Aceleración Variable Con La Velocidad

Relación entre aceleración y velocidad

Una gran pregunta en torno a la aceleración es ¿cómo se relaciona con la velocidad? La respuesta es que la aceleración es la derivada de la velocidad, lo que significa que la aceleración es el índice de cambio de la velocidad.

A la inversa, si integras una expresión para la aceleración llegarás a la expresión para la velocidad.

Tanto la aceleración como la velocidad son magnitudes vectoriales, lo que significa que tienen tamaño y dirección. Esto significa que al considerar los valores de la aceleración y la velocidad tienen valores de signo unidos a ellos para indicar la dirección.

Pero, ¿cuáles son entonces las diferencias entre aceleración y velocidad?

Diferencias entre aceleración y velocidad

Aunque hemos visto la relación y las similitudes entre velocidad y aceleración, lo cierto es que son variables diferentes y, como tales, surge la pregunta de en qué se diferencian.

La aceleración sigue el cambio en la velocidad; como tales, tendrán valores diferentes, pero también pueden ser de signos diferentes.

Ahora que sabemos cómo se relacionan la aceleración y la velocidad y en qué se diferencian, pasamos a las derivadas de la aceleración y la velocidad.

Aceleración y derivadas de la velocidad

Sabemos que la aceleración es la tasa de variación de la velocidad, pero también tenemos la relación entre velocidad y desplazamiento: la velocidad es la tasa de variación del desplazamiento. Esto significa que la aceleración es la segunda derivada del desplazamiento.

Esta relación también funciona a la inversa: si tienes una expresión para la aceleración y la integras, tendrás una expresión para la velocidad, y si tienes una expresión para la velocidad y la integras, tendrás una expresión para el desplazamiento. El gráfico siguiente muestra estas relaciones.

Fig. 1. Gráfico que muestra las relaciones entre desplazamiento, velocidad y aceleración.

Examinando el gráfico vemos cómo se relacionan el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, pero ¿cómo lo escribimos matemáticamente?

Si tenemos una expresión para la posición de un objeto dada como \(r,\) podemos ver que la velocidad será cómo cambia esta posición con el tiempo,\[v=\frac{dr}{dt}.\] También sabemos que la aceleración se mide por cuánto cambia la velocidad con el tiempo, por lo que viene dada por:\[a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2r}{dt^2}.\]Estas son las relaciones de derivación que utilizamos para evaluar la velocidad y la aceleración. Como se ve en la gráfica anterior, si quisiéramos trabajar en el otro sentido, nos limitaríamos a integrar,\[v=\int a\quad dt\]\[r=\int v\quad dt.\].

Pasamos ahora a interpretar las gráficas de aceleración y velocidad.

Gráfica de aceleración y velocidad

Ahora que hemos visto cómo se relacionan entre sí el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, podemos visualizarlo mejor examinando las gráficas de velocidad/tiempo de aceleración.

Fig. 2. Gráfico que muestra las gráficas de aceleración y velocidad-tiempo para compararlas.

Trabajando a partir de lo que vimos anteriormente con la relación entre velocidad y aceleración, podemos visualizarla en las gráficas anteriores.

Al diferenciar estamos encontrando el gradiente de la recta de velocidad. Examinando la figura anterior puedes verlo: mira entre \(4\) y \(5\) segundos en la gráfica superior y verás que la velocidad sube de \(1 m/s\) a \(4 m/s\) en un segundo. Esto da un gradiente de \(3\) que puedes ver en el punto correspondiente de la gráfica del tiempo de aceleración.

Inversamente, si miramos entre \(0\) y \(1\) segundos en la gráfica aceleración-tiempo y calculamos el área encerrada por la línea obtendremos nuestro perfil de velocidad. Ésta es la técnica de integración: si integramos la aceleración (el área sobre la línea en este caso) obtendremos la velocidad. La respuesta de la integral es \(-3\) ya que está en la parte inferior de los ejes y si examinamos la gráfica de velocidad podemos ver que durante este periodo de tiempo la velocidad disminuyó en \(3 m/s.\)

Estas relaciones deberían ayudarte a comprender cómo podemos diferenciar e integrar entre desplazamiento, velocidad y aceleración, como has visto anteriormente.

Fórmula de aceleración y velocidad

Cuando consideramos la aceleración que varía con la velocidad, normalmente se nos da una expresión en función de la velocidad.

Sabemos que nuestra fórmula para la aceleración y la velocidad viene dada por, \[a=\frac{dv}{dt},\] y si nos dan una función de la velocidad para resolver tendríamos una pregunta de la forma, \[\frac{dv}{dt}=f(v).\] Este tipo de pregunta está afirmando que la aceleración para la pregunta se rige por una función de la velocidad. Entonces, ¿cómo resolveríamos esto?

La pregunta tiene un término \(f(v)\) que es igual a nuestra aceleración \((a)\). Por tanto, podemos resolverla mediante el método de separación de variables. Esto significa que juntamos los términos semejantes a ambos lados del signo igual, integramos y luego resolvemos para \(v\) para obtener una expresión de la velocidad \((v)\) en función del tiempo \((t)\) y de cualquier constante. Veamos la lógica que hay detrás de esto.

Sabemos que la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad,\[\por tanto a=\frac{dv}{dt}.\]También sabemos que tenemos una función \(f(v)\) que es igual a la aceleración. Esto nos lleva a la expresión, \ [\frac{dv}{dt}=f(v).\]A partir deaquí, juntaríamos los términos \(v\) con el término \(dv\) y juntaríamos cualquier término \(t\) con nuestro término \(dt\) al otro lado del signo igual.

Por ejemplo, si \(f(v)=\frac{t}{v}) donde \(t\) es una variable temporal, nuestra separación de variables quedaría así: \[\begin{align}a&=f(v)\\frac{dv}{dt}&=\frac{t}{v} \ v dv&= tdt. \end{align}\] A partir de aquí integraríamos y obtendríamos una expresión de cómo varía la velocidad con el tiempo a partir de una expresión de la aceleración. Veamos cómo sería esto en un ejemplo.

Velocidad terminal o límite

También podemos calcular la velocidad terminal de un objeto utilizando el mismo formato de expresión visto anteriormente.

Si tomamos la velocidad terminal como la velocidad máxima que puede alcanzar el objeto, esto significa que la tasa de variación de la velocidad será 0. El objeto ha alcanzado su velocidad máxima, por lo que la velocidad ya no puede aumentar más.

Un ejemplo de esto podría ser un objeto en caída libre. En algún momento, el peso del objeto limitará la velocidad a la que está cayendo y esta velocidad no podrá superarse. Seguiremos teniendo la aceleración \(a\) expresada en función de la velocidad \(v\) que resulta en la forma general,\[\frac{dv}{dt}=f(v)\]\[0=f(v).\]Si luego reordenamos la función para \(v\) tendremos la velocidad límite. Veamos esto a modo de ejemplo.

Ecuaciones de aceleración y velocidad

También tenemos otra metodología que podemos utilizar al seguir la aceleración con velocidad variable. Podemos aplicar las ecuaciones SUVAT a un problema con aceleración constante y velocidad variable. En términos de notación tenemos,\[\begin{align} s&=\mbox{Desplazamiento}\u&=\mbox{Velocidad Inicial}\v&=\mbox{Velocidad Final}\a&=\mbox{Aceleración}\t&=\mbox{Tiempo}\end{align}]Tenemos entonces las cinco ecuaciones para los cálculos SUVAT: \[\begin{align} &(1)\quad s= ut+\frac{at^2}{2}\(2)\quad s= vt-\frac{at^2}{2}(3)\quad s=\frac{v+u}{2}t\\(4)\quad v^2=u^2+2as\(5)\quad v=u+at\end{align}].

Podemos ver cómo las ecuaciones (1), (2), (4) y (5) tienen un término de aceleración y, como tales, las ecuaciones relevantes reordenadas para la aceleración son las siguientes,\[\begin{align} &(1)\quad a= \frac{2s-2ut}{t^2}\quad a= - \left[\frac{2s-2vt}{t^2}\right]\quad a= \frac{v^2-u^2}{2s}\quad a=(5)\frac{v-u}{t}.\fin].