Vectores tridimensionales: Conceptos, Ejemplos

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¿Qué son los vectores tridimensionales?

Los vectores tridimensionales o 3D son vectores que se representan en un plano o espacio tridimensional para tener tres coordenadas, como la x, la y y la z.

Si imaginamos un plano tridimensional con los ejes i, j y k, (que representan los ejes x, y y z respectivamente) podemos escribir un vector tridimensional como la suma de sus componentes i, j y k.

Imagina un vector $\vec{A}$ que parte del origen (0,0,0) y se dirige a las coordenadas (3,2,5). Podríamos escribir ese vector como

$\vec{A} = (3 i + 2 j + 5 k)$

Para este vector, la componente i sería 3, la componente j sería 2 y la componente k sería 5.

¿Cuáles son las coordenadas de un vector tridimensional?

El vector tridimensional tiene tres coordenadas que se representan en los ejes x, y y z. Recuerda que en un plano bidimensional sólo tienes coordenadas en los ejes x e y. Así, en un vector 2D las coordenadas se dan en la forma (x, y). Sin embargo, las coordenadas de los vectores 3D se dan en la forma (x, y, z)

¿Cómo se traza un vector 3D?

Empieza dibujando un conjunto de ejes. En primer lugar, dibuja el eje vertical z. Perpendicular a él, dibuja un eje y. Entre el eje z y el eje y, dibuja el eje x. Observa que los 3 ejes son perpendiculares entre sí.

Vectores tridimensionales, eje tridimensional, StudySmarter

Eje tridimensional (math.brown.edu)

Después, coloca una escala en cada eje y marca el punto al que llega la cabeza del vector. A continuación, dibuja una flecha entre el origen y la cabeza del vector. Por último, marca las coordenadas de la cabeza de la flecha.

Vectores tridimensionales, vector 3D, StudySmarter vector 3D

Matriz Vectorial 3D

El vector también se puede escribir en forma de matriz. En esta forma, podemos escribir el vector como una matriz de tres filas por una columna. La primera fila es la componente i, la segunda fila es la componente j y la tercera fila es la componente k.

No escribimos los términos x, y y z en forma de matriz.

Si utilizamos el vector $\vec{A}$ anterior como ejemplo, obtenemos

$\vec{A} = [\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}]$

Podemos combinar dos vectores para hallar el producto punto de estos vectores.

Supongamos que tenemos el vector $\vec{A} = [\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}]$ y el vector $\vec{B} = [\begin{matrix} d \\ e \\ f \end{matrix}]$ el producto punto $\vec{A} \cdot \vec{B}$ se puede hallar siguiendo el método que se indica a continuación:

Paso 1: Transponer el vector $\vec{A}$ es decir, convertirlo de un vector de 3 filas por 1 columna a un vector de 1 fila por 3 columnas.

Para el vector $\vec{A} = [\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}]$ vector $\overset{\to t}{A} = [\begin{matrix} a & b & c \end{matrix}]$

Paso 2: Escribe el producto punto de ambos vectores como la multiplicación de ambas matrices.

$\vec{A} \cdot \vec{B} = [\begin{matrix} a & b & c \end{matrix}] [\begin{matrix} d \\ e \\ f \end{matrix}]$

Paso 3: Realiza la multiplicación de matrices:

$\vec{A} \cdot \vec{B} = [\begin{matrix} a d + b e + c f \end{matrix}]$

Paso 4: Simplifica la matriz. Deberías acabar con una matriz de 1 por 1.

Sea el vector $\vec{A} = 3 i + 2 j + 2 k$ y el vector $\vec{B} = i + 2 j + k$ . Halla el producto punto de los vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ .

Solución:

Escribiendo ambos vectores en forma matricial, obtenemos :

$\vec{A} = [\begin{matrix} 3 & 2 & 2 \end{matrix}]$ y $\vec{B} = [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]$

Paso 1:

$\overset{\to t}{A} = [\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}]$

Paso 2:

$\vec{A} \cdot \vec{B} = [\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]$

Paso 3:

$\vec{A} \cdot \vec{B} = [\begin{matrix} 3 + 4 + 2 \end{matrix}]$

Paso 4:

$\vec{A} \cdot \vec{B} = 9$

¿Qué son las ecuaciones vectoriales 3D?

Esencialmente, hay dos ecuaciones 3D principales. Sin embargo, de estas dos ecuaciones principales se deriva una tercera ecuación que es el ángulo entre vectores 3D. Las dos ecuaciones principales son el producto punto y la magnitud de una ecuación vectorial 3D.

Producto punto de vectores 3D

Para dos determinados vectores tridimensionales A (_x1, _y1, _z1) y B (_x2, _y2, _z2) que se representan en forma vectorial

$x_{1} i + y_{1} j + z_{1} k$

$x_{2} i + y_{2} j + z_{2} k$

El producto punto es

$\vec{A} \cdot \vec{B} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$

Halla el producto de los vectores G y K situados (-1, 2, 3) y (0, 5, 1) de un plano.

Solución:

Aplicando la fórmula del producto punto

$\vec{A} \cdot \vec{B} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$

Entonces

$\vec{G} \cdot \vec{K} = (- 1 \times 0) + (2 \times 5) + (3 \times 1) \vec{G} \cdot \vec{K} = 0 + 10 + 3 \vec{G} \cdot \vec{K} = 13$

Magnitud de un vector tridimensional

La magnitud de un vector tridimensional se obtiene mediante el teorema ampliado de Pitágoras. Recuerda que el teorema de Pitágoras se aplica sabiendo que los ejes x e y son perpendiculares, observa que el eje z adicional en 3D es perpendicular tanto al eje x como al eje y. Por tanto, para calcular la magnitud de un determinado vector 3D A (_x1, _y1, _z1) representado en forma vectorial

$x_{1} i + y_{1} j + z_{1} k$

aplica

$|A| = \sqrt{{x_{1}}^{2} + {y_{1}}^{2} + {z_{1}}^{2}}$

Halla la magnitud del vector C dado por $3 i - 2 j + k$

Solución:

Como la magnitud de un vector $x_{1} i + y_{1} j + z_{1} k$ se calcula como

$|A| = \sqrt{{x_{1}}^{2} + {y_{1}}^{2} + {z_{1}}^{2}}$

Entonces la magnitud del vector C es

$|C| = \sqrt{3^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}} |C| = \sqrt{9 + 4 + 1} |C| = \sqrt{14}$

¿Cómo se calcula el ángulo entre vectores tridimensionales?

Para hallar el ángulo entre dos vectores 3D correspondientes, utiliza la fórmula siguiente:

$θ = \cos^{- 1} (\frac{a \cdot b}{|a| |b|})$

Vectores tridimensionales Ilustración del ángulo entre dos vectores en 3D StudySmarter Originals Ilustración del ángulo entre dos vectores en 3D, StudySmarter Originals

Donde $θ$ es el ángulo entre los vectores a y b, $a \cdot b$ es el producto punto de los vectores a y b, y donde $|a|$ y $|b|$ son las magnitudes de los vectores a y b respectivamente.

Halla la magnitud del vector que va del origen a las coordenadas (2,1,2).

Solución:

El vector puede escribirse como

$\vec{A} = 2 i + j + 2 k$

Utilizando la ecuación anterior:

$|a| = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}$

$|a| = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9}$

Por tanto

$|a| = 3$

La magnitud del vector es de 3 unidades.

¡Ahora podemos combinar todo lo que hemos aprendido para hallar el ángulo entre dos vectores!

Halla el ángulo entre los vectores $\vec{A} = 2 i + 3 j + k$ y el vector $\vec{B} = i + 4 j + 5 k$ .

Solución:

Escribiendo la forma matricial de estos vectores

$\vec{A} = [\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}]$

$\vec{B} = [\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}]$

Escribiendo el vector $\vec{A}$ en forma transitiva:

$\overset{\to t}{A} = [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \end{matrix}]$

Por tanto

$\vec{A} \cdot \vec{B} = [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}]$

$\vec{A} \cdot \vec{B} = [\begin{matrix} 2 + 12 + 5 \end{matrix}] = 19$

La magnitud del vector $\vec{A}$ es

$|A| = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$

La magnitud del vector $\vec{B}$ es

$|B| = \sqrt{1^{2} + 4^{2} + 5^{2}} = \sqrt{42}$

Puesto que:

$θ = \cos^{- 1} \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|A| |B|}$

Por tanto

$θ = \cos^{- 1} (\frac{19}{\sqrt{14} \sqrt{42}}) = 38.41 ° (2 d . p .)$

Vectores tridimensionales - Puntos clave

Los vectores 3D tienen valores i, j y k para sus ejes x, y y z respectivamente.
Los vectores 3D pueden escribirse en forma de matriz.
En esta forma, podemos hallar el producto punto de dos vectores realizando la multiplicación matricial.
Hallando también la magnitud de esos vectores mediante una versión ampliada del teorema de Pitágoras, podemos hallar el ángulo entre esos vectores.
La representación gráfica de vectores consiste en dibujar los ejes, las coordenadas donde termina y empieza el vector, y trazar una recta que una ambos puntos.

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Preguntas frecuentes sobre Vectores tridimensionales

¿Qué es un vector tridimensional?

Un vector tridimensional es una entidad con magnitud y dirección en el espacio, representado por tres componentes: (x, y, z).

¿Cómo se calcula la magnitud de un vector tridimensional?

La magnitud se calcula usando la fórmula √(x² + y² + z²), donde x, y, y z son las componentes del vector.

¿Qué operaciones se pueden realizar con vectores tridimensionales?

Se pueden sumar, restar, multiplicar por un escalar, y calcular el producto punto y el producto cruz.

¿Qué es el producto cruz de dos vectores tridimensionales?

El producto cruz es un vector perpendicular a los dos vectores originales, calculado usando determinantes de matrices.

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