Definición de elasticidad
La elasticidad es una propiedad física especial que puede encontrarse por todas partes. Las cintas elásticas son elásticas (obviamente), los muelles son elásticos, la varilla de un arco es elástica, la varilla de un palo de golf... y la lista continúa. Pero ¿qué es exactamente lo que todas estas cosas tienen en común, qué es la elasticidad?
Laelasticidad es la capacidad de un objeto para resistir las fuerzas de deformación y volver a su forma original.
Tomemos el ejemplo de una regla de plástico; de hecho, si tienes una delante, ¡aún mejor! Es fácil doblar la regla un poco, pero cuanto más la doblas, más difícil resulta doblarla más. Ésta es la resistencia de la regla a la deformación. Ahora bien, si sueltas la regla, vuelve a su forma original.
Pensemos ahora en una galleta de tu armario. Ofrece una pequeña resistencia a la deformación, pero luego se parte en dos: no recupera su forma original y no es muy elástica.
Bastante sencillo, ¿verdad? Prueba a hacerlo con otros objetos que encuentres por casa (con cuidado de no romper nada) para ver cuáles tienen propiedades elásticas y cuáles no.
Esperamos que ahora tengas una buena idea de lo que es la elasticidad, pero ¿cómo se relaciona exactamente con la energía potencial?
Energía potencial elástica y trabajo realizado sobre cuerdas y muelles elásticos
Consideremos una cinta elástica, que es un tipo de cuerda elástica. Una vez más, si tienes una delante, ¡aún mejor! Si coges una cuerda elástica, la estiras suavemente y la sueltas, ¿qué ocurre? Pues, por supuesto, que vuelve a sonar. Todo el mundo ha visto esto cuando jugaba con gomas elásticas de niño (o de adulto). La banda elástica se movía al soltarla, de hecho, se movía bastante rápido, así que ¿de dónde procedía la energía cinética?
Cuando levantas una roca del suelo, le aplicas una fuerza para elevarla y gana energía potencial gravitatoria. Lo mismo ocurre con los objetos elásticos. Cuando los estiras, les estás aplicando una fuerza, y al estirarse almacenan energía potencial elástica. Cuando se suelta el objeto elástico, la energía potencial elástica se convierte en energía cinética, lo que da lugar al movimiento.
Para más información, consulta el artículo Energía cinética y potencial.
Recuerda que cuando sobre un objeto actúa una fuerza, \(F\), a lo largo de una distancia, \(d\), se realiza trabajo, \(W\), sobre dicho objeto. El trabajo no es más que un nombre especial para la energía que se transfiere a un objeto mediante la aplicación de una fuerza.
Encontrarás más detalles en Trabajo realizado por una fuerza.
Así pues, la transferencia de energía cuando estiras y sueltas una banda elástica tiene este aspecto
\[\text{Tu energía}\xrightarrow{{text{Trabajo realizado}} \Energía potencial elástica \‰xarrow‰texto‰Suelta la banda‰ \text{Energía cinética}]
Has depositado un poco de tu propia energía en la banda elástica para que hiciera ping al soltarla. Muy guay, ¿verdad?
Quizá recuerdes que la ecuación del trabajo es
\[W = Fd,\]
donde \(W\) está en julios, \(F\) está en newtons, y \(d\) está en metros. La energía que obtiene la banda elástica depende de dos cosas: cuánto se estira (la distancia) y la cantidad total de fuerza que se le aplica.
Una cosa importante que hay que recordar sobre los objetos elásticos es que cuanta más energía potencial elástica ganan, más quieren volver a su posición original. Puedes sentirlo en la banda elástica, cuanto más se estira, más difícil resulta estirarla aún más. Lo mismo ocurre con los muelles. ¿A qué se debe esto? Bueno, todo tiene que ver con una fuerza especial llamada tensión.
Tensión en cuerdas elásticas y muelles
¿Qué es entonces la tensión ? No, no es sólo la sensación que tienes cuando mantienes una conversación muy incómoda. En realidad es una propiedad importante en física.
La tensión es la fuerza que se transmite a través de un objeto, como una cuerda o un cordel, y que actúa contra las fuerzas que tiran de él.
Considera una cuerda normal, no elástica. Cuando tiras de ella con las manos, se tensa, casi parece como si la cuerda tirara contra ti. Pues bien, eso es porque es así. La tercera ley de Newton nos dice que toda acción tiene una reacción igual y opuesta. La tensión es la reacción de la cuerda a tu intento de separarla, actúa contra ti, hacia el centro de la cuerda.
Fig. 1 - Tensión en una cuerda
Al final, si la tensión en la cuerda es lo suficientemente grande, la cuerda se romperá. Si alguna vez has tirado de una galleta de Navidad, habrás visto exactamente este concepto en acción.
Vale, ¿y cómo se relaciona todo esto con los objetos elásticos, como las cuerdas elásticas y los muelles? Pues bien, los objetos elásticos son especiales porque, a diferencia de la cuerda, una vez tensos, pueden separarse aún más. Cuanto más se separen (o a veces, en el caso de un muelle, cuanto más se comprima), mayor será la fuerza de tensión.
Por eso, en pocas palabras, cuanto más se estira un objeto elástico, más difícil resulta estirarlo aún más. Entonces, ¿qué ocurre realmente con las cuerdas elásticas y los muelles, en concreto? Veámoslo más de cerca.
Relación y diferencias entre cuerdas elásticas y muelles
Los conceptos tratados hasta ahora sobre la elasticidad pueden aplicarse tanto a las cuerdas elásticas como a los muelles, pero hay diferencias entre ambos que es importante tener en cuenta al abordar los problemas.
Cuerdas elásticas
Una cuerda elástica es realmente lo que parece. Al igual que una cuerda normal, una cuerda elástica está totalmente flácida hasta que se tensa, pero a diferencia de una cuerda normal, una cuerda elástica puede volver a su forma original después de distorsionarse y puede almacenar energía potencial elástica.
Una cuerda elástica es esencialmente un muelle elástico en bucle. Lo importante es recordar que una cuerda elástica sólo puede almacenar energía elástica si se estira, no si se comprime.
Te preguntarás entonces qué tipo de objeto puede almacenar energía potencial elástica al comprimirse. Pues bien, estás a punto de descubrirlo.
Muelles
Los muelles, al igual que las cuerdas elásticas, son objetos capaces de almacenar energía potencial elástica; sin embargo, difieren en cómo se almacena esa energía. Los muelles suelen ser bobinas helicoidales de metal, y pueden construirse de modo que almacenen energía potencial elástica cuando se estiran (muelles de tracción) o cuando se comprimen (muelles de compresión).
Los muelles de compresión, como puedes imaginar, se utilizan generalmente para mantener objetos separados, y los muelles de tracción para mantener objetos juntos. Las fuerzas en los muelles pueden ser un poco complejas de considerar, pero lo importante es que, al igual que ocurre con una cuerda elástica, la fuerza axial (a lo largo del eje central) que ejerce el muelle actúa para devolverlo a su forma original. Es lo que se denomina fuerza restauradora.
Fig 2. - Fuerzas en muelles de tracción y compresión
Y lo que es mejor, existe una ingeniosa relación llamada Ley de Hooke que se puede utilizar para averiguar cuál será esta fuerza:
\[F = -kx,\]
donde \(F\) es la fuerza restauradora total ejercida por el muelle en newtons, \(k\) es la constante elástica del muelle en newtons-por-metro, y \(x\) es el desplazamiento del muelle desde su forma original en metros.
La constante elástica de un muelle puede considerarse básicamente como una medida de la rigidez de ese muelle en particular, es decir, su resistencia a la deformación. Este concepto de rigidez de un muelle también puede aplicarse a problemas con cuerdas elásticas.
La Ley de Hooke es una relación superútil. Por suerte, tenemos una explicación entera dedicada a ella, ¡así que echa un vistazo si te interesa saber más!
Cuerdas elásticas y muelles verticales
Ahora que ya hemos tratado los conceptos básicos de las cuerdas elásticas y los muelles, veamos una situación un poco más concreta.
Estamos en el siglo XVIII y quieres pesar algo. Echas un vistazo a las opciones disponibles para los dispositivos de pesaje y piensas, hmmm, puedo hacerlo mejor. ¿Cómo podrías poner en práctica tus conocimientos sobre muelles?
Pues bien, Richard Salter pensó ¿por qué no colgar cosas del muelle? Colgó cosas de un muelle de tracción y, como era de esperar, las cosas más pesadas se hundieron más que las más ligeras. Se trata de una extensión natural de la Ley de Hooke: el peso del objeto actúa hacia abajo y no cambia, y la tensión del muelle actúa hacia arriba y aumenta cuanto más se hunde el objeto. Una vez que la fuerza de tensión del muelle llega a ser igual al peso del objeto, el sistema está en equilibrio y el objeto y el muelle quedan inmóviles.
Todo lo que tenía que hacer era medir cuánto se deformaba el muelle, y listo, ya podía calcular la masa del objeto. Veamos un ejemplo para ver cómo lo hizo.
Se cuelga un objeto de una balanza de resorte con una constante de resorte de \(80\, \text{N},\text{m}^{-1}\). El muelle se deforma \(6,\text{cm}). ¿Cuál es la masa del objeto, suponiendo que la masa del muelle es despreciable?
Solución:
Primero, considera la Ley de Hooke, y sustituye los valores conocidos para hallar la fuerza del muelle en equilibrio. Recuerda que el desplazamiento debe expresarse en metros, no en centímetros. A continuación, la sustitución en la ecuación te da
\F &= -kx F &= -kx &= -80(-0,06) &= 4,8 \text{N}. \end{align}\]
El desplazamiento del muelle es negativo, ya que es hacia abajo.
Como la fuerza del muelle es \(4,8,\text{N}) cuando el muelle y el objeto están en equilibrio, el peso del objeto debe ser de igual magnitud (y sentido contrario), o en términos de las variables
\[W = -4,8 \, \text{N}.\]
Ahora, suponiendo que la medición se haya realizado cerca de la superficie de la Tierra, la aceleración debida a la gravedad será \(-9,81 \, \text{m},\text{s}^{-2}\), por lo que la masa puede calcularse mediante la segunda ley de Newton:
\F &= ma F &= ma \\\ W &= mg \ -4,8 &= m (-9,81), \end{align} \]
lo que te da
\[m = 0,49 \, \text{kg} ,\]
donde la respuesta se ha redondeado a dos decimales.
Así es como puedes considerar las cuerdas elásticas y los muelles en vertical; teniendo en cuenta los efectos de la gravedad. Pero hay algo más. Este escenario sólo tiene en cuenta la posición del muelle en equilibrio, pero ¿cómo es el movimiento de un muelle elástico o de una cuerda cuando se acerca a ese punto? Bueno, en algunos casos, simplemente se estirará hasta alcanzar ese punto y se detendrá, pero en otros, rebotará arriba y abajo antes de estabilizarse. A esto lo llamamos oscilación. Veámoslo más de cerca.
Periodo de tiempo de las cuerdas elásticas y los muelles
Sin ponernos demasiado técnicos, un muelle o una cuerda elástica oscilará cuando la velocidad de su estiramiento (o compresión, en los muelles de compresión) sea demasiado grande. Esto se debe a que la fuerza creciente del muelle o cuerda es incapaz de frenar el estiramiento hasta detenerlo en el momento en que alcanza la posición de equilibrio. El muelle rebotará entonces hacia arriba y hacia abajo alrededor del punto de equilibrio hasta que finalmente se detenga allí.
Cuando se produce este fenómeno, el sistema de muelle y masa se denomina subamortiguado.
Una propiedad que puede ser importante encontrar en aplicaciones de ingeniería es el periodo de tiempo de oscilación de un sistema de muelles. Por suerte, existe una pequeña ecuación muy útil que se puede utilizar para encontrar precisamente eso:
\[T = 2\pi\sqrt{frac{m}{k},\}]
donde \(m\) es la masa en el extremo del muelle en kilogramos, \(k\) es la constante del muelle en newtons por metro, y \(T\) es el periodo de tiempo de la oscilación en segundos.
Tal vez de forma contraintuitiva, la gravedad no afecta al periodo de tiempo de la oscilación, sólo al lugar donde se encuentra la posición de equilibrio; esto se debe a que es una fuerza descendente constante, que no cambia con la posición del muelle.
Veamos un ejemplo para practicar un poco.
Una masa de \(5, \text{kg}) unida desde arriba a un muelle de tracción con constante de muelle \(40,\text{N},\text{m}^{-1}) se deja caer verticalmente hacia abajo. A continuación, oscila antes de alcanzar el equilibrio. ¿Cuál es el período de oscilación?
Solución:
Utiliza la fórmula del período de oscilación de un muelle:
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.\]
Sustituye los valores conocidos de \(m\) y \(k\) para hallar el periodo de tiempo, \(T\), lo que te da
\[\begin{align} T &= 2\pi \sqrt{frac{5} {40}} \\ &=2,22, \text{s} .\end{align}]
No es tan difícil, ¿verdad? Sigamos y veamos algunos ejemplos más para asegurarnos de que lo tienes todo.
Ejemplos de cuerdas elásticas y muelles
Empecemos con una pregunta sobre la Ley de Hooke.
Un coche está sujeto a un cable elástico, pegado a una pared. El propietario del coche quiere medir la fuerza horizontal máxima que el coche es capaz de generar, así que hace que tire contra el cable elástico, y mide su desplazamiento.
El cable elástico tiene una constante elástica de \(300, \text{N},\text{m}^{-1}\), y una longitud sin estirar de \(5,\text{m}\). El coche consigue alejarse \(16,\text{m}) de la pared. ¿Cuánta fuerza horizontal puede ejercer el coche?
Solución:
Este problema puede resolverse utilizando la Ley de Hooke, \(F = -kx\). El desplazamiento cuando el coche y el cable están en equilibrio, \(x\), del cable es la diferencia entre la distancia final del coche a la pared, y su longitud no estirada, por lo que
\[x = 16-5 = 11\, \text{m}.\}]
Ahora, utiliza la ley de Hooke para calcular la fuerza ejercida por el cable cuando el coche y el cable están en equilibrio:
\F &= -300(11) &= -3300\N, \text{N}. \end{align}]
La fuerza ejercida por el coche es igual y opuesta a la de la cuerda en equilibrio, por lo que el coche puede ejercer \(3300\, \text{N}\).
¿Sabías que el puenting también funciona según los principios de la elasticidad? Veamos otro ejemplo para comprobarlo.
Una persona de masa \(60\,\text{kg}\) atada a una cuerda elástica salta desde un acantilado. La cuerda tiene una constante elástica de \(50,\text{N},\text{m}^{-1}\), y una longitud sin estirar de \(15,\text{m}\).
Después de que la persona salte, oscila antes de alcanzar la posición de equilibrio. Durante la oscilación, la cuerda nunca se afloja. Supón que la masa de la cuerda es despreciable.
a) ¿Cuál fue el periodo de oscilación de la persona?
b) ¿Cuál era la longitud de la cuerda en el equilibrio?
Solución:
a) El período puede calcularse mediante la ecuación
\[\begin{align} T &= 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \\ &= 2 μpi μsqrt{{frac{60}{50}} \\ &= 6,28\,\text{s} .\end{align}\]
b) Utilizando la Ley de Hooke, \(F=-kx\), se puede hallar el desplazamiento de la cuerda desde su posición no estirada. La fuerza de la cuerda en la posición de equilibrio es igual y opuesta al peso de la persona, lo que te da
\[\begin{align} W &= mg \\\N &= 60(-9,81) \\N &=-588,6, \N F&= -W \\N &= 588,6 \fin].
La fuerza puede sustituirse en la fórmula de la Ley de Hooke junto con la constante del muelle para hallar \(x\):
\[\begin{align} 588,6 &= -50x \\ x &= -11,77\,\text{m} .\end{align}\]
La longitud de la cuerda en la posición de equilibrio es la suma de la magnitud de este desplazamiento y la longitud no estirada de la cuerda:
\[\begin{align} L &= 15 + 11,77 &= 26,77\,\text{m}. \end{align}\]
Ahí lo tienes, ¡una pequeña introducción a las cuerdas elásticas y los muelles! Si quieres profundizar en los detalles de la elasticidad y la ley de Hooke, ¿por qué no echas un vistazo a nuestras otras explicaciones?
Cuerdas elásticas y muelles - Puntos clave
- Tanto los muelles como las cuerdas elásticas son objetos elásticos.
- La elasticidad es la capacidad de un objeto para resistir fuerzas deformadoras y volver a su forma original.
- La Ley de Hooke establece que la fuerza ejercida por una cuerda elástica o un muelle es proporcional a su deformación: \(F = -kx.\)
- La posición de reposo de un objeto colgado de una cuerda o muelle elástico depende del peso del objeto y de la rigidez de la cuerda o muelle.
- El periodo de oscilación de una cuerda elástica o muelle unido a una masa puede hallarse con la siguiente fórmula: \[T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}. \]
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