Los sólidos son formas tridimensionales (3D). Se encuentran por todas partes en la vida cotidiana y a veces necesitarás averiguar el volumen de estas formas. Hay muchos tipos diferentes de sólidos y cada uno se reconoce por su aspecto. He aquí algunos ejemplos:
Volumen de un sólido en matemáticas
Puede ser útil hallar el volumen de estos sólidos. Al medir el volumen de un sólido estás calculando la cantidad de espacio que ocupa. Por ejemplo, si una jarra puede contener 500 ml cuando está llena, el volumen de esa jarra sería de 500 ml.
Para hallar el volumen de un sólido, tienes que pensar en la propia forma. Para hallar la Superficie de un Sólido utilizarás la longitud junto con la anchura, esto te dará las unidades cuadradas. Para hallar el volumen de un sólido, también tienes que considerar la altura del sólido, lo que te dará las unidades cúbicas.
Para saber más sobre la superficie de un sólido, visita Superficie de los sólidos.
Existen distintas fórmulas que pueden utilizarse para averiguar el volumen de un sólido. Estas fórmulas están relacionadas con las fórmulas que pueden utilizarse para hallar la superficie de un sólido.
Tomemos como ejemplo la fórmula para hallar la superficie de un círculo,\[A=\pi r^2.\]
Haciendo este cálculo obtendrás el área de la superficie de una forma bidimensional (2D).
Ahora vamos a relacionarlo con la fórmula de un cilindro, una forma 3D que implica dos círculos unidos por una cara curva.
Como ahora se trata de una forma tridimensional, para hallar su volumen puedes tomar la fórmula del área de superficie dada y multiplicarla por la altura \(h\) de la cara curva del cilindro, lo que te da la fórmula \[V=\pi r^2h.\].
Fórmulas para el volumen de un sólido
Como cada sólido diferente tiene una fórmula distinta para ayudarte a encontrar el volumen, es importante que puedas identificar cada forma y reconocer la fórmula que se necesita.
Volumen de un prisma sólido
Un prisma es un tipo de sólido que tiene dos bases paralelas entre sí. Hay distintos tipos de prisma y se denominan según la forma de la base;
Prisma rectangular
Prisma triangular
Prisma pentagonal
Prisma hexagonal
Los prismas pueden ser prismas rectos o prismas oblicuos.
Un prisma rec to es un prisma en el que las aristas y caras de unión son perpendiculares a las caras de la base.
Los prismas de la imagen siguiente son todos prismas rectos.
Es útil tener etiquetas para las partes de un prisma. Por eso llamamos
\( B\) el área de la base del prisma;
\(h\) la altura del prisma; y
\(V\) el volumen del prisma,
Entonces la fórmula del volumen de un prisma recto es
\[ V = B\cdot h.\]
Veamos cómo utilizar la fórmula.
Halla el volumen del siguiente sólido.
Responde:
Observa que se trata de un prisma recto, por lo que puedes utilizar la fórmula para hallar el volumen.
En primer lugar, puedes empezar por mirar la fórmula y escribir lo que sabes por el diagrama anterior. Sabes que la altura del prisma es \(9\, cm\). Eso significa que en la fórmula del volumen de un prisma recto, \(h = 9\).
Tienes que calcular el área de la base. Puedes ver que el triángulo que forma la base tiene un lado de longitud \(4\, cm\) y otro lado de longitud \( 5\, cm\).
Para ello puedes utilizar la fórmula para hallar el área de un triángulo;
\[\begin{align} B&=\frac{h\cdot b}{2}\\ \\ B&=\frac{5\cdot 4}{2}\\ \\ B&=10 \end{align}\]
Ahora que puedes hallar el área de la base del prisma, puedes introducirla en la fórmula para hallar el volumen del prisma;
\V&=(10)(9)\}[V&=90\,cm^3 \end{align}]
¿Y un prisma oblicuo?
En un prisma oblicuo, una base no está directamente encima de la otra, o las aristas de unión no son perpendiculares a la base.
Aquí tienes un ejemplo del aspecto que puede tener un prisma inclinado sólido.
Cuando te hayan dado un prisma inclinado, puedes utilizar la altura inclinada del sólido para hallar el volumen.
Para saber más sobre prismas, visita Volumen de prismas.
Volumen de un cilindro sólido
Un cilindro es un tipo de sólido que tiene dos bases y una arista curva. Suelen parecerse a los de la figura 5.
Es útil tener etiquetas para las partes de un cilindro. Así que llama
\( B\) el área de la base del cilindro;
\(h\) la altura del cilindro; y
\(r\) el radio del cilindro.
Se puede pensar en un cilindro como en un prisma de base circular, pero también se puede utilizar otra fórmula para hallar el volumen de uncilindro;
\[V=Bh=\pi r^2h.\]
Para saber más sobre cilindros, visita Volumen de cilindros.
Volumen de una pirámide sólida
Una pirámide es un tipo de sólido que tiene una base. La forma de la base determina el tipo de pirámide que tienes. En una pirámide, todas las caras son triángulos que llegan a un vértice. Algunos tipos diferentes de pirámides son
Pirámide cuadrada
Pirámide rectangular
Pirámide hexagonal
Aquí tienes un ejemplo de pirámide cuadrada.
Las etiquetas de las pirámides son:
\( B\) el área de la base de la pirámide;
\(h\) la altura de la pirámide; y
\(V\) el volumen de la pirámide,
Existe una fórmula que te puede ayudar a hallar el volumen de una pirámide;
\[V=\frac{1}{3}Bh.\]
Puedes observar que una pirámide y un cono son dos formas muy parecidas, siendo un cono un tipo de pirámide que tiene una base circular. Por eso también puedes ver similitudes en la fórmula que se puede utilizar para hallar el volumen de ambas formas.
Para saber más sobre las pirámides, visita Volumen de las pirámides.
Volumen de un cono macizo
Al igual que una pirámide, un cono sólido sólo tiene una base: un círculo. Un cono sólo tiene una cara y un vértice. Su aspecto es el siguiente
Los rótulos de un cono son:
\(h\) la altura del cono;
\(r\) el radio; y
\(V\) el volumen del prisma,
Existe una fórmula que te puede ayudar a hallar el volumen de un cono;
\[V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\pi r^2h.\]
Para saber más sobre los conos, visita Volumen de los conos.
Volumen de una esfera sólida
Una esfera es un tipo de sólido que no tiene bases. Es como un balón en 3D, por ejemplo, un balón de fútbol. Una esfera tiene un punto central; la distancia entre el punto central y el borde exterior da el radio de la esfera.
Es útil tener etiquetas para las partes de este sólido. Así que llama
\(r\) el radio; y
\(V\) el volumen del prisma,
Hay una fórmula que se puede utilizar cuando se intenta hallar el volumen de una esfera;
\[V=\frac{4}{3} \pi r^3.\]
Para saber más sobre esferas, visita Volumen de esferas.
Volumen de un sólido rectangular
Un sólido rectangular es un tipo de forma tridimensional en la que todas sus bases y caras son rectángulos. Pueden considerarse un tipo especial de prisma recto.
Para hallar el volumen de un sólido rectangular puedes multiplicar la longitud por la anchura y por la altura de la forma. Esto se puede escribir en la siguiente fórmula
\[V=L\cdot W\cdot H.\]
Veamos un ejemplo en el que se utiliza la fórmula.
Halla el volumen del siguiente sólido.
Contesta:
Para empezar identifica cada una de las etiquetas de la forma para saber dónde introducir la variable en la fórmula.
\[L=5cm, \space \space W=7cm, \space \space H=10cm\]
Ahora puedes introducir las variables en la fórmula para hallar el volumen de un sólido rectangular.
\π[\begin{align} V&=L\cdot W\cdot H\cdot V&=5\cdot 7\cdot 10\cdot V&=350cm fin]].
Volumen de un sólido compuesto
Un sólido compuesto es un tipo de sólido 3D que está formado por dos o más sólidos. Tomemos una casa, por ejemplo, el edificio puede considerarse un sólido compuesto, con una base prismática y un tejado piramidal.
Para hallar el volumen de un sólido compuesto tienes que descomponer la forma en sus sólidos separados y hallar el volumen de cada uno de ellos.
Volviendo al ejemplo de la casa, podrías hallar primero el volumen del prisma y luego el volumen de la pirámide. Para hallar el volumen de toda la casa, sumarías los dos volúmenes separados.
Ejemplos de volumen de sólidos
Veamos algunos ejemplos más.
Calcula el volumen de una pirámide de base cuadrada, con longitudes laterales de \(6\,cm\) y altura de \(10\,cm\).
Contesta:
Para empezar tienes que encontrar la fórmula correcta a utilizar, ya que al tratarse de una pirámide necesitarás esa fórmula específica:
\V=frac{1}{3}Bh\]
Ahora tienes que encontrar cada parte de la fórmula para calcular el volumen. Como la base de la pirámide es un cuadrado con una longitud lateral de \(6\,cm\), para hallar el área de la base \((B)\) puedes multiplicar \(6\) por \(6\):
\[B=6\cdot 6=36\]
Ahora conoces el área de la base y sabes la altura de la pirámide por la pregunta, lo que significa que ya puedes utilizar la fórmula:
\V&=frac V&=\frac{1}{3}(36)(10) \\ \\ V&=120\,cm^3 \end{align}\]
He aquí otro ejemplo.
Calcula el volumen de una esfera que tiene un radio de \(2,7cm\).
Respuesta:
Para empezar tienes que encontrar la fórmula correcta que debes utilizar, como se trata de una esfera necesitarás esa fórmula específica:
\[V=\frac{4}{3}\pi r^3\]
Te han dado el radio, así que lo único que tienes que hacer es introducir ese valor en la fórmula:
{\a6}[\a6}[\a6}[\a6}[\a6}[\a6}[Inicio V&=\frac{4}{3}\pi (2,7)^3 \frac{4}{3}\pi (2,7)^3 \frac{4}{3}\pi (2,7)^3 \frac{4}{3}\pi (2,7)^3 \frac{4}{3}\pi (2,7)^3 \frac{4}{3}\pi (2,7)^3]
Veamos otro tipo de ejemplo.
Dibuja un cono con una altura de \(10\,cm\) y un radio de \(9\,cm\).
Contesta:
Para responder a este tipo de pregunta, tendrás que dibujar el sólido según las medidas dadas.
En esta pregunta te han pedido que dibujes un cono que tenga una altura de \(10\,cm\) y un radio de \(9\,cm\). Esto significa que tendrá una altura de \(10\,cm\) y que la base circular tendrá un radio de \(9\,cm\), lo que significa que tendrá una anchura de \(18\,cm\).
Cuando dibujes tu propio diagrama, ¡no olvides etiquetarlo con las medidas!
Veamos uno más.
Calcula el volumen de un cono que tiene un radio de \(9\,m\) y una altura de \(11\,m\).
Respuesta:
Para empezar tienes que encontrar la fórmula correcta a utilizar, como se trata de un cono necesitarás esa fórmula específica:
\V=frac{1}{3}\pi r^2h\]
Te han dado tanto el radio como la altura del cono, lo que significa que puedes introducir los valores directamente en la fórmula:
\V&=frac{1}{3}pi r^2h V&=\frac{1}{3}\pi (9)^2(11) \\ \\ V&\approx933\,m^3 \end{align}\]
Volumen de un sólido - Puntos clave
- Un sólido es una forma tridimensional, hay muchos tipos diferentes de sólidos y cada sólido tiene su propia fórmula para hallar el volumen;
- Prismas - \(V=Bh\)
- Cilindros - \(V=\pi r^2h\)
- Pirámides - \(V=frac{1}{3}Bh\)
- Conos - \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\)
- Esferas - \(V=\frac {4}{3}\pi r^3\)
- Un sólido rectangular es una forma tridimensional en la que todas las caras y bases son rectángulos, puedes hallar el volumen del sólido mediante la fórmula, \(V=L\cdot W\cdot H\).
- Un sólido compuesto es una forma tridimensional formada por dos o más sólidos; para hallar el volumen puedes descomponer la forma en sus sólidos separados y hallar sus volúmenes individualmente antes de sumarlos.
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