- ¿Qué son las ecuaciones cinemáticas?
- Desplazamiento
- Velocidad
- Aceleración
¿Qué son las ecuaciones cinemáticas?
La cinemática es, a grandes rasgos, el estudio del movimiento. Las ecuaciones cinemáticas relacionan el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de un cuerpo mediante derivadas e integrales.
Ecuaciones cinemáticas de desplazamiento
El desplazamiento de una partícula muestra simplemente cuánto se ha movido un punto en el espacio respecto a un punto de origen fijo. Esta cantidad se denominará x y es un vector, en lugar de un escalar, ya que tiene en cuenta la dirección en la que se mueve la partícula, así como la magnitud (o tamaño) de ese cambio de posición.
Unnúmero escalar es un valor único que representa una magnitud o cantidad. Los números escalares se utilizan para describir cantidades que sólo tienen magnitud y ninguna dirección, como la temperatura, la longitud y el tiempo. Los números escalares suelen representarse con números reales, y pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse como cualquier otro número real.
Un vector es una representación matemática de una cantidad que tiene magnitud y dirección. Los vectores se utilizan para describir magnitudes físicas como la velocidad, la fuerza y el desplazamiento. Los vectores se representan mediante segmentos de recta dirigidos, y pueden sumarse, restarse y multiplicarse (multiplicación escalar) para producir nuevos vectores. La magnitud de un vector puede representarse por su longitud, y su dirección por su ángulo respecto a un eje de referencia.
Fig. 1. Representación de un vector. Observa que la línea que representa el vector (azul) tiene dirección.
Considerando que una partícula está en movimiento a lo largo de una recta,
Si x > 0, la partícula está a la derecha del origen.
Si x < 0, la partícula está a la izquierda del origen.
Cuando una partícula cambia de dirección durante su movimiento, se puede esbozar un diagrama de movimiento a lo largo de una recta numérica, para comprender el punto inicial, el punto de giro (s) y el punto final de la partícula en el espacio.
La diferencia entre desplazamiento y distancia es que la distancia es independiente de la dirección (es una cantidad escalar), mientras que el desplazamiento considera la posición de una partícula respecto al punto de origen del movimiento, por lo que también considera la dirección (es una cantidad vectorial).
Un objeto se desplaza con la función desplazamiento \(x = 10t^2 -7t+1\) metros, donde t > 0 segundos.
(a) ¿Cuál es el desplazamiento inicial del objeto?
(b) ¿Cuándo cambia de dirección el objeto?
(a) El desplazamiento inicial significa que el tiempo es 0. Por tanto, sustituimos t por 0 en la ecuación del desplazamiento.
\[x = 10(0)^2 -7(0)+1 = 1\]
El desplazamiento inicial es de 1 metro (a la derecha del origen).
(b) El objeto cambia de dirección cuando el valor de x alcanza su máximo, ya que cualquier otro punto posterior está más cerca del origen, lo que significa un cambio de dirección.
El desplazamiento máximo se alcanza en el vértice de la ecuación cuadrática.
El vértice se produce cuando \(t = \frac{-b}{2a}\), por lo que cuando \(t = \frac{7}{2(10)} = 0,35\)
Por tanto, el objeto cambia de dirección en t = 0,35 segundos.
Ecuaciones cinemáticas de velocidad
La velocidad describe la rapidez con que un punto se mueve en una dirección determinada. Dicho de otro modo,
Lavelocidad es cómo cambia el desplazamiento de la partícula con el tiempo o el índice de cambio del desplazamiento de la partícula.
Nos referiremos a la velocidad como v y \(v = \frac{dx}{dt}\), donde t es el tiempo y x es el desplazamiento alcanzado por la partícula en esa cantidad específica de tiempo. Esto significa que si tenemos una expresión para x en función de t, podemos tomar la derivada de esta expresión para hallar la velocidad.
La unidad de esta cantidad es desplazamiento/tiempo. Si el desplazamiento es en metros y el tiempo en segundos, la velocidad sería en metros por segundo, o m/s.
Considerando una partícula:
Si v > 0, la partícula se desplaza hacia la derecha.
Si v < 0, la partícula se desplaza hacia la izquierda.
Si v = 0, la partícula está inmóvil. Si en este punto se produce un cambio de signo de v, la partícula ha cambiado de dirección.
Si te hacen una pregunta en la que te piden un valor de rapidez, en lugar de velocidad, es importante que tengas en cuenta que la rapidez, a diferencia de la velocidad, no tiene en cuenta la dirección del movimiento. En otras palabras, la rapidez es el cambio de distancia en el tiempo y la velocidad es el cambio de desplazamiento en el tiempo.
Por ejemplo, si estuvieras caminando por las paredes de una habitación cuadrada con un perímetro de 12 m en 36 s, y acabaras de nuevo en el punto en el que empezaste, la distancia total recorrida sería de 12 m, pero el desplazamiento total sería de 0 m, ya que no hay ningún cambio entre las posiciones inicial y final. Por tanto, tu velocidad sería \(\frac {12}{36} = 0,333 \space m/s\) y tu velocidad sería \(\frac{0}{36} = 0 \space m/s\).
El desplazamiento en metros de un coche que se mueve entre dos puntos A y B viene dado por \(x = 40t^2 - 15\). Encuentra una expresión para la velocidad del coche en un momento dado.
Sabemos que \(v = \frac {dx}{dt}\), así que podemos diferenciar la expresión anterior con respecto a t para hallar v. Esto da: \(v = 80t\)
Así pues, para pasar del desplazamiento a la velocidad tenemos que diferenciar, pero ¿cómo pasamos de la velocidad al desplazamiento? Recordarás que la integración es el proceso inverso a la diferenciación, así que tendremos que integrar nuestra expresión de la velocidad con respecto al tiempo para hallar el desplazamiento.
\[x = \int v\space dt\]
Un corredor de maratón se mueve con una velocidad constante de 6 m/s. ¿Cuál es el desplazamiento del corredor en función de t?
Sea x el desplazamiento del corredor.
Como \(x = \int v\space dt\), tendremos que integrar la expresión dada en términos de t para hallar x. Por tanto, \(x = 6t + c\) donde c es la constante de integración.
A veces, es necesario hallar la constante de integración c. En este caso, la pregunta deberá proporcionar un valor para el desplazamiento en un momento determinado. Este valor suele ser el desplazamiento inicial cuando t = 0. A continuación, este valor puede sustituirse en la ecuación para resolver la incógnita c, la constante de integración.
Ecuaciones cinemáticas de aceleración
La aceleración describe cuánto más rápida o más lenta se vuelve una partícula con el tiempo. En otras palabras, la aceleración es el cambio de la velocidad de una partícula con el tiempo, o el índice de cambio de esta velocidad. La aceleración se indicará con la letra a.
\[a = \frac {dv}{dt}\]
Pero ya sabemos que \(v = \frac {dx}{dt}\), por lo que podemos poner una expresión para a en términos de x: \(a = \frac {d^2v}{dt^2}\). Esto significa que, para hallar la aceleración, tendremos que diferenciar dos veces el desplazamiento con respecto a t.
Las unidades para esta cantidad, si el desplazamiento es en metros y el tiempo en segundos, es metros por segundo cuadrado o m/s².
El desplazamiento en el tiempo t de un pájaro viene dado por \(x = 3t^2 + 12t+-5\) m. ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración del pájaro?
Sabemos que \(v = \frac {dx}{dt}\) por lo que \(v = 6t + 12 \space m/s\). Ahora podemos hallar la aceleración hallando la derivada de esta expresión. Por tanto \(a = 6 \space m/s^2\).
Como antes, podemos hallar la velocidad de una partícula integrando su aceleración respecto al tiempo,
\[v = \int a \space dt\]
Para hallar x, tendremos que integrar a dos veces con respecto a t. Esto puede representarse con una integral doble.
\[x = \iint a \space dt \space dt\]
La aceleración de una partícula viene dada por \(a = 2t\). Halla la velocidad y el desplazamiento de esta partícula en función de t.
Para la velocidad, tendremos que integrar esta expresión una vez y para el desplazamiento, dos veces.
\(v = \int 2t \space dt = t^2 + c\)
\(x = \int t^2 + c \space dt = \frac {t^3}{3} + ct +d \), donde c y d son constantes.
Para determinar si la velocidad de una partícula aumenta o disminuye, hay que tener en cuenta los signos tanto de la velocidad como de la aceleración.
Si la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo (ambas positivas o ambas negativas), la velocidad de la partícula está aumentando.
Si la velocidad y la aceleración tienen signos opuestos (una es positiva y la otra negativa), la velocidad de la partícula está disminuyendo.
Por tanto, es posible convertir entre desplazamiento, velocidad y aceleración utilizando el cálculo.
Derivación de las ecuaciones cinemáticas mediante el cálculo
Como hemos visto a lo largo del artículo, las ecuaciones cinemáticas pueden obtenerse mediante diferenciación o integración. La siguiente tabla resume la diferenciación o integración que da cada variable cinemática: desplazamiento, velocidad y aceleración.
| Variable cinemática | Derivada cinemática | Integración cinemática |
| Desplazamiento | --- | \[x = \int v\space dt\]\[x = \iint a \space dt \space dt\] |
| Velocidad | \[v = \frac {dx}{dt}\] | \[v = \int a \space dt\] |
| Aceleración | \[a = \frac {dv}{dt}\]\[a = \frac {d^2v}{dt^2}\] | --- |
Tabla 1. Diferenciación e integración de las ecuaciones cinemáticas.
Cálculo Cinemático - Puntos clave
- El desplazamiento de una partícula es su posición respecto a un punto de origen. Se denota como x, y es una cantidad vectorial, lo que indica que la dirección es significativa.
- La velocidad de una partícula es la tasa de variación de su desplazamiento con respecto al tiempo. Se denota como v y puede obtenerse diferenciando x con respecto al tiempo t. v puede integrarse para calcular el desplazamiento x.
- La aceleración de una partícula es la tasa de cambio de su velocidad con respecto al tiempo. Se denota como a y puede obtenerse diferenciando x con respecto al tiempo t dos veces, o diferenciando v con respecto al tiempo t una vez. Del mismo modo, a puede integrarse una o dos veces para calcular la velocidad v, y el desplazamiento t, respectivamente.
- La velocidad de una partícula es la magnitud de su velocidad y es una cantidad escalar. Se calcula tomando el módulo de la velocidad o la derivada de la distancia (en lugar del desplazamiento para la velocidad).
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