El movimiento de un proyectil tiene lugar cuando un objeto se mueve en el aire y está bajo la influencia de la gravedad.
Este movimiento es siempre curvo: sigue una trayectoria parabólica. Además, los objetos que realizan un movimiento de proyectil son atraídos por la fuerza gravitatoria y, por tanto, deben chocar contra el suelo.
Ejemplos de proyectiles
Son ejemplos reales de movimientos de proyectiles:
El movimiento de una bala disparada por un arma.
El movimiento de las balas de cañón.
El lanzamiento de una jabalina.
El lanzamiento de una piedra.
Saltar a una piscina.
Tipos de movimiento de los proyectiles
Hay dos tipos de movimiento del proyectil: proyectiles disparados horizontalmente y proyectiles disparados no horizontalmente.
Proyectiles disparados horizontalmente
Tiene lugar cuando se lanza un objeto en dirección horizontal desde una altura sobre el suelo. Desde esta elevación, el objeto sigue una trayectoria curva antes de chocar contra el suelo. Un ejemplo de proyectil lanzado horizontalmente es una bala disparada desde un arma en dirección horizontal.
Proyectiles no disparados horizontalmente
Esto ocurre cuando se lanza un objeto desde el suelo o desde una altura sobre el suelo hacia arriba, dando lugar a un movimiento parabólico completo. Un ejemplo de proyectil no disparado horizontalmente es un cohete proyectado verticalmente desde el suelo.
Componentes de un proyectil
El movimiento de un proyectil se comprende mejor si se divide en dos componentes: horizontal y vertical.
Si se lanza una bola B desde el suelo a un punto G, la posición de la bola a lo largo de la trayectoria curva antes de que golpee el suelo puede darse como las coordenadas (x, y).
Recuerda que la bola se mueve con velocidad v, y con un ángulo θ respecto a la horizontal. Para hallar la componente horizontal de la velocidad x y la componente vertical y, aplicamos el teorema de Pitágoras. Entonces
\[v_x = v \cdot \cos \theta\]
La ecuación \(v_x = v \cdot \cos \theta\) se considera la componente horizontal de la velocidad en el movimiento del proyectil, mientras que la ecuación \(v_y = v \cdot \sin \theta\) es la componente vertical de la velocidad.
Para seguir determinando la componente horizontal del movimiento, aplicamos las ecuaciones SUVAT.
Recuerda:
\[S = ut +\frac{1}{2} at^2\]
Observa que para el movimiento horizontal no hay aceleración, por lo que a = 0.
Por tanto, la componente horizontal del movimiento de un proyectil es:
\[x = u \cos \theta \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot t^2\]
Recuerda que la velocidad u se sustituye por la componente horizontal de la velocidad del objeto.
Así pues \(x = ut \cdot \cos \theta\) es la ecuación de la componente horizontal del movimiento de un proyectil.
Sin embargo, para determinar la componente vertical, debes tener en cuenta que el objeto se mueve inicialmente hacia arriba. Esto significa que su aceleración es en sentido contrario a la gravedad, por lo que
\[a = - g = -9,8 \frac{m}{s^2}\]
Además, ten en cuenta que el valor de u en este caso es la componente vertical de la velocidad del objeto. Por tanto, la componente vertical del movimiento de un proyectil es
\[y = u \sin \theta \cdot t + (-g) \cdot \frac{1}{2} t^2\]
Por tanto \(y = ut \sin \theta -g \frac{1}{2} t^2\) es la ecuación de la componente vertical del movimiento del proyectil.
Es importante comprender estas ecuaciones junto con un conocimiento básico de las ecuaciones generales del movimiento.
Tiempo de vuelo, autonomía y altura máxima
En las preguntas sobre el movimiento de proyectiles, tendrás que calcular el alcance, la altura máxima y el tiempo de vuelo. Un enfoque paso a paso te ayuda a comprender cómo resolverlas en este texto.
¿Cuál es el tiempo de vuelo de un proyectil?
El tiempo de vuelo de un proyectil es el tiempo total que transcurre desde el punto en que se lanza el objeto hasta que toca el suelo. Se indica con el símbolo T.
Recuerda que \(v - u = at\) es la primera ecuación del movimiento. Observa que el tiempo de vuelo es el tiempo que tarda el objeto en subir y bajar hasta chocar con el suelo. Tenemos que considerar la componente vertical del movimiento del proyectil.
Para comprender mejor el movimiento, lo dividimos en dos niveles. El primer nivel abarca el momento en que el objeto se lanza desde su punto de partida (el suelo) hasta la altura máxima. A continuación, el segundo nivel abarca el movimiento desde la altura máxima hasta el punto en que cae al nivel de lanzamiento (el suelo).
\(v_y - u_y = -g \cdot t_1\)
Recuerda que: \(v_y = 0, \space u_y = u \sin \theta\)
\(-u \sin \theta = -gt\)
\(t = frac{u \sin \theta}{g})
Por tanto, el tiempo de vuelo T es
\(T = \frac{ 2u \sin \theta}{g})
Pedro lanzó un cohete con un ángulo de 30 grados respecto a la horizontal. El cohete se desplazó a una velocidad de 500 m/s. Calcula
El tiempo de vuelo.
El tiempo que tarda en llegar a la altura máxima.
Toma \(g = 9,8 \space m/s^2\)
Solución:
θ = 30 °
u = 500 m/s
g = 9,8 m/s2
El tiempo de vuelo se calcula como
\(T = \frac{2 u \sin \theta}{g} \cuadrante T = frac {2 \cdot 500 ms^{-1} \cdot \sin30^\circ}{9,8 ms^{-2}}. \cuadratura T = frac 1000 ms^1} \cdot 0,5} {9,8 ms^2})
\(T = 51,02 s\)
El tiempo que tarda el cohete en alcanzar su altura máxima es t.
\(T = 2t\)
\(t = \frac{T}{2}; \space t = \frac{51,02 s}{2} = 25,51 s\)
¿Cuál es el alcance del movimiento de un proyectil?
El alcance del movimiento de un proyectil se conoce como la distancia horizontal total recorrida por el objeto desde el punto en que es lanzado, hasta el punto en que toca el suelo. Se utiliza R para representar el alcance. El alcance se calcula hallando el producto de la velocidad en la dirección horizontal y el tiempo de vuelo.
\(R = u_x \cdot T\)
Recuerda que \(u_x = u \cos \theta\).
No olvides que el alcance es la distancia horizontal del proyectil.
Observa que \(T = \frac{2u\sin\theta}{g}\)
\(R = u \cos \theta \cdot \frac{2 u \sin \theta}{g})
En trigonometría: \(\sin (2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta\)
Por tanto \(R = frac{u^2 seno(2eta)}{g})
Como la fórmula para calcular el rango contiene 2θ, significa que el valor más alto del rango está a 45°, lo que significa \(\sin (2 \theta) = sin(90^\circ) = 1\).
En un partido de fútbol, un portero chuta un balón inmóvil. Si el balón se mueve a una velocidad de 27 m/s y a 30º del suelo, calcula el alcance. Toma g = 9,8 m / s².
Solución:
u = 27 m / s
θ = 30 °
g = 9,8 m / s
\(R = \frac{u^2 \sin 2 \theta}{g} = \frac{(27 ms^{-1})^2 \cdot \sin(2 \cdot 30^\circ)}{9,8 ms^{-2}} = \frac{(27 ms^{-1})^2 \cdot \sin 60^\circ}{9,8 ms^{-2}})
R = 64,42 m
¿Cuál es la altura máxima de un proyectil?
La altura máxima es el punto más alto que alcanza el objeto mientras se mueve hacia arriba antes de empezar a descender. A la altura máxima, el objeto se suspende poco antes de iniciar un movimiento descendente. A este nivel, la velocidad es cero en dirección vertical.
Para calcular la altura máxima, la velocidad en dirección vertical es \(u_y = u \sin \theta\).
Recuerda la ecuación del movimiento \(v^2 - u ^2 = 2a \cdot S\)
Donde: v = 0, S = h, a = -g.
\(-u_y^2 = -2gh\)
Entonces:
\(h = frac {y_y^2} {2g})
\(h = \frac{(u \sin \theta)^2}{2g}\})
Por tanto, la altura máxima de un proyectil es
\(h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}\)
Se lanzó un cohete de dinamita con una velocidad de 200 m/s en un ángulo de 60 grados respecto a la horizontal. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la dinamita? Toma g = 9,8 m/s2
Solución:
u = 200 m / s
θ = 60°
g = 9,8 m / s².
\(h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{(200 ms^{-1})^2 \sin^2 60^\circ}{2 \cdot 9,8 ms^{-2}} = \frac{40000 (ms^{-1})^2 \cdot 0,75}{19,6 ms^{-2}})
h = 1530,61 m
Cómo calcular proyectiles utilizando vectores
Resuelves las preguntas sobre proyectiles utilizando vectores comprendiendo las cantidades que son vectores. En este caso, sólo la aceleración, la velocidad y el desplazamiento son vectores. Para las cantidades vectoriales, siempre se representan la componente horizontal i y la componente vertical j.
Para un vector 5i, significa que la cantidad es de 5 unidades en la dirección horizontal positiva (hacia la derecha en el eje x). Pero para un vector -3j, significa que la cantidad es de 3 unidades en la dirección vertical negativa (hacia abajo en el eje y).
La dirección vectorial se da en lugar de una dirección angular en grados. Te basarás en las ecuaciones de desplazamiento y velocidad:
\(S = S_0 + ut + \frac{1}{2} at^2\)
\(v = u + at\)
Donde S = desplazamiento,
S0 = desplazamiento inicial
a = aceleración
t = tiempo,
v = velocidad final y
u = velocidad inicial.
Una pelota de tenis es golpeada por una pala desde un punto K, a 10 m por encima del punto O del suelo. En ese instante, se mueve con una velocidad (4i + 7j) m/s. Finalmente, golpea el punto M del suelo tras moverse libremente por efecto de la gravedad. Tomemos g = 9,8 m/s².
Determina la velocidad de la pelota 1,8 segundos después de ser golpeada.
Deduce una expresión vectorial para un punto S de la pelota de tenis que esté respecto a O en el tiempo t segundos.
Halla la distancia OM.
Solución:
Haz un diagrama con la información de la pregunta.
1. Consulta la ecuación: v = u + at
v =?
u = 4i + 7j en m/s
a = -9,8j en m/s².
como la pelota de tenis acelera verticalmente en sentido contrario a la gravedad, t = 1,8 en segundos
Sustituye tus valores en la ecuación:
v = 4i + 7j + (-9,8j) × 1,8
v = 4i + 7j - 17,64j
v = 4i - 10,64j
Para calcular v, necesitas hallar la resultante del vector 4i - 10,64j. Se calcula hallando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la componente horizontal 4i y la componente vertical 10,64j.
\(v = \sqrt{4^2 + 10,64^2} m/s = 11,37 m/s\)
2. Para obtener una expresión vectorial de un punto S de la pelota de tenis que está en relación con O en el tiempo t segundos, se utiliza la siguiente ecuación:
\(S = S_0 + ut + \frac{1}{2} at^2\)
Aquí
S =?
S0 = 10j metros porque el desplazamiento vertical inicial de la pelota de tenis es de 10 m sobre el suelo,
u = 4i + 7y en m/s,
t = t en segundos,
a = -9,8j en m/s².
Por tanto:
\(S = 10 j + (4i + 7j)t + \frac{1}{2} (-9,8j)t^2 \quad S = 10 j + 4 ti + 7tj -4,9t^2 j\)
Junta los componentes vectoriales similares para factorizar: \(S = 4ti + 10j+7tj-4,9t^2j \quad S = 4ti + (10 + 7t - 4,9t^2)j\)
Por tanto, la ecuación para determinar la distancia S desde el punto O donde se golpeó la pelota de tenis es \(S = 4ti + (10 + 7t - 4,9 t^2)j\)
3. Para hallar el desplazamiento OM, el punto M no tiene distancia vertical, ya que el huevo golpea el suelo en M. Por tanto, la componente vertical de la representación vectorial es + 0j.
Vuelve a la ecuación derivada en B: recuerda que nos dice cómo hallar el desplazamiento de cualquier punto desde el origen O.
\(S = 4ti + (10 + 7t - 4,9t^2)\)
Como el punto M no tiene componente vertical, \((10 + 7t - 4,9 t^2)j = 0 \space 10 + 7t - 4,9t^2 = 0\)
Mediante la ecuación cuadrática general \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}{2a}) podemos calcular el tiempo t en el que la pelota de tenis golpea el suelo M.
A partir de la ecuación \(10 + 7t - 4,9 t^2 = 0\)
a = -4.9,
b = 7
c = 10
Si sustituyes tus valores en esa fórmula tendrías los valores
t = 2,31s o -0,88s.
Observa que sólo se toma el valor positivo de t porque un valor negativo significaría que la pelota de tenis viajó hacia atrás en el tiempo.
Por tanto, t = 2,31s.
Esto significa que la pelota de tenis golpea el punto M al cabo de 2,31 segundos. Para determinar el desplazamiento horizontal OM, sustituiríamos el valor de t por \(S = 4ti + (10 + 7t - 4,9t^2)j\)
No olvides que la componente vertical es cero, por tanto
S = 4ti
Donde t = 2,31s
S = 4 × 2,31i
S = 9,24i
Por tanto, la distancia OM es de 9,24 m.
Proyectiles - puntos clave
- El movimiento de un proyectil se produce cuando un cuerpo se desplaza libremente en el aire bajo la influencia de la gravedad.
Se supone que ninguna otra fuerza actúa sobre el objeto, excepto la gravedad.
Los proyectiles pueden ser disparados horizontalmente o no.
La velocidad en la dirección y viene dada como \(v_y = v \sin \theta\) mientras que la de la dirección x es \(v_x = v \cos \theta\).
El tiempo de vuelo es el tiempo total que tarda un objeto en completar el movimiento de un proyectil. Viene dado como \(T = frac{2u \sin \theta}{g})
El alcance es la distancia horizontal desde el punto de lanzamiento hasta el punto en que el proyectil golpea el suelo. Viene dada como \(R = \frac{u^2 \sin 2 \theta}{g})
La altura máxima es la distancia vertical entre la altura máxima alcanzada por el proyectil y el suelo. En la altura máxima, la velocidad final es cero y viene dada por \(h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}\})
Para calcular proyectiles utilizando vectores, deben intervenir las componentes horizontal y vertical de todas las cantidades vectoriales. Se utilizan las siguientes ecuaciones de desplazamiento y velocidad: \(S = S_0 + ut + \frac{1}{2} at^2\) y \(v = u + at\)
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