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Principio de conservación de la energía mecánica
Entendamos primero qué es la energía mecánica.
La energía mecánica es la suma de la energía cinética y potencial de un sistema que puede utilizarse para realizar un trabajo útil.
La energía existe en muchas formas; sin embargo, toda energía puede clasificarse como energía cinética o potencial. La conservación de la energía mecánica se basa en el principio de la ley de conservación de la energía. Según la ley de conservación de la energía, la energía no puede crearse ni destruirse; sólo puede convertirse de una forma a otra.
Veamos un ejemplo para hallar la energía mecánica de un sistema.
El piloto de un avión dispara un proyectil que pesa \(0,1\, \mathrm{kg}\) con una velocidad de \(300\, \mathrm{m\, s^{-2}\). Calcula la energía mecánica del proyectil cuando se encuentra a una altura de \(700 \mathrm{m}) sobre el suelo.
Solución:
Por el enunciado del problema sabes \(m=0,1\, \mathrm{kg}); \(v=300\, \mathrm{m\,s^{-1}}); \(h=700\, \mathrm{m}}); y \(g=9,8\, \mathrm{m\,s^{-2}}).
Quieres calcular la energía mecánica, que es la suma de las energías cinética y potencial. Así que
\[\begin{align} \Energía mecánica} &= \frac{1}{2}mv^2 + mgh \frac{1}{2}(0,1,\mathrm{kg} )(300 \, \mathrm{m\,s^{-1}} )^2+(0,1,\mathrm{m\,s^{-1}}).1\,\mathrm{kg} )(9,8\, \mathrm{m\,s^{-2}})(700\, \mathrm{m} )\ &=4500\, \mathrm{J} +686\, \mathrm{J} \\ &=5186, \mathrm{J}. \fin \]
Ley de conservación de la energía mecánica
Volvamos al ejemplo del principio, en el que has dejado caer la pelota desde la terraza de tu edificio.
Antes de dejarla caer, la pelota no está en movimiento. Por tanto, la energía cinética de la pelota es cero. Sólo tiene la energía potencial gravitatoria debida a la altura.
Cuando dejas caer la pelota, empieza a moverse hacia abajo y adquiere velocidad. Ahora bien, como la pelota tiene velocidad, también tiene energía cinética.
A medida que la pelota se acerca cada vez más al suelo, su altura desde el nivel del suelo disminuye, y lo mismo ocurre con su energía potencial. La velocidad de la pelota sigue aumentando a medida que desciende, y también lo hace su energía cinética.
Cuando finalmente la pelota toca el suelo, sólo tiene energía cinética, y su energía potencial pasa a ser cero.
¿Qué observas en este caso? Puedes ver que la energía potencial se convierte en energía cinética. Desde esta perspectiva, definamos la ley de conservación de la energía mecánica.
En un sistema aislado y sin rozamiento, la energía mecánica total siempre se conserva. Si la energía desaparece en una forma, reaparece en otra forma en una cantidad equivalente.
Observa que en nuestro ejemplo de la bola que cae, has despreciado la resistencia del aire al movimiento de la bola bajo la fuerza gravitatoria. Si se tiene en cuenta la fuerza de rozamiento, parte de la energía mecánica se convierte en energía térmica.
Fórmula de conservación de la energía mecánica
A estas alturas, ya sabes que la energía total del sistema se conserva y es constante, digamos, \(C\). Sean \(\text{KE}_texto{inicial}\) y \(\text{PE}_texto{inicial}\) la energía cinética y potencial iniciales del sistema, y \(\text{KE}_texto{final}\) y \(\text{PE}_texto{final}\) la energía cinética y potencial finales del sistema. Según la ley de conservación de la energía mecánica
\[\text{KE}_\text{initial} + \text{PE}_texto{inicial} = \text{KE}_texto{final} + \text{PE}_texto{final} = C.\}
Comprenderás cómo la energía total en cualquier punto es constante en la siguiente sección de este artículo.
Ecuación de conservación de la energía mecánica
Veamos por qué la bola que cae desde la terraza tiene energía constante en cada punto de su movimiento. Considera una bola que cae libremente por gravedad, como se muestra en la siguiente figura.
Fig. 1 - Bola que cae libremente por gravedad
Considera que la bola de masa \(m\) se deja caer desde el punto \(A\) a una altura \(h\) sobre el suelo. Veamos la energía total de la bola en tres casos diferentes.
Caso 1:
En el punto \(A\), la energía potencial de la bola es
\[\text{PE}_\text{A}=mgh,\]
y la energía cinética de la bola es
\[\text{KE}_\text{A}=0.\]
Por tanto, la energía total de la bola en el punto \(A\) viene dada por
\[\a]=mgh+0\a&=0.\final{align} \]
Caso 2:
A medida que la bola cae, su energía potencial disminuye, pero su energía cinética aumenta. Sea \(v\) la velocidad de la bola en el punto \(B\) a una distancia \(x\) del punto \(A\).
En el punto \(B\), la energía potencial de la bola es
\[\text{PE}_\text{B}=mg(h-x),\]
y la energía cinética de la bola es
\[\text{KE}_\text{B}=\frac{1}{2}mv^2.\]
Por tanto, la energía total de la bola en el punto \(B\) viene dada por
=mg(h-x)+\frac{1}{2}mv^2 \fgh-mgx+\frac{1}{2}m(2gx) \frac{1}{2}=mgh.\final{align} \]
Observa que cuando la bola está en movimiento desde el punto \(A\) al punto \(B\), su velocidad inicial \(u=0\, \mathrm{m\,s^{-1}}) y el desplazamiento \(s=x\). Sustituyéndolo en una de las ecuaciones del movimiento, \(v^2+u^2=2gs\), se obtiene \(v^2=2gx\).
Caso 3:
Cuando la pelota cae al suelo en el punto \(C\), \(h=0\). Sea \(v\) la velocidad de la bola cuando llega al suelo. Entonces la energía potencial de la bola es
\[\text{PE}_\text{C}=0,\]
y la energía cinética de la pelota es
\[\text{KE}_\text{C}=\frac{1}{2}mv^2.\]
Por tanto, la energía total de la bola en el punto \(C\) viene dada por
=0+frac{1}{2}mv^2 &=frac{1}{2}m(2gh)\}&=mgh.\end{align} \]
Observa que cuando la bola está en movimiento desde el punto \(A\) hasta el punto \(C\), su velocidad inicial \(u=0\, \mathrm{m\,s^{-1}}) y el desplazamiento \(s=h\), que es la altura del edificio. Sustituyéndolo en una de las ecuaciones del movimiento, \(v^2+u^2=2gs\), obtienes \(v^2=2gh\).
En los tres casos, puedes ver que la energía total de la bola permanece constante (es decir, siempre es \(mgh\) en este caso).
Ejemplos de conservación de la energía mecánica
Veamos un ejemplo basado en la conservación de la energía mecánica para un cuerpo que cae libremente.
Un cuerpo de masa \(2\, \mathrm{kg}) que cae libremente por gravedad tarda \(6\, \mathrm{s}) en llegar al suelo. Calcula las energías cinética y potencial del cuerpo cuando éste haya recorrido \(3\, \mathrm{s}\).
Solución:
Deja caer el cuerpo desde una altura \(h\) sobre el suelo. La velocidad inicial es \(u=0 \, \mathrm{m\,s^{-1}}), y la aceleración proporcionada por la gravedad es \(a=g=9,8\, \mathrm{m\,s^{-2}}). Utilizando la ecuación del movimiento
\[s=ut+frac{1}{2}at^2 ,\\]
donde \(s\) es el desplazamiento, se obtiene
\h&=(0, \mathrm{m\,s^{-1}})(6, \mathrm{s})+\frac{1}{2}(9,8, \mathrm{m\,s^{-2}})(6, \mathrm{s})^2 &=176,4, \mathrm{m}.\final]].
Por la conservación de la energía mecánica, sabes que la energía total del cuerpo es igual a la energía potencial a la altura \(176,4 \, \mathrm{m}) (porque inicialmente, la energía cinética será cero). Es decir
\[\begin{align} \text{Energía total}&=mgh\\&=(2, \mathrm{kg})(9,8, \mathrm{m},s^{-2}})(176,4, \mathrm{m})\&=3457,44, \mathrm{J}. \end{align}\]
Sea \(v\) la velocidad del cuerpo cuando cae durante \(t=3\, \mathrm{s}). Utilizando la ecuación del movimiento, se obtiene
\v&=u+at &=0\, \mathrm{m\,s^{-1}}+(9,8, \mathrm{m\,s^{-2}})(3, \mathrm{s}) &=29,4, \mathrm{m\,s^{-1}}.
La energía cinética del cuerpo es \[\begin {align}\text{KE}&={frac{1}{2}mv^2\&={frac{1}{2}(2\, \mathrm{kg})(29,4, \mathrm{m\,s^{-1})^2\ &=864,36, \mathrm{J}.\end{align}].
Así pues, la energía potencial del cuerpo viene dada por \[\begin{align} \energía total} - energía potencial &=3457,44, -mathrm{J} -864,36, -mathrm{J}. -864,36, \mathrm{J} \\&=2593.08\,\mathrm{J}.\end{align}\]
Consideremos ahora una situación muy interesante, cuando el cuerpo se desliza por un plano inclinado.
Una pelota de baloncesto de masa \(0,2, \mathrm{kg}) rueda por un plano liso inclinado un ángulo \(30^\c\) con la horizontal. La pelota de baloncesto parte del reposo en el punto \(B\), y llega al punto \(A\) con una velocidad \(2\, \mathrm{m\,s^{-1}}). Halla la distancia de \(A\) a \(B\).
Solución:
Fig. 2 - Baloncesto rodando por una superficie inclinada
Cuando la pelota de baloncesto ruede hacia abajo desde \(B\) hasta \(A\), se producirá una disminución de la energía potencial y un aumento de la energía cinética.
La disminución de la energía potencial viene dada por
\[\begin{align}\text{Disminución de la PE}&=mgh\\\ &=mgx_m\sin30^\circ \\& =(0,2\, \mathrm{kg})(9,8\, \mathrm{m\,s^{-2})(x_m\sin30^\circ)\\&=0,98x_m\, \mathrm{J}.\end{align}\]
De la figura 2 se deduce que la distancia de \(A\) a \(B\) es \(x_m\) y la distancia vertical recorrida por la pelota de baloncesto es \(x_m\sin30^\circ \). Así que puedes sustituir \(h=x_m\sin30^\circ\).
El aumento de la energía cinética viene dado por \[\begin{align}\text{Aumento de la KE}&=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mu^2\ &=\frac{1}{2}(0.2(0,2,\mathrm{kg})(2,\mathrm{m},s^{-1})^2-\frac{1}{2}(0,2,\mathrm{kg})(0)^2&& =0,4,\mathrm{J}.\final{align}]
Aplicando la ley de conservación de la energía mecánica, puedes decir que la disminución de la energía potencial es igual a un aumento de la energía cinética. Es decir, \[\begin{align}\text{Disminución de PE}&=\text{Aumento de KE} \\0,98x_m &=0,4\ x_m&=aprox 0,4\, \mathrm{m}end{align} \]
La distancia de \(A\) a \(B\) es aproximadamente \(0,4\,\mathrm{m}).
Conservación de la energía mecánica - Puntos clave
- La energía mecánica es la suma de la energía cinética y potencial de un sistema que puede utilizarse para realizar un trabajo útil.
- Según la ley de conservación de la energía, en un sistema aislado y sin fricción, la energía mecánica total siempre se conserva. Si la energía desaparece en una forma, reaparece en otra forma en una cantidad equivalente.
- Puedes utilizar \[\text{KE}_\text{inicial} + \text{PE}_texto{inicial} = \text{KE}_texto{final} + \text{PE}_\text{final} = C\] fórmula para hallar la conservación de la energía mecánica.
- La energía mecánica total permanece constante en cada punto de un objeto en movimiento.
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