Cálculo Cinemática

¿Qué son las ecuaciones cinemáticas?

La cinemática es, a grandes rasgos, el estudio del movimiento. Las ecuaciones cinemáticas relacionan el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de un cuerpo mediante derivadas e integrales.

Ecuaciones cinemáticas de desplazamiento

El desplazamiento de una partícula muestra simplemente cuánto se ha movido un punto en el espacio respecto a un punto de origen fijo. Esta cantidad se denominará x y es un vector, en lugar de un escalar, ya que tiene en cuenta la dirección en la que se mueve la partícula, así como la magnitud (o tamaño) de ese cambio de posición.

Fig. 1. Representación de un vector. Observa que la línea que representa el vector (azul) tiene dirección.

Considerando que una partícula está en movimiento a lo largo de una recta,

Si x > 0, la partícula está a la derecha del origen.

Si x < 0, la partícula está a la izquierda del origen.

Cuando una partícula cambia de dirección durante su movimiento, se puede esbozar un diagrama de movimiento a lo largo de una recta numérica, para comprender el punto inicial, el punto de giro (s) y el punto final de la partícula en el espacio.

La diferencia entre desplazamiento y distancia es que la distancia es independiente de la dirección (es una cantidad escalar), mientras que el desplazamiento considera la posición de una partícula respecto al punto de origen del movimiento, por lo que también considera la dirección (es una cantidad vectorial).

Ecuaciones cinemáticas de velocidad

La velocidad describe la rapidez con que un punto se mueve en una dirección determinada. Dicho de otro modo,

Nos referiremos a la velocidad como v y \(v = \frac{dx}{dt}\), donde t es el tiempo y x es el desplazamiento alcanzado por la partícula en esa cantidad específica de tiempo. Esto significa que si tenemos una expresión para x en función de t, podemos tomar la derivada de esta expresión para hallar la velocidad.

La unidad de esta cantidad es desplazamiento/tiempo. Si el desplazamiento es en metros y el tiempo en segundos, la velocidad sería en metros por segundo, o m/s.

Considerando una partícula:

Si v > 0, la partícula se desplaza hacia la derecha.

Si v < 0, la partícula se desplaza hacia la izquierda.

Si v = 0, la partícula está inmóvil. Si en este punto se produce un cambio de signo de v, la partícula ha cambiado de dirección.

Si te hacen una pregunta en la que te piden un valor de rapidez, en lugar de velocidad, es importante que tengas en cuenta que la rapidez, a diferencia de la velocidad, no tiene en cuenta la dirección del movimiento. En otras palabras, la rapidez es el cambio de distancia en el tiempo y la velocidad es el cambio de desplazamiento en el tiempo.

Por ejemplo, si estuvieras caminando por las paredes de una habitación cuadrada con un perímetro de 12 m en 36 s, y acabaras de nuevo en el punto en el que empezaste, la distancia total recorrida sería de 12 m, pero el desplazamiento total sería de 0 m, ya que no hay ningún cambio entre las posiciones inicial y final. Por tanto, tu velocidad sería \(\frac {12}{36} = 0,333 \space m/s\) y tu velocidad sería \(\frac{0}{36} = 0 \space m/s\).

Así pues, para pasar del desplazamiento a la velocidad tenemos que diferenciar, pero ¿cómo pasamos de la velocidad al desplazamiento? Recordarás que la integración es el proceso inverso a la diferenciación, así que tendremos que integrar nuestra expresión de la velocidad con respecto al tiempo para hallar el desplazamiento.

\[x = \int v\space dt\]

A veces, es necesario hallar la constante de integración c. En este caso, la pregunta deberá proporcionar un valor para el desplazamiento en un momento determinado. Este valor suele ser el desplazamiento inicial cuando t = 0. A continuación, este valor puede sustituirse en la ecuación para resolver la incógnita c, la constante de integración.

Ecuaciones cinemáticas de aceleración

\[a = \frac {dv}{dt}\]

Pero ya sabemos que \(v = \frac {dx}{dt}\), por lo que podemos poner una expresión para a en términos de x: \(a = \frac {d^2v}{dt^2}\). Esto significa que, para hallar la aceleración, tendremos que diferenciar dos veces el desplazamiento con respecto a t.

Las unidades para esta cantidad, si el desplazamiento es en metros y el tiempo en segundos, es metros por segundo cuadrado o m/s².

Como antes, podemos hallar la velocidad de una partícula integrando su aceleración respecto al tiempo,

\[v = \int a \space dt\]

Para hallar x, tendremos que integrar a dos veces con respecto a t. Esto puede representarse con una integral doble.

\[x = \iint a \space dt \space dt\]

Para determinar si la velocidad de una partícula aumenta o disminuye, hay que tener en cuenta los signos tanto de la velocidad como de la aceleración.

• Si la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo (ambas positivas o ambas negativas), la velocidad de la partícula está aumentando.

• Si la velocidad y la aceleración tienen signos opuestos (una es positiva y la otra negativa), la velocidad de la partícula está disminuyendo.

Por tanto, es posible convertir entre desplazamiento, velocidad y aceleración utilizando el cálculo.

Derivación de las ecuaciones cinemáticas mediante el cálculo

Como hemos visto a lo largo del artículo, las ecuaciones cinemáticas pueden obtenerse mediante diferenciación o integración. La siguiente tabla resume la diferenciación o integración que da cada variable cinemática: desplazamiento, velocidad y aceleración.

Tabla 1. Diferenciación e integración de las ecuaciones cinemáticas.