Las diferencias pueden ser de magnitud, de dirección o tanto de magnitud como de dirección. La aceleración variable se produce cuando los cambios en la velocidad de un objeto no son los mismos a intervalos de tiempo iguales. Por tanto, depende tanto de la velocidad como del tiempo.
También puedes aprender sobre la Aceleración Constante.
Ejemplos de aceleración variable
Imagina que un policía persigue a un delincuente y tropieza con una multitud. El policía tendría que reducir su ritmo y volver a aumentarlo cuando llegue a un lugar menos ocupado. Lo mismo ocurre cuando un coche está acelerando en la autopista y se encuentra con tráfico. El coche aceleraría muy poco en el tráfico, y cuando la carretera queda libre su aceleración aumenta.
Herramientas necesarias en aceleración variable
Para resolver las preguntas de aceleración variable, debes tener conocimientos básicos de cálculo. Esto es esencial porque para deducir la velocidad cuando se ha dado el desplazamiento, se espera que diferencies el desplazamiento. Mientras tanto, para determinar el desplazamiento con una velocidad dada, se espera que integres la velocidad. Este proceso se repite entre velocidad y aceleración y viceversa.
La función del tiempo en la aceleración variable
Recuerda que la aceleración variable depende del tiempo porque el cambio de aceleración se produce en intervalos de tiempo. Sin embargo, empezaremos resolviendo ejemplos que expresan la velocidad y el desplazamiento como funciones del tiempo.
El desplazamiento s de una partícula en movimiento sobre una recta desde un punto O en un tiempo t segundos viene dado como \(s = 4t^3 - 9t\) donde 0 <t. Halla
a. El desplazamiento cuando t = 3
b. El tiempo que tarda la partícula en volver al punto O.
Solución:
a. Para hallar el desplazamiento s, basta con sustituir el valor de t = 3 en la ecuación
\(s = 4t^3 - 9t\)
\(s = 4 (3^3) - 9(3) = 108 - 27 = 81 \space m\)
b. Para hallar el tiempo que se tarda en volver al punto O, significa que el desplazamiento es cero, y se pondría en la ecuación.
Así
\(0 = 4t^3 - 9t\)
Factoriza
\(0 = t(4t^2 - 9)\)
Factoricemos \(4t^2 - 9\) por separado
\(4t^2 - 9 = (2t -3)(2t+3)\)
Por tanto
\(0 = t (2t - 3) (2t + 3)\)
\(t = 0, 2t - 3 = 0\) o \(2t + 3 = 0\)
\(t = 0, \frac{3}{2} \texto{ o } \frac{-3}{2}\)
Recuerda que 0 <t
Eso significa que la respuesta es \(\frac{3}{2}) segundos.
El movimiento de un coche de juguete en una pista recta se ha modelizado siguiendo la ecuación \(s = -t^3 + 4t^2\). Si este juguete sale en el momento t = 0 y vuelve al principio de la pista, demuestra la restricción 0 ≤ t ≤ 4.
Solución:
Desde el inicio del movimiento
s ≥ 0
Por tanto
\(-t^3 + 4t^2 \geq 0, \quad 4t^2 - t^3 \geq 0, \quad t^2(4-t) \geq 0, \qquad 4-t \geq 0\)
\(t^2 \geq 0\) y \(4 \geq t\)
Puesto que el tiempo no puede estar en negativo. Sólo podemos considerar t ≥ 0 en este caso.
Por tanto; t ≤ 4
t ≥ 0 y t ≤ 4
lo que demuestra la restricción 0 ≤ t ≤ 4.
La relación entre la velocidad y el tiempo de un objeto que se mueve en línea recta viene dada por la expresión \(v = 2t^2 - 16t + 24\) para t ≥ 0
Halla:
- La velocidad inicial.
- El tiempo que el objeto está instantáneamente en reposo.
- El tiempo que la velocidad está a 64 m/s.
- La mayor velocidad con el intervalo 0 ≤ t ≤ 5.
Solución
a. A la velocidad inicial el tiempo es cero porque el movimiento acaba de comenzar.
t = 0
sustituye el valor de t en la ecuación para hallar la velocidad
\(v = 2t^2 - 16t + 24\)
v = 24 m / s.
b. En la velocidad instantánea en reposo, v = 0
Sustitúyelo en la ecuación para hallar el tiempo.
\(0 = 2t^2 - 16t + 24 = 2(t^2-8t+12)\)
Divide ambos lados por 2
\(0 = t^2 - 8t + 12\)
Factoriza
\(0 = (t - 6) (t - 2)\)
t = 6 ó 2
Por tanto, el objeto llega a un reposo instantáneo a los 2 segundos y a los 6 segundos.
c. A la velocidad = 64 m / s, el tiempo es
\(64 = 2t^2 - 16t+24 = 2 (t^2 - 8t + 12)\)
Divide ambos lados por 2
\(32 = t^2 - 8t + 12\)
\(0 = t^2-8t + 12 -32 = t^2 - 8t - 20\)
Factoriza
\(0 = (t - 10) (t + 2)\)
t = 10 ó -2
Por tanto, el objeto se mueve a 64 m/s al cabo de 10 segundos.
d. La mayor velocidad entre 0 ≤ t ≤ 5 es la mayor velocidad alcanzada por el objeto entre t = 0 y t = 5.
Para deducirlo, se podría trazar una gráfica de la ecuación con los valores comprendidos entre 0 y 5, con v en el eje y y t en el eje x.
Inicialmente, el valor para t = 0 se ha obtenido en la pregunta a) como 24 m / s. Utiliza el mismo enfoque y completa la tabla para los valores de 1 a 5.
| \(x = t\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| \(y = v = 2t^2 - 16t+24\) | 24 | 10 | 0 | -6 | -8 | -6 |
El gráfico siguiente revela la velocidad máxima. Se ve en la tabla y se confirma en el gráfico que la velocidad máxima es de 24 m/s. Se obtiene en el tiempo t = 0.
Aplicaciones de la diferenciación en aceleración variable
La velocidad se define como la variación del desplazamiento con el tiempo. Hemos explicado la función del tiempo en el desplazamiento y la velocidad, así, \(v = \frac{ds}{dt}\).
De forma similar, la aceleración se define como el cambio de la velocidad con el tiempo. Si se sobreexpresa la velocidad en función de t para obtener la aceleración, entonces, \(a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 s}{dt^2}\).
Estos conocimientos de cálculo diferencial serían necesarios para determinar la velocidad si el desplazamiento se expresa en función del tiempo. Del mismo modo, la aceleración puede deducirse cuando la velocidad se expresa en función del tiempo. Veamos algunos ejemplos para que esto quede más claro:
Un triciclo se mueve horizontalmente. El desplazamiento q desde el reposo O en el tiempo t viene dado como
\(q = t^4-32t+12\)
a. Calcula la velocidad del triciclo cuando t es de 4 segundos.
b. Halla el momento en que alcanza una velocidad instantánea.
c. Calcula la aceleración cuando t es de 1,5 segundos.
Solución:
a. q es el desplazamiento dado como
\(q = t^4-32t+12\)
Recuerda que debes diferenciar el desplazamiento para obtener la velocidad.
\(v = \frac{dq}{dt} = \frac{d(q = t^4 -32t+12)}{dt}\)
\(v = 4t^3 -32\\)
Como ya se ha deducido la función t de la velocidad, sustituye el valor de t = 4 en la ecuación.
\(v = 4(4^3)-32 = 256-32 = 224\)
Por tanto, la velocidad del triciclo es de 224 m/s
b. Para hallar el momento en que el triciclo experimenta la velocidad instantánea, recuerda siempre que el objeto está momentáneamente en reposo. Esto significa que la velocidad es cero en ese instante.
Introduce el valor de v = 0 en la ecuación \(v = 4t^3 - 32\) para hallar el tiempo t.
\(0 = 4t^3 - 32\)
\(4t^3 = 32\)
Divide ambos lados por 4
\(t^3= 8\)
Halla la raíz cúbica de ambos lados: t = 2
Por tanto, el triciclo experimenta velocidad instantánea al cabo de 2 s.
c. Recuerda diferenciar la velocidad al determinar la aceleración.
Puesto que \(v = 4t^3 - 32\)
\(a = \frac{dv}{dt} = \frac{d(v=4t^3-32)}{dt}\})
\(a = 12t^2\)
Ahora se te pide que halles la aceleración. Sólo tienes que sustituir el valor de t = 1,5 en la ecuación de la aceleración.
\(a = 12(1,5^2); \quad a = 27 ms^{-2}\)
Por tanto, la aceleración en el tiempo t = 1,5 s es de 27 ms-2
Utilización de la aceleración variable en casos de mínimo y máximo
La idea de aceleración variable también tiene aplicaciones provechosas en la búsqueda de los valores mínimo y máximo de desplazamiento, velocidad y aceleración.
Una mujer tiene un muelle que sale de su mano en el tiempo t = 0 segundos, y se mueve verticalmente en línea recta antes de volver a su mano. La distancia y entre el muelle y su mano al cabo de t segundos viene dada por
\(y = -0,2t^3 + 0,4t^2 + 0,6 t\), 0 ≤ t ≤ 3
a. Demuestra la restricción 0 ≤ t ≤ 3.
b. Calcula la distancia máxima entre la mano de la mujer y el muelle.
Solución:
a. \(y = -0,2t^3 + 0,4t^2 + 0,6 t\)
Factoriza:
\(y = -0,2t(t^2 - 2t - 3)\)
Factoriza más:
\(y = -0,2t (t - 3) (t + 1)\)
cuando y = 0, entonces
\(-0,2t = 0, \space t - 3 = 0 \text{ o } t + 1 = 0\)
t = 0, 3 ó -1
No hay valores negativos para el tiempo, por tanto, t = 0 ó 3. Esto justifica la restricción de t, 0 ≤ t ≤ 3.
b. Recuerda que cuando una partícula alcanza su desplazamiento máximo, queda momentáneamente en reposo. Decimos que su velocidad está instantáneamente en reposo y v = 0.
Por tanto, para hallar el desplazamiento máximo, necesitamos conocer el momento en que el objeto queda instantáneamente en reposo. Para ello, necesitamos hallar la función t de v.
\(y = -0,2t^3+0,4t^2+0,6t\)
\(v = \frac{dy}{dt} = \frac{d(y = -0,2t^3 + 0,4 t^2 + 0,6t)}{dt})
\(v = -0,6t^2 + 0,8t + 0,6\)
Ahora tenemos la función t de nuestra velocidad en la ecuación, hallemos t cuando v está instantáneamente en reposo.
v = 0
\(0 = -0,6t^2 + 0,8t + 0,6\)
Factoriza
\(0 = -0,2(3t^2-4t-3)\)
Divide ambos lados por -0,2
\(0 = 3t^2-4t-3\)
Utilizando la fórmula de las ecuaciones cuadráticas \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}\)
Donde a = 3, b = -4 y c = -3
Tras sustituir los valores y resolver la ecuación
t = 1,8685 o -0,5351.
Recuerda que ningún valor negativo de t es válido, por tanto, t = 1,8685
Esto significa que la distancia y es máxima al cabo de 1,8685 segundos.
Sustituye el valor de t para hallar ymáx.
\(y = -0,2t^3 + 0,4t^2 + 0,6t\)
\(y_{max} = -0,2(1,8685)^3 + 0,4(1,8685)^2 + 0,6(1,8685) = 1,2129\)
La distancia máxima entre la mano de la mujer y el muelle es de 1,21 metros.
Utilizar la integración en problemas de aceleración variable
Inicialmente, hemos visto cómo se utiliza la diferenciación para hallar la velocidad a partir de un desplazamiento dado con respecto al tiempo. También hemos visto cómo se utiliza este proceso para hallar la aceleración cuando la velocidad viene dada en función del tiempo. Para llevar a cabo la inversa de estas situaciones, tanto de la velocidad al desplazamiento como de la aceleración a la velocidad, se utiliza la integración.
Ya lo sabes:
\(v = \frac{ds}{dt}\) otra \(a = \frac{dv}{dt}\)
Entonces
\(s = \int{v \espacio dt}\) otro \(v = \int{a \espacio dt}\)
\((t-5)ms^{-2}\) es la aceleración de una pelota de baloncesto botada por un adolescente. El balón comienza con una velocidad de 8 m/s. Determina el tiempo (s) que la pelota de baloncesto está instantáneamente en reposo.
Solución:
\(a = t - 5\)
\(v = \int{a \space dt}\)
\(v = \int{(t-5) dt} = \frac{t^2}{2} - 5t +c\) no olvides añadir la constante c después de cada integración.
Nos dijeron que la bola comenzó con una velocidad de 8 m/s, lo que significa que en el momento t = 0, v = 8
Así pues, sustituye el valor de t y v en la ecuación \(8 = \frac{0^2}{2} - 5(0) + c\)
c = 8
Esto significa que la función t de la velocidad es
\(v = \frac{t^2}{2} - 5t + 8\)
Ahora que tenemos una ecuación completa para la velocidad, podemos determinar el tiempo (s) que la bola está instantáneamente en reposo.
v = 0 porque el objeto está momentáneamente en reposo.
\(v = \frac{t^2}{2} - 5t + 8\\)
\(0 = \frac{t^2}{2} - 5t +8\)
Multiplica la ecuación por 2 para eliminar la fracción
\(0 = t^2 - 10t + 16\)
Factoriza
\((t - 8) (t - 2) = 0\)
t = 8 ó 2
Por tanto, la pelota de baloncesto está instantáneamente en reposo en 2 y 8 segundos.
Aceleración variable - Puntos clave
- La aceleración variable tiene lugar cuando los cambios de velocidad no son iguales para los mismos intervalos de tiempo. Por tanto, la aceleración no es constante.
- El cálculo diferencial e integral son herramientas que se utilizan para resolver problemas de aceleración variable.
- Se diferencia para hallar la velocidad cuando el desplazamiento se ha expresado en función del tiempo. Lo mismo ocurre con la aceleración cuando se da la velocidad.
- Se integra para hallar el desplazamiento cuando la velocidad se ha expresado en función del tiempo. Lo mismo ocurre con la velocidad cuando se da la aceleración.
- La velocidad de un objeto en reposo instantáneo es 0.
- Puedes hallar el desplazamiento máximo diferenciando el desplazamiento para hallar la función t de la velocidad. A continuación, toma el tiempo en el que la velocidad está instantáneamente en reposo y sustitúyelo en la ecuación del desplazamiento.
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