Formulación de Problemas de Programación Lineal

Una fábrica fabrica dos tipos de productos \(S\) y \(T\) y los vende con un beneficio de \(2$) el tipo \(S\) y \(3$) el tipo \(T\). Cada producto se procesa en dos máquinas \(M_1\) y \(M_2\). El tipo \(S\) requiere \(1\) minuto de tiempo de procesamiento en \(M_1\) y \(2\) minutos en \(M_2\). El tipo \(T\) requiere \(1\) minuto en \(M_1\) y 1 minuto en \(M_2\). La máquina \(M_1\) no está disponible más de \(6\) horas \(40\) minutos, mientras que la máquina \(M_2\) está disponible \(10\) horas durante cualquier día laborable. Formula el problema como un LPP para maximizar el beneficio.

Solución:

Que la fábrica decida producir \(x_1\) unidades del producto \(S\) y \(x_2\) unidades del producto \(T\) para maximizar su beneficio.

Para producir estas unidades de productos tipo \(S\) y tipo \(T\) necesita \(x_1+x_2\) minutos de procesamiento en \(M_1\) y \(2x_1+x_2\) minutos de procesamiento en \(M_2\). Como la máquina \(M_1\) está disponible un máximo de \(6\) horas \(40\) minutos y \(M_2\) está disponible un máximo de \(10\) horas haciendo cualquier día laborable, las restricciones son

\[x_1+x_2 \leq 400,\] \[2x_1+x_2 \leq 600,\] y \[x_1,x_2 \geq 0.\]

Como el beneficio del tipo \(S\) es \(2$) y el beneficio del tipo \(T\) es \(3$), el beneficio total es \(2x_1+3x_2\). Como el objetivo es maximizar el beneficio, la función objetivo es maximizar \(Z=2x_1+3x_2\).

La formulación completa de la LPP es \(\texto {Maximizar}\, Z=2x_1+3x_2\) sujeta a las restricciones

\[x_1+x_2\leq 400,\\]

\[2x_1+x_2\leq 600,\]

y \[x_1,x_2 \geq 0,\].

Una empresa fabrica smartwatches y teléfonos insignia. Las previsiones de la empresa indican una demanda esperada de al menos \(200\) teléfonos insignia y \(140\) smartwatches cada día. Debido a algunas limitaciones en el departamento de producción, no se pueden fabricar más de \(300\) teléfonos insignia y \(180\) smartwatches al día.

Para facilitar el contrato de envío, hay que enviar un mínimo de \(240\) mercancías cada día. Si cada teléfono insignia vendido produce una pérdida de \(10 $), pero cada smartwatch produce un beneficio de \(20 $); entonces, ¿cuántos smartwatches y teléfonos insignia de cada tipo deben fabricarse diariamente para maximizar el beneficio neto?

Solución:

Resolvamos el problema de programación lineal dado siguiendo los pasos que se indican.

Paso 1: Tienes que encontrar las variables de decisión. Se te ha pedido que optimices el número de smartphones y teléfonos insignia producidos por la empresa. Éstas serán tus variables de decisión en el problema planteado.

Sea \(x=\)Número de teléfonos insignia producidos y \(y=\)Número de smartphones producidos.

Por tanto \(x\) y \(y\) son las dos variables de decisión en el problema dado.

Paso 2: Ahora tienes que ocuparte de las restricciones. Como la empresa no puede producir un número negativo de teléfonos insignia y smartwatches, las restricciones obvias serían \[x \ge 0,\] y \[y \ge 0,\] En el problema dado, se dan los límites inferiores para que la empresa venda sus smartwatches y teléfonos insignia. Puedes escribirlos como \[ x \ge 200,\] y \[y \ge 140,\] También se dan los límites superiores para estas fabricaciones teniendo en cuenta las limitaciones del departamento de producción. Puedes escribirlos como \[x \le 300, \] y \[y \le 180,\]. Además, tienes la restricción conjunta tanto para los smartwatches como para los teléfonos insignia debido al contrato de envío. como \[x+y \ge 240,\].

Paso 3: Considera ahora la función objetivo. Tienes que optimizar la función de beneficio neto. Viene dada como \[P=-10x+20y.\\]

Paso 4: El último paso es resolver el problema.

\[\texto {Maximizar}\, P=-10x+20y \]

sujeto a \[200 \le x \le 300,\] \[140 \le y \le 180,\] y \ [x+y \ge 240, \].

Dave quiere decidir los componentes de su dieta que satisfacen sus necesidades diarias de proteínas, grasas e hidratos de carbono con el mínimo coste. Obtiene estos nutrientes de cuatro alimentos diferentes. Los rendimientos por unidad de sus alimentos figuran en la tabla siguiente.

Formula el modelo de Pogramación Lineal para el problema.

Solución:

Sean \(x_1,x_2,x_3\) y \(x_4\) las unidades de comida de tipo \(1\), \(2\), \(3\) y \(4\) utilizadas respectivamente.

De estas unidades de comida de tipos \(1\), \(2\), \(3\) y \(4\) requiere

\[3x_1+4x_2+8x_3+6x_4\, \texto{Proteínas/día},\}

\[2x_1+2x_2+7x_3+5x_4, \text{Grasas/día y}\}

\[6x_1+4x_2+7x_3+4x_4\, \text{Carbohydrates/day}.\]

Como las necesidades mínimas de estas proteínas, grasas e hidratos de carbono son \(900\), \(200\) y \(700\) respectivamente, las restricciones son

\[3x_1+4x_2+8x_3+6x_4 \geq 900,\] \[2x_1+2x_2+7x_3+5x_4 \geq 200,\] \[6x_1+4x_2+7x_3+4x_4 \geq 700,\]

y \[x_1,x_2,x_3,x_4 \geq 0,\]

Como el coste de este alimento de tipo \(1\), \(2\), \(3\) y \(4\) es \(2\), \(1\), \(5\) y \(3\) por unidad, el coste total es \(2x_1+x_2+5x_3+3x_4\, $\). Como el objetivo es minimizar el coste total, la función objetivo es

\text {Minimizar}\, Z=2x_1+1x_2+5x_3+3x_4.\]

La formulación completa de la LPP es

\texto {Minimizar}, Z=2x_1+1x_2+5x_3+3x_4].

sujeto a

\[3x_1+4x_2+8x_3+6x_4 \geq 900,\\]

\[2x_1+2x_2+7x_3+5x_4 \geq 200,\]

\[6x_1+4x_2+7x_3+4x_4 = 700] y [x_1,x_2,x_3,x_4 = 0,0].