Área y perímetro de un triángulo: Fórmulas, Ejemplos

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En este artículo veremos la definición del perímetro de un triángulo, su fórmula y cómo resolver el perímetro de un triángulo cuando se dan puntos o una imagen, o cuando faltan lados.

Definición del perímetro de un triángulo

El Perímetro de un triángulo es la suma de sus tres lados.

La definición es la misma para el perímetro de cualquier otro polígono: la suma de todos los lados. El perímetro depende explícitamente de los lados del triángulo y es independiente de éstos. Por tanto, si se nos da la medida de todos los lados del triángulo, el perímetro es simplemente la suma de todos estos lados. Se puede dividir a su vez en tres tipos: perímetro de un triángulo Escaleno, Isósceles y Equilátero.

Fórmula del perímetro de un triángulo escaleno

Recuerda que un triángulo escaleno es un triángulo cuyos lados tienen longitudes diferentes.

Sean a, b y c las longitudes de todos los lados de un triángulo escaleno, entonces, según la definición, el perímetro viene dado por:

$P = a + b + c$ ,

donde P denota el perímetro.

Perímetro de triángulo escaleno, Matemáticas puras, StudySmarter El perímetro de un triángulo escaleno, StudySmarter Original

Halla el perímetro de un triángulo cuyos lados son de longitud a = 4, b = 5 y c = 7 unidades.

Solución:

El perímetro viene dado por lo siguiente:

$P = a + b + c = 4 + 5 + 7 = 16 u n i t s$

Fórmula del perímetro de un triángulo isósceles

Un triángulo isósceles es un triángulo en el que la longitud de dos lados es la misma y la del tercero es distinta.

Sea a la longitud de cada uno de los lados iguales y la longitud del tercer lado sea b, entonces el perímetro del triángulo será:

$P = 2 a + b$ .

Perímetro del triángulo isósceles, Matemáticas puras, StudySmarter Perímetro de un triángulo isósceles, StudySmarter Original

No es más que un caso especial de triángulo escaleno para a = c.

Halla el perímetro de un triángulo isósceles cuyos dos lados miden 4 unidades cada uno y el tercer lado mide 5 unidades.

Solución:

El perímetro de un triángulo isósceles viene dado por:

$P = 2 a + b$ .

donde a = 4 y b = 5 están dados:

$P = 2 \times 4 + 5 = 8 + 5 = 13$

Por tanto, el perímetro de este triángulo es de 13 unidades.

Fórmula del perímetro de un triángulo equilátero

Un triángulo equilátero es un triángulo cuyos lados tienen la misma longitud.

Sea a la longitud de cada uno de los lados, entonces el perímetro viene dado por:

$P = 3 a$

Por tanto, el perímetro de un triángulo equilátero es el triple de la longitud de cada uno de sus lados. De nuevo, un triángulo equilátero no es más que un caso específico de un triángulo escaleno.

El perímetro de un triángulo equilátero, StudySmarter Original

Halla el perímetro de un triángulo equilátero cuya longitud de cada lado es de 3 unidades.

Solución:

Podemos utilizar la fórmula para hallar el perímetro de un triángulo equilátero:

$P = 3 a = 3 \times 3 = 9$

Por tanto, el perímetro del triángulo es de 9 unidades.

Perímetro cuando se dan puntos

Supongamos que no se nos dan directamente las longitudes de los lados de un triángulo, sino las coordenadas de sus vértices. Esto ocurre especialmente cuando un triángulo está inscrito en un plano cartesiano. Las coordenadas ayudan a localizar el triángulo.

Para hallar el perímetro cuando se dan las coordenadas de sus vértices, necesitamos hallar de algún modo la longitud de los lados individuales. Para ello, podemos calcular la distancia entre los vértices mediante la fórmula de la distancia, y los segmentos de recta que se forman al unir los vértices son los lados del propio triángulo.

Por tanto, la longitud de los segmentos de recta que unen los vértices será la misma que la longitud de los lados del triángulo formado.

Un triángulo cartesiano, Perímetro de un triángulo, StudySmarter Un triángulo con sus coordenadas cartesianas, StudySmarter Originals

Sean A, B y C los vértices del triángulo y las coordenadas $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) and (x_{3}, y_{3})$ donde todos los puntos son distintos. Los lados del triángulo ABC serán AB, BC y AC.

Utilizando la fórmula de la distancia:

$d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Ahora que tenemos la longitud de los lados del triángulo en función de las coordenadas de los vértices, podemos utilizar la fórmula del perímetro:

$P = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} + \sqrt{{(x_{2} - x_{3})}^{2} + {(y_{2} - y_{3})}^{2}} + \sqrt{{(x_{3} - x_{1})}^{2} + {(y_{3} - y_{1})}^{2}}$

Así, hemos encontrado una fórmula para calcular el perímetro del triángulo cuyos vértices están dados.

Halla el perímetro del triángulo cuyos vértices están situados en A(-3, 1), B(2, 1) y C(2, -1).

Solución:

Para hallar la longitud del perímetro, necesitamos hallar la longitud de los lados respectivos y podemos hacerlo utilizando la fórmula de la distancia para los tres vértices.

Para el primer lado AB:

$A B = \sqrt{{(- 3 - 2)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}} = 5$

Para el segundo lado, BC:

$B C = \sqrt{{(2 - 2)}^{2} + {(1 + 1)}^{2}} = 2$

Y para el tercer lado, AC:

$A C = \sqrt{{(- 3 - 2)}^{2} + {(1 + 1)}^{2}} = \sqrt{29}$

Y ahora se puede calcular el perímetro sumando todos estos lados:

$P = A B + B C + A C P = 5 + 2 + \sqrt{29} = 7 + \sqrt{29}$

Por tanto, el perímetro del triángulo cuyos vértices son A(-3, 1), B(2, 1) y C(2, -1) es de $7 + \sqrt{29}$ unidades.

Perímetro de un triángulo en el que faltan lados

A veces, no se dan todos los lados. La mayoría de las veces, se da la longitud de dos de los lados y el ángulo entre ellos. Utilizando sólo esta información, tenemos que hallar el perímetro del triángulo.

De nuevo, utilizando la información dada, tenemos que hallar la longitud del lado que falta. Si se da el ángulo entre dos de los lados conocidos, se utiliza la ley del coseno para determinar la longitud del lado que falta.

Sean A, B y C los tres ángulos de un triángulo y los lados opuestos a ellos tengan longitud respectivamente.

Supongamos que nos dan la longitud de dos lados como a, b, y el ángulo entre ellos como C.

Triángulo cuyos dos lados y un ángulo están dados, StudySmarter Originals

Por lo tanto, necesitamos encontrar el tercer lado c utilizando la información dada, aquí hacemos uso de la ley del coseno para determinar el lado que falta. Recordemos que la ley del coseno es la siguiente:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C}$

donde la única incógnita es c y, por tanto, podemos calcularlo con bastante facilidad. Un caso muy concreto sería el de un triángulo rectángulo, en el que el término cosC desaparecería, ya que C = π/2 y la ley del coseno daría simplemente el Teorema de Pitágoras.

Utilizando ahora la fórmula del perímetro, de un triángulo, obtenemos:

$P = a + b + c$

Sustituyendo c obtenemos

$P = a + b + \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C}$

Halla el perímetro de un triángulo cuyos dos lados son de longitud 4 y 5 unidades, y el ángulo entre dichos lados es de $\frac{π}{3}$ radianes.

Solución:

Rotulemos los dos lados como a y b respectivamente , de modo que a = 4 y b = 5, y el ángulo sea C, necesitamos hallar la longitud del lado restante para hallar el perímetro.

Para ello utilizaremos la ley del coseno:

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C} c^{2} = 16 + 25 - 2.4.5 \cdot \frac{1}{2} c = \sqrt{41 - 20} c = \sqrt{21}$

Por tanto, el perímetro viene dado por:

$P = a + b + c P = 4 + 5 + \sqrt{21} P = 9 + \sqrt{21}$

Así pues, el perímetro del triángulo dado es de $9 + \sqrt{21}$ unidades.

El perímetro de un triángulo en una gráfica

Por tanto, la longitud de los segmentos de recta que unen los vértices será la misma que la longitud de los lados del triángulo formado.

Sean A, B y C los vértices del triángulo y las coordenadas $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) and (x_{3}, y_{3})$ donde todos los puntos son distintos. Los lados del triángulo ABC serán AB, BC y AC.

Utilizando la fórmula de la distancia:

$d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Ahora que tenemos la longitud de los lados del triángulo en función de las coordenadas de los vértices, podemos utilizar la fórmula del perímetro:

$P = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} + \sqrt{{(x_{2} - x_{3})}^{2} + {(y_{2} - y_{3})}^{2}} + \sqrt{{(x_{3} - x_{1})}^{2} + {(y_{3} - y_{1})}^{2}}$

Así, hemos encontrado una fórmula para calcular el perímetro del triángulo cuyos vértices están dados.

Área y perímetro de un triángulo - Puntos clave

El perímetro de un triángulo es la suma de sus tres lados.
La fórmula del perímetro de un triángulo de lados $a, b and c$ viene dada por $P = a + b + c$ .
El perímetro de un triángulo cuyos vértices son $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) and (x_{3}, y_{3})$ viene dado por $P = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} + \sqrt{{(x_{2} - x_{3})}^{2} + {(y_{2} - y_{3})}^{2}} + \sqrt{{(x_{3} - x_{1})}^{2} + {(y_{3} - y_{1})}^{2}}$ .
El perímetro de un triángulo para el que la longitud de dos lados es $a, b$ y el ángulo entre ellos es $C$ viene dado por $P = a + b + \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C}$ donde el lado c se evalúa mediante la regla del coseno: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C$ .

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Preguntas frecuentes sobre Área y perímetro de un triángulo

¿Cómo se calcula el área de un triángulo?

El área de un triángulo se calcula usando la fórmula: Área = (base * altura) / 2.

¿Qué es el perímetro de un triángulo?

El perímetro de un triángulo es la suma de la longitud de sus tres lados.

¿Cómo se calcula el perímetro de un triángulo?

Para calcular el perímetro, suma las longitudes de los tres lados: Perímetro = lado1 + lado2 + lado3.

¿Qué unidad se utiliza para medir el área y el perímetro?

El área se mide en unidades cuadradas (por ejemplo, cm², m²), y el perímetro en unidades lineales (por ejemplo, cm, m).

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