Ángulos en polígonos: Propiedades, Cálculos

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El término "poli" significa muchos, por lo que un polígono no es más que una forma con muchos lados. Cuando decimos "muchos", nos referimos a tres o más. Así que, en esencia, un polígono puede ser cualquier forma 2D que no sea un círculo. Un polígono es un polígono regular si todos sus lados y ángulos son iguales.

Ángulos interiores en los polígonos

Cuando hablamos de qué ángulos suma un polígono, nos referimos a la suma de ángulos interiores. A partir de ahora utilizaremos mucho este término, por lo que es imprescindible conocerlo.

Ángulos en el polígono, Polígono con ángulos interiores etiquetados, Jordan Madge Ángulos enpolígonos- Polígono con ángulos interiores etiquetados, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Para un polígono, un ángulo interior es un ángulo dentro del polígono (véase el diagrama anterior). La suma de los ángulos interiores es lo que suman todos los ángulos del interior del polígono. Así que, formalmente, ya sabemos que la suma de los ángulos interiores en un triángulo es $180 °$ y en un cuadrilátero es $360 °$ .

Fórmula de la suma de ángulos interiores

Anteriormente, sólo debíamos saber que los ángulos interiores de un triángulo suman $180 °$ y que los ángulos interiores de un cuadrilátero suman $360 °$ . Lo hemos tomado como un hecho y nunca nos lo hemos cuestionado. Sin embargo , puede que ahora estés pensando es así? O puede que no... Sin embargo, una cómoda fórmula nos indica la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. Es la siguiente...

Para un polígono cualquiera de n lados

$S u m o f I n t e r i o r A n g l e s = (n - 2) \times 180^{°}$

Así, cuando tenemos un triángulo $n = 3$ y por tanto la suma de los ángulos interiores es $(3 - 2) \times 180 = 180 °$ .

Del mismo modo, cuando tenemos un cuadrilátero $n = 4$ la suma de los ángulos interiores es $(4 - 2) \times 180 = 360 °$

Ya conocíamos esos dos resultados. Sin embargo, ahora podemos aplicar esta fórmula a formas con más de cuatro lados.

Calcula la suma de los ángulos interiores de un pentágono.

Solución:

Un pentágono tiene cinco lados, por lo que utilizando la fórmula, la suma de los ángulos interiores es $(5 - 2) \times 180 = 540 °$

Calcula la suma de los ángulos interiores de un nonágono.

Solución:

Un nonágono tiene nueve lados, por lo que utilizando la fórmula, la suma de los ángulos interiores es $(9 - 2) \times 180 = 1260 °$

Calcula la suma de los ángulos interiores de la siguiente figura.

Ángulos en polígonos, Ejemplo con un polígono de 14 lados, Jordan Madge Ángulos en polígonos- polígono de 14 lados, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solución:

La forma de arriba tiene 14 lados, por lo que la suma de los ángulos interiores es $(14 - 2) \times 180 = 2160 °$

Calcula la suma de los ángulos interiores de una figura de 24 lados.

Solución:

Cuando id="5235818" role="math" $n = 24$ la suma de los ángulos interiores es $(24 - 2) \times 180 = 3960 °$

Calcula la medida del ángulo x en la imagen de abajo.

Ángulos en polígonos, Ejemplo con cuadrilátero, Jordan Madge Ángulos en polígonos- ejemplo de cuadrilátero, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solución:

Esta forma tiene cinco lados, por lo que la suma de los ángulos interiores es $(5 - 2) \times 180 = 540 °$

Cada uno de los ángulos rectos de la forma es $90 °$ por lo que podemos calcular el ángulo que falta restando a 540 todos los ángulos dados. Así, $x = 540 - 90 - 90 - 90 - 130 = 140 °$

Tabla de ángulos interiores comunes

La siguiente tabla muestra la suma de los ángulos interiores de los ocho primeros polígonos. Sin embargo, puedes confirmar estos resultados por ti mismo utilizando la fórmula.

Forma	# Lados	Suma de ángulos interiores ( $°$ )
Triángulo	3	180
Cuadrilátero	4	360
Pentágono	5	540
Hexágono	6	720
Heptágono	7	900
Octágono	8	1080
Nonágono	9	1260
Decágono	10	1440

Cálculo de cada ángulo interior

Antes hemos definido los polígonos regulares como polígonos con lados y ángulos iguales. Por tanto, podemos calcular cada ángulo interior de un polígono regular. Calculamos primero la suma de los ángulos interiores y dividimos este Número por el Número de lados.

Calcula cada ángulo interior de un hexágono regular.

Solución:

Utilizando la tabla 1, podemos ver que la suma de ángulos interiores de un hexágono es $720 °$ . Como este hexágono es regular, cada uno de los ángulos es igual y, por tanto, podemos calcular cada ángulo interior dividiendo $720$ por $6$ . Por tanto, cada ángulo interior es $120 °$ .

A continuación se muestra parte de un mosaico formado por tres pentágonos regulares. Calcula el ángulo marcado con x.

Ángulos en el Polígono, Ejemplo del Pentágono, Jordan Madge

Ángulos en polígonos - Ejemplo del pentágono, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solución:

La suma de los ángulos interiores de cada hexágono regular es $720 °$ (utilizando la tabla de ángulos interiores comunes).

Por tanto, cada ángulo interior de cada hexágono es $120 °$ .

Ángulos en el Polígono, Ejemplo del Pentágono, Jordan Madge Ángulos en polígonos- Ejemplo del pentágono, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Recuerda que los ángulos alrededor de un punto suman 360 grados. Por tanto, x puede hallarse restando los demás ángulos conocidos de 360. Por tanto, $x = 360 - 108 - 108 = 144 °$

Ángulos exteriores en polígonos

También hay un ángulo exterior por cada ángulo interior en un polígono. Un ángulo exterior se forma entre cualquier lado de la forma y la recta que se extiende fuera de la forma. Esto puede parecer poco claro, pero es más fácil verlo ilustrado.

Ángulos en el polígono, Polígono con ángulos interiores y exteriores etiquetados, Jordan Madge Ángulos en polígonos- Pentágono con ángulos interiores y exteriores etiquetados, Jordan Madge- StudySmarter Originals

En el diagrama anterior, los ángulos interiores están marcados en naranja y los exteriores en verde. Como el ángulo exterior está sobre la misma recta que el interior, la suma de los ángulos interior y exterior es $180 °$ . Por lo tanto, un ángulo exterior puede calcularse restando el ángulo interior de $180 °$ .

En la imagen de abajo, los ángulos x e y son ángulos exteriores. Calcula x e y.

Ángulos en polígonos, Ejemplo con ángulos exteriores, Jordan Madge Ángulos en polígonos- Pentágono con ángulos interiores y exteriores, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Solución:

Para el ángulo exterior x, el ángulo interior es $109 °$ . Por tanto, como los ángulos de una recta suman $180 °$ , $x = 180 - 109 = 71 °$ . El ángulo $y$ es otro ángulo exterior y como los ángulos de una recta suman 180 $y = 180 - 81 = 99 °$ .

Calcula cada ángulo exterior de un heptágono regular.Solución: Un heptágono tiene siete lados y, por tanto, la suma de los ángulos interiores es

900 °

Como este heptágono es regular, podemos calcular cada ángulo interior dividiendo 900 entre 7 para obtener

128.6 °

. Por tanto, podemos calcular cada ángulo exterior restando éste de 180. Así, cada ángulo exterior es

180 - 128.6 = 51.4 °

A veces también se denomina septagono a un heptágono.

Suma de ángulos exteriores

La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es muy sencilla. Es $360 °$ . A diferencia de los ángulos interiores, no necesitamos memorizar ninguna fórmula complicada para calcular la suma de los ángulos exteriores; basta con recordar la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono $360 °$ . Con esto podemos empezar a responder a algunas preguntas más.

Cada ángulo exterior de un polígono regular es 10. Calcula el número de lados que tiene el polígono.

Solución:

Como la suma de los ángulos exteriores es $360 °$ y cada ángulo exterior es $10 °$ podemos calcular el número de lados mediante $360 \div 10 = 36$ . Por tanto, este polígono tiene 36 lados.

Cada ángulo interior de un polígono regular es 165. Calcula el número de lados del polígono.

Solución:

Si cada ángulo interior es $165$ cada ángulo exterior debe ser $180 - 165 = 15 °$ . Como la suma de los ángulos exteriores es $360 °$ debe haber $360 \div 15 = 24$ lados.

Ángulos en polígonos - Puntos clave

Los ángulos interiores en un polígono son los ángulos dentro del polígono.
Para calcular la suma de los ángulos interiores, resta dos al número de lados y multiplica el resultado por 180 grados.
Si el polígono es regular, cada uno de los lados es igual.
Un ángulo exterior se forma entre cualquier lado de la forma y la recta que se extiende fuera de la forma.
La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360 grados, independientemente del número de lados.

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Preguntas frecuentes sobre Ángulos en polígonos

¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un polígono?

La suma de los ángulos interiores de un polígono se calcula con la fórmula (n-2)×180, donde n es el número de lados.

¿Cómo se calcula un ángulo interior en un polígono regular?

Para calcular un ángulo interior en un polígono regular, usa la fórmula (n-2)×180/n, donde n es el número de lados.

¿Cómo se determina la suma de los ángulos exteriores de un polígono?

La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es siempre 360 grados, sin importar el número de lados.

¿Qué es un ángulo interior y un ángulo exterior en un polígono?

Un ángulo interior está dentro del polígono entre dos lados adyacentes, mientras que un ángulo exterior se forma al extender un lado del polígono.

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