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s = Desplazamiento - el desplazamiento total del cuerpo desde el inicio de la medida en un momento dado.
u = Velocidad inicial - la velocidad del cuerpo al comienzo de la medición.
v = Velocidad final - la velocidad del cuerpo al final de la medición.
a = Aceleración - la aceleración constante del objeto a lo largo de la medición.
t = Tiempo empleado - el tiempo transcurrido desde el inicio hasta el final de la medición.
Las cinco ecuaciones de aceleración constante
Hay cinco ecuaciones de aceleración constante diferentes que se utilizan para conectar y resolver las variables anteriores. Conviene aprenderse de memoria estas ecuaciones.
\(v = u + at\)
\(s = \frac{1}{2} (u + v) t\)
\(s = ut + \frac{1}{2}at^2\)
\(s = vt - \frac{1}{2}at^2\)
\(v^2 = u^2 + 2 as\)
Observa que cada ecuación tiene cuatro de las cinco variables SUVAT. Dadas tres variables cualesquiera, sería posible resolver para cualquiera de las otras dos variables.
¿Cuándo puedes utilizar las ecuaciones SUVAT? Las ecuaciones SUVAT se aplican para un cuerpo que se mueve en línea recta con aceleración constante.
Obtención de las ecuaciones de aceleración constante
Veamos cómo se obtienen estas ecuaciones.
Ecuación 1: Por definición, la aceleración es el cambio de velocidad por unidad de tiempo. El siguiente diagrama demuestra el concepto.
Un cuerpo con velocidad inicial u acelera con una aceleración constante hasta alcanzar una velocidad final v al cabo de un tiempo t.
Expresemos la definición matemáticamente.
\[Aceleración = \frac {cambio \espacio en \espacio velocidad} {cambio \espacio en \espacio tiempo} \a = \frac {(v - u)}{t}]
Reordenando la ecuación anterior, obtenemos la primera ecuación :
\[v = u + at\]
Ecuación 2: Recuerda que se trata de una aceleración constante. Así que la velocidad media a lo largo de la duración del movimiento es \(\frac {u+v}{2}\). Multiplicando la velocidad media por el tiempo se obtiene el desplazamiento. Por tanto
\(s = \frac{u + v}{2} \cdot t\)
Esto nos da la segunda ecuación
\(s = \frac{1}{2} (u + v) t\)
Ecuación 3: Para obtener la tercera ecuación, sustituye directamente el valor de v de la primera ecuación en la segunda ecuación.
\(s = \frac{1}{2} (u + v) t \rightarrow s = \frac{1}{2} (u + u + at) t\)
Esto nos da la tercera ecuación
\(s = ut + \frac{1}{2}at^2\)
Ecuación 4: Para obtener la cuarta ecuación, reordena primero la primera ecuación y exprésala en términos de u.
\(u = v - at\)
Sustituye este valor de u en la tercera ecuación,
\(s = ut + \frac{1}{2} at^2 \rightarrow s = (v - at) t + \frac{1}{2}at^2\)
Esto nos da la cuarta ecuación
\(s = vt - \frac{1}{2}at^2\)
Ecuación 5: Para obtener la quinta ecuación, reordena primero la primera ecuación y exprésala en términos de t.
\(t = \frac{v - u}{a})
Sustituye este valor de t en la segunda ecuación,
\(s = \frac{1}{2} (u + v) t \rightarrow s = \frac{(u + v) \cdot (v - u)}{2a} \rightarrow 2as = (v + u) (v - u) \rightarrow 2as = v^2 - u^2\)
Esto nos da la quinta ecuación,
\(v^2 = u^2 + 2as\)
Resolver problemas utilizando ecuaciones de aceleración constante
Veamos algunos ejemplos de problemas que pueden resolverse utilizando las ecuaciones de aceleración constante.
Un coche con una velocidad inicial de 8 m/s acelera a razón de 2 m/s². ¿Cuánto tardará en alcanzar una velocidad de 20 m/s?
Solución 1
Aquí, v = 20 m/s, u = 8 m/s, a = 2 m/s².
\[v = u + at \rightarrow t = \frac{v - u}{a} \rightarrow t = \frac{20 - 8}{2} = 6 s\].
Un coche con una velocidad inicial de 8 m/s acelera a razón de 2 m/s². ¿Cuánto tardará en recorrer una distancia de 200 m?
Solución 2
Aquí, s = 200 m, u = 8 m/s, a = 2 m/s².
\(s = ut + \frac{1}{2}at^2 \rightarrow 65 = 8t + \frac{1}{2} 2t^2 \rightarrow t^2 + 8t - 65 = 0 \rightarrow t = 5\\)
Nota: La ecuación cuadrática obtenida da dos valores, 5 y -13. El tiempo no puede ser negativo, así que tomamos el valor positivo como respuesta.
Un corredor de maratón decide acelerar durante los últimos 200 metros de una carrera. Acelera a una velocidad de 0,07 m/s², cruzando finalmente la línea de meta a una velocidad de 8 m/s. ¿A qué velocidad corría antes de decidir acelerar?
Solución 3
Aquí, s = 200 m, v = 8 m/s, a = 0,07 m/s².
\(v^2 = u^2 + 2 as \rightarrow u^2 = v^2 - 2as = 8 \cdot 8 - 2 \cdot 0,07 \cdot 200 \rightarrow u^2 = 36 \rightarrow u = 6 m/s\)
Un ciclista circula por una carretera recta. Acelera a un ritmo constante desde una velocidad de 4 m/s hasta una velocidad de 7,5 m/s² en 40 segundos. Halla
a) la distancia que recorre en esos 40 segundos. b) su aceleración en esos 40 segundos.
Solución 4
a) \(s = \frac{1}{2} (u + v) t \rightarrow s = \frac{1}{2} (4 + 7,5) \cdot 40 = 230 m\)
b) \(v = u + at \rightarrow 7,5 = 4 + 40a \rightarrow a = \frac{7,5 - 4}{40} = 0,0875 m/s^2\)
Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 39,2 m/s. ¿Cuánto tardará la pelota en alcanzar su altura máxima suponiendo que g = 9,8 m/s²?
Solución 5
En este caso, la aceleración de la pelota es de -9,8 m/s², ya que es la fuerza de la gravedad la que la frena.
\(v = u + at \rightarrow 0 = 39,2 - 9,8t \rightarrow t = 4 s\)
Ecuaciones de aceleración constante - Puntos clave
Las ecuaciones de aceleración constante se utilizan para conectar cinco variables distintas: s = desplazamiento, u = velocidad inicial, v = velocidad final, a = aceleración, t = tiempo transcurrido.
Las ecuaciones de aceleración constante son aplicables a un cuerpo que se mueve en línea recta con aceleración constante.
Las ecuaciones de aceleración constante pueden derivarse partiendo de la definición básica de que la aceleración es el cambio de velocidad por unidad de tiempo.
Cada ecuación de aceleración constante contiene cuatro de las cinco variables SUVAT. Dada cualquiera de las tres variables de una ecuación, debería ser posible resolver la cuarta variable como incógnita.
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