El término "poli" significa muchos, por lo que un polígono no es más que una forma con muchos lados. Cuando decimos "muchos", nos referimos a tres o más. Así que, en esencia, un polígono puede ser cualquier forma 2D que no sea un círculo. Un polígono es un polígono regular si todos sus lados y ángulos son iguales.
Ángulos interiores en los polígonos
Cuando hablamos de qué ángulos suma un polígono, nos referimos a la suma de ángulos interiores. A partir de ahora utilizaremos mucho este término, por lo que es imprescindible conocerlo.
Ángulos enpolígonos- Polígono con ángulos interiores etiquetados, Jordan Madge- StudySmarter Originals
Para un polígono, un ángulo interior es un ángulo dentro del polígono (véase el diagrama anterior). La suma de los ángulos interiores es lo que suman todos los ángulos del interior del polígono. Así que, formalmente, ya sabemos que la suma de los ángulos interiores en un triángulo es y en un cuadrilátero es .
Fórmula de la suma de ángulos interiores
Anteriormente, sólo debíamos saber que los ángulos interiores de un triángulo suman y que los ángulos interiores de un cuadrilátero suman . Lo hemos tomado como un hecho y nunca nos lo hemos cuestionado. Sin embargo , puede que ahora estés pensando es así? O puede que no... Sin embargo, una cómoda fórmula nos indica la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. Es la siguiente...
Para un polígono cualquiera de n lados
Así, cuando tenemos un triángulo y por tanto la suma de los ángulos interiores es .
Del mismo modo, cuando tenemos un cuadrilátero la suma de los ángulos interiores es
Ya conocíamos esos dos resultados. Sin embargo, ahora podemos aplicar esta fórmula a formas con más de cuatro lados.
Calcula la suma de los ángulos interiores de un pentágono.
Solución:
Un pentágono tiene cinco lados, por lo que utilizando la fórmula, la suma de los ángulos interiores es
Calcula la suma de los ángulos interiores de un nonágono.
Solución:
Un nonágono tiene nueve lados, por lo que utilizando la fórmula, la suma de los ángulos interiores es
Calcula la suma de los ángulos interiores de la siguiente figura.
Ángulos en polígonos- polígono de 14 lados, Jordan Madge- StudySmarter Originals
Solución:
La forma de arriba tiene 14 lados, por lo que la suma de los ángulos interiores es
Calcula la suma de los ángulos interiores de una figura de 24 lados.
Solución:
Cuando id="5235818" role="math" la suma de los ángulos interiores es
Calcula la medida del ángulo x en la imagen de abajo.
Ángulos en polígonos- ejemplo de cuadrilátero, Jordan Madge- StudySmarter Originals
Solución:
Esta forma tiene cinco lados, por lo que la suma de los ángulos interiores es
Cada uno de los ángulos rectos de la forma es por lo que podemos calcular el ángulo que falta restando a 540 todos los ángulos dados. Así,
Tabla de ángulos interiores comunes
La siguiente tabla muestra la suma de los ángulos interiores de los ocho primeros polígonos. Sin embargo, puedes confirmar estos resultados por ti mismo utilizando la fórmula.
| Forma | # Lados | Suma de ángulos interiores () |
| Triángulo | 3 | 180 |
| Cuadrilátero | 4 | 360 |
| Pentágono | 5 | 540 |
| Hexágono | 6 | 720 |
| Heptágono | 7 | 900 |
| Octágono | 8 | 1080 |
| Nonágono | 9 | 1260 |
| Decágono | 10 | 1440 |
Cálculo de cada ángulo interior
Antes hemos definido los polígonos regulares como polígonos con lados y ángulos iguales. Por tanto, podemos calcular cada ángulo interior de un polígono regular. Calculamos primero la suma de los ángulos interiores y dividimos este Número por el Número de lados.
Calcula cada ángulo interior de un hexágono regular.
Solución:
Utilizando la tabla 1, podemos ver que la suma de ángulos interiores de un hexágono es . Como este hexágono es regular, cada uno de los ángulos es igual y, por tanto, podemos calcular cada ángulo interior dividiendo por . Por tanto, cada ángulo interior es .
A continuación se muestra parte de un mosaico formado por tres pentágonos regulares. Calcula el ángulo marcado con x.
Ángulos en polígonos - Ejemplo del pentágono, Jordan Madge- StudySmarter Originals Solución:
La suma de los ángulos interiores de cada hexágono regular es (utilizando la tabla de ángulos interiores comunes).
Por tanto, cada ángulo interior de cada hexágono es .
Ángulos en polígonos- Ejemplo del pentágono, Jordan Madge- StudySmarter Originals
Recuerda que los ángulos alrededor de un punto suman 360 grados. Por tanto, x puede hallarse restando los demás ángulos conocidos de 360. Por tanto,
Ángulos exteriores en polígonos
También hay un ángulo exterior por cada ángulo interior en un polígono. Un ángulo exterior se forma entre cualquier lado de la forma y la recta que se extiende fuera de la forma. Esto puede parecer poco claro, pero es más fácil verlo ilustrado.
Ángulos en polígonos- Pentágono con ángulos interiores y exteriores etiquetados, Jordan Madge- StudySmarter Originals
En el diagrama anterior, los ángulos interiores están marcados en naranja y los exteriores en verde. Como el ángulo exterior está sobre la misma recta que el interior, la suma de los ángulos interior y exterior es . Por lo tanto, un ángulo exterior puede calcularse restando el ángulo interior de .
En la imagen de abajo, los ángulos x e y son ángulos exteriores. Calcula x e y.
Ángulos en polígonos- Pentágono con ángulos interiores y exteriores, Jordan Madge- StudySmarter Originals
Solución:
Para el ángulo exterior x, el ángulo interior es . Por tanto, como los ángulos de una recta suman , . El ángulo es otro ángulo exterior y como los ángulos de una recta suman 180 .
A veces también se denomina septagono a un heptágono.
Suma de ángulos exteriores
La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es muy sencilla. Es . A diferencia de los ángulos interiores, no necesitamos memorizar ninguna fórmula complicada para calcular la suma de los ángulos exteriores; basta con recordar la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono . Con esto podemos empezar a responder a algunas preguntas más.
Cada ángulo exterior de un polígono regular es 10. Calcula el número de lados que tiene el polígono.
Solución:
Como la suma de los ángulos exteriores es y cada ángulo exterior es podemos calcular el número de lados mediante . Por tanto, este polígono tiene 36 lados.
Cada ángulo interior de un polígono regular es 165. Calcula el número de lados del polígono.
Solución:
Si cada ángulo interior es cada ángulo exterior debe ser . Como la suma de los ángulos exteriores es debe haber lados.
Ángulos en polígonos - Puntos clave
- Los ángulos interiores en un polígono son los ángulos dentro del polígono.
- Para calcular la suma de los ángulos interiores, resta dos al número de lados y multiplica el resultado por 180 grados.
- Si el polígono es regular, cada uno de los lados es igual.
- Un ángulo exterior se forma entre cualquier lado de la forma y la recta que se extiende fuera de la forma.
- La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360 grados, independientemente del número de lados.
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