Cuando miras una hoja de papel normal, sólo te fijas en sus 2 dimensiones, es decir, sólo miras la longitud y la anchura, posiblemente porque es muy plana. Sin embargo, ¿qué ocurre cuando te ponen delante una caja? Parece que tu visión se ha ampliado a 3 dimensiones, porque no sólo tienes en cuenta la longitud y la anchura, sino también la altura o quizá el grosor de la caja. Este artículo explorará los vectores tridimensionales.
Los vectores tridimensionales o 3D son vectores que se representan en un plano o espacio tridimensional para tener tres coordenadas, como la x, la y y la z.
Si imaginamos un plano tridimensional con los ejes i, j y k, (que representan los ejes x, y y z respectivamente) podemos escribir un vector tridimensional como la suma de sus componentes i, j y k.
Imagina un vector que parte del origen (0,0,0) y se dirige a las coordenadas (3,2,5). Podríamos escribir ese vector como
Para este vector, la componente i sería 3, la componente j sería 2 y la componente k sería 5.
¿Cuáles son las coordenadas de un vector tridimensional?
El vector tridimensional tiene tres coordenadas que se representan en los ejes x, y y z. Recuerda que en un plano bidimensional sólo tienes coordenadas en los ejes x e y. Así, en un vector 2D las coordenadas se dan en la forma (x, y). Sin embargo, las coordenadas de los vectores 3D se dan en la forma (x, y, z)
¿Cómo se traza un vector 3D?
Empieza dibujando un conjunto de ejes. En primer lugar, dibuja el eje vertical z. Perpendicular a él, dibuja un eje y. Entre el eje z y el eje y, dibuja el eje x. Observa que los 3 ejes son perpendiculares entre sí.
Eje tridimensional (math.brown.edu)
Después, coloca una escala en cada eje y marca el punto al que llega la cabeza del vector. A continuación, dibuja una flecha entre el origen y la cabeza del vector. Por último, marca las coordenadas de la cabeza de la flecha.
vector 3D
Matriz Vectorial 3D
El vector también se puede escribir en forma de matriz. En esta forma, podemos escribir el vector como una matriz de tres filas por una columna. La primera fila es la componente i, la segunda fila es la componente j y la tercera fila es la componente k.
No escribimos los términos x, y y z en forma de matriz.
Si utilizamos el vector anterior como ejemplo, obtenemos
Podemos combinar dos vectores para hallar el producto punto de estos vectores.
Supongamos que tenemos el vector y el vector el producto punto se puede hallar siguiendo el método que se indica a continuación:
Paso 1: Transponer el vector es decir, convertirlo de un vector de 3 filas por 1 columna a un vector de 1 fila por 3 columnas.
Para el vector vector
Paso 2: Escribe el producto punto de ambos vectores como la multiplicación de ambas matrices.
Paso 4: Simplifica la matriz. Deberías acabar con una matriz de 1 por 1.
Sea el vector y el vector . Halla el producto punto de los vectores y .
Solución:
Escribiendo ambos vectores en forma matricial, obtenemos :
y
Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
Paso 4:
¿Qué son las ecuaciones vectoriales 3D?
Esencialmente, hay dos ecuaciones 3D principales. Sin embargo, de estas dos ecuaciones principales se deriva una tercera ecuación que es el ángulo entre vectores 3D. Las dos ecuaciones principales son el producto punto y la magnitud de una ecuación vectorial 3D.
Producto punto de vectores 3D
Para dos determinados vectores tridimensionales A (x1, y1, z1) y B (x2, y2, z2) que se representan en forma vectorial
y
El producto punto es
Halla el producto de los vectores G y K situados (-1, 2, 3) y (0, 5, 1) de un plano.
Solución:
Aplicando la fórmula del producto punto
Entonces
Magnitud de un vector tridimensional
La magnitud de un vector tridimensional se obtiene mediante el teorema ampliado de Pitágoras. Recuerda que el teorema de Pitágoras se aplica sabiendo que los ejes x e y son perpendiculares, observa que el eje z adicional en 3D es perpendicular tanto al eje x como al eje y. Por tanto, para calcular la magnitud de un determinado vector 3D A (x1, y1, z1) representado en forma vectorial
aplica
Halla la magnitud del vector C dado por
Solución:
Como la magnitud de un vector se calcula como
Entonces la magnitud del vector C es
¿Cómo se calcula el ángulo entre vectores tridimensionales?
Para hallar el ángulo entre dos vectores 3D correspondientes, utiliza la fórmula siguiente:
Ilustración del ángulo entre dos vectores en 3D, StudySmarter Originals
Donde es el ángulo entre los vectores a y b, es el producto punto de los vectores a y b, y donde y son las magnitudes de los vectores a y b respectivamente.
Halla la magnitud del vector que va del origen a las coordenadas (2,1,2).
¡Ahora podemos combinar todo lo que hemos aprendido para hallar el ángulo entre dos vectores!
Halla el ángulo entre los vectores y el vector .
Solución:
Escribiendo la forma matricial de estos vectores
y
Escribiendo el vector en forma transitiva:
Por tanto
La magnitud del vector es
La magnitud del vector es
Puesto que:
Por tanto
Vectores tridimensionales - Puntos clave
Los vectores 3D tienen valores i, j y k para sus ejes x, y y z respectivamente.
Los vectores 3D pueden escribirse en forma de matriz.
En esta forma, podemos hallar el producto punto de dos vectores realizando la multiplicación matricial.
Hallando también la magnitud de esos vectores mediante una versión ampliada del teorema de Pitágoras, podemos hallar el ángulo entre esos vectores.
La representación gráfica de vectores consiste en dibujar los ejes, las coordenadas donde termina y empieza el vector, y trazar una recta que una ambos puntos.
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Lily Hulatt
Especialista en Contenido Digital
Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
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