ortogonales entre sí, se dice que la base es ortogonal.
Si además de perpendiculares, los vectores son unitarios, la base es ortonormal.
Si aún no sabes lo que es una matriz y un determinante, pásate por nuestro artículos de Matrices y Determinantes, donde te explicamos todo lo que necesitas saber
Determina el valor de \(\alpha\) para que los vectores \(\vec{u}_1=(2,\alpha,0)\), \(\vec{u}_2=(\alpha,1,1)\) y \(\vec{u}_3=(0,-2,2)\) sean linealmente dependientes.
Solución:
Si estos vectores son linealmente dependientes, significa que el determinante de la matriz formada por ellos es nula. Esto es:
\[\begin{vmatrix}2&\alpha&0\\ \alpha&1&1\\0&-2&2\end{vmatrix}=0\]
Si aplicamos la regla de Sarrus para calcular el determinante y lo igualamos a cero, obtenemos:
\[\det\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}=2·1·2+\alpha ·(-2)·0+\alpha ·1·0-0·1·0-2\alpha ^2+4=0\]
\[4-2\alpha ^2+4=0\Rightarrow\alpha=\pm 2\]
Por tanto, si \(\alpha=\pm 2\), entonces estos vectores son linealmente dependientes y no forman una base de \(\mathbb R^3\).
Las bases canónicas son bases formadas por vectores linealmente independientes que, además, son unitarios y perpendiculares entre sí.
Según esta definición, puede haber más de una base canónica para cada dimensión. Sin embargo, a continuación, vamos a mostrarte las bases canónicas más utilizadas en \(\mathbb R^2\) y en \(\mathbb R^3\):
La base canónica de \(\mathbb R^2\) está formada por los vectores unitarios \(\vec{\imath}=(1,0)\) y \(\vec{\jmath}=(0,1)\). Esta base se expresa como \(B=\{\vec{\imath},\vec{\jmath}\}\).
Por tanto, todos los vectores del plano pueden expresarse como una combinación lineal de estos dos vectores:
\[\vec{v}=\alpha_1\vec{\imath}+\alpha_2\vec{\jmath}\]
Fig. 3: Base canónica de \(\mathbb R^2\).
Expresa el vector \(\vec{v}=(3,-5)\) como una combinación lineal en la base canónica.
Solución:
Representamos la combinación lineal:
\[\vec{v}=\alpha_1\vec{\imath}+\alpha_2\vec{\jmath}\]
\[(3,-5)=\alpha_1(1,0)+\alpha_2(0,1)\]
Este sistema tiene soluciones directas con \(\alpha_1=3\) y \(\alpha_2=-5\). Por tanto, el vector se expresa en la base canónica como:
\[\vec{v}=3\vec{\imath}-5\vec{\jmath}\]
La base canónica de \(\mathbb R^3\) está formada por los vectores unitarios \(\vec{\imath}=(1,0,0)\), \(\vec{\jmath}=(0,1,0)\) y \(\vec{k}=(0,0,1)\). Esta base se expresa como \(B=\{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\}\).
De igual manera, todos los vectores en el espacio pueden expresarse en términos de la base canónica:
\[\vec{v}=\alpha_1\vec{\imath}+\alpha_2\vec{\jmath}+\alpha_3\vec{k}\]
Fig. 4: Base canónica de \(\mathbb R^3\).
Representa los siguientes vectores como una combinación lineal de la base canónica:
\[\vec{u}=(2,1,-3)\]
\[\vec{v}=(0,0,2)\]
\[\vec{w}=(1,-3,0)\]
Solución:
Usando la base canónica en \(\mathbb R^3\):
\[\vec{u}=2\vec{\imath}+\vec{\jmath}-3\vec{k}\]
\[\vec{v}=2\vec{k}\]
\[\vec{w}=\vec{\imath}-3\vec{\jmath}\]
Como puedes observar en el último caso, la base canónica de \(\mathbb R^2\) está contenida en la base canónica de \(\mathbb R^3\).
Regístrate gratis para acceder a todas nuestras tarjetas.
¿Qué es un vector y cuáles son sus propiedades?
Un vector es un objeto matemático que expresa módulo, dirección y sentido. Se dibujan como una flecha longitud expresa el módulo; su orientación, la dirección con respecto al sistema de coordenadas; y su punta, el sentido.
¿Cuáles son los tipos de vectores?
Según su definición y características, podemos identificar varios tipos de vectores:
¿Cómo saber si los vectores son linealmente independientes?
Para saber si dos vectores son linealmente independientes, tienes que hacer el determinante formado por las coordenadas de los vectores:
¿Qué es la base canónica de un vector?
La base canónica es el conjunto de vectores linealmente independientes que forman una base ortonormal. Es decir, los vectores que forman esta base son de módulo unitario y perpendiculares entre sí.
¿Cómo sacar las coordenadas del vector?
Las coordenadas de un vector vienen expresadas como números entre paréntesis. Habrá tantos números como sea la dimensión del vector.
Normalmente, trabajarás con vectores en el plano (dos números: uno para el eje x y otro para el eje y) o con vectores en el espacio (tres números: uno para el eje x, otro para el eje y y otro para el eje z).
La representación de vectores en coordenadas sería:
At StudySmarter, we have created a learning platform that serves millions of students. Meet the people who work hard to deliver fact based content as well as making sure it is verified.
Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Get to know Lily
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
Get to know Gabriel
StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.
Aprende másGuarda las explicaciones en tu espacio personalizado y accede a ellas en cualquier momento y lugar.
Regístrate con email Regístrate con AppleAl registrarte aceptas los Términos y condiciones y la Política de privacidad de StudySmarter.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.
La primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
La primera plataforma de aprendizaje con todas las herramientas y materiales de estudio que necesitas.
Resumenes 
Flashcards 
StudySmarter AI 
Apuntes 
Plan de estudios 
Sets de estudio 
Repeticion espaciada 
Exámenes 
Magazine 
Hacer carrera 
Formacion Profesional 
Mobile App 
