Base del logaritmo

Identifica la base en lo siguiente.

1. ${\log }_{3}9=2$
2. $5^4=625$

Solución

1. La base aquí es 3. Es el subíndice del símbolo log del logaritmo.
2. La base aquí es 5. Es el número que eleva el exponente 4.

Da las respuestas a lo siguiente.

1. $\log \left(1000\right)$
2. $\log \left(20\right)$
3. $\log \left(8\right)$

Esto significa que si multiplicas 10 por tres da 1000, es decir ${10}^3$.

Da las respuestas a lo siguiente

a. ${\log }_{e}7.3$

b. $\ln \left(25\right)$

c. ${\log }_{e}33.98$

Solución

1. Para obtener la respuesta a ${\log }_{e}7.3$necesitarás una calculadora. Tendrás que pulsar el botón $\ln$ de la calculadora y después 7,3. Después aparecerá la respuesta.

${\log }_{e}7.3=1.9878$

b. Utilizando una calculadora,$\ln \left(25\right)=3.2188$

c. Utilizando una calculadora,${\log }_e\left(33.98\right)=3.5257$

Simplifica $y={\log }_2\left(20\right)$

Solución

Lo primero es cambiar la base utilizando la fórmula de cambio de base. Puedes cambiar la base a cualquier número, incluyendo la base 10 y el logaritmo natural e. Sólo tienes que asegurarte de que ambos tienen la misma base. Haciendo esto tendremos:

${\log }_2\left(20\right)=\frac{{\log }_{10}\left(20\right)}{{\log }_{10}\left(2\right)}$

Utilizaremos una calculadora para resolver el numerador y el denominador y obtener:

$$\begin{gathered} \frac{{\log }_{10}\left(20\right)}{{\log }_{10}\left(2\right)}=\frac{1.3010}{0.3010} \\ =4.32 \end{gathered}$$

Resuelve ${\log }_3\left(x\right)={\log }_9\left(4\right)$

Solución

Observarás que se trata de bases diferentes, por lo que utilizaremos la fórmula de cambio de base. Podemos cambiar ambas bases a 3 o a 9 y seguirás obteniendo la misma respuesta. Recuerda que el objetivo es que ambas bases sean iguales.

Utilizaremos la fórmula de cambio de base en el lado derecho. Esto significa que haremos que las bases sean 3.

$$\begin{gathered} {\log }_3\left(x\right)=\frac{{\log }_3\left(4\right)}{{\log }_3\left(9\right)} \\ {\log }_3\left(x\right)=\frac{{\log }_3\left(4\right)}{{\log }_3\left(3^2\right)} \end{gathered}$$

Existe una ley de logaritmos de la forma ${\log }_b\left(b^n\right)=n$. Aplicaremos esta ley al denominador presente y tendremos:

$$\begin{gathered} {\log }_b\left(b^n\right)=n \\ {\log }_3{\left(3\right)}^2=2 \end{gathered}$$

Pondremos el resultado "2" en la ecuación y seguiremos resolviendo.

$$\begin{gathered} {\log }_3\left(x\right)=\frac{{\log }_3\left(4\right)}{2} \\ {\log }_3\left(x\right)=\frac{1}{2}{\log }_3\left(4\right) \end{gathered}$$

Existe otra ley de logaritmos de la forma ${\log }_a\left(x^n\right)=n{\log }_a\left(x\right)$. Si la aplicamos obtendremos:

$$\begin{gathered} {\log }_3\left(x\right)={\log }_3\left(4^{\frac{1}{2}}\right) \\ {\log }_3\left(x\right)={\log }_3\left(2\right) \end{gathered}$$

Utilizando la regla de que si ${\log }_b\left(x\right)={\log }_b\left(y\right)$entonces $x=y$nuestra respuesta final será:

$x=2$

Resuelve ${\log }_9\left(4\right)+{\log }_3\left(x\right)=3$

Solución

Lo primero es hacer que las bases sean iguales. Podemos elegir que ambas sean 9 o 3. De cualquier forma, llegaremos a la misma respuesta. Hagamos que ambas sean 3.

La fórmula del cambio de base es ${\log }_b\left(x\right)=\frac{{\log }_a\left(x\right)}{{\log }_a\left(b\right)}$

Utilizaremos la fórmula de cambio de base en el primer término de la expresión y obtendremos:

$\frac{{\log }_3\left(4\right)}{{\log }_3\left(9\right)}+{\log }_3\left(x\right)=3$

Si observas, verás que puedes simplificar el denominador con una calculadora o manualmente. Puedes saber que el resultado es 2 porque 3 al cuadrado es 9. Por tanto, ahora tendremos:

$\frac{{\log }_3\left(4\right)}{2}+{\log }_3\left(x\right)=3$

Multipliquemos cada término por 2

${\log }_3\left(4\right)+2{\log }_3\left(x\right)=6$

Podemos utilizar la regla logarítmica de potencias en la segunda expresión, que es ${\log }_b\left(x^n\right)=n{\log }_b\left(x\right)$

Ahora tendremos ${\log }_3\left(4\right)+{\log }_3\left(x^2\right)=6$

Podemos utilizar aquí la regla de la suma, que es ${\log }_b\left(x\right)+{\log }_b\left(y\right)={\log }_b\left(xy\right)$

Por tanto ${\log }_3\left(4x^2\right)=6$

Ahora tomaremos el antilogaritmo para obtener

$4x^2=3^6$

Lo que simplificamos aquí fue elevar la base 3 a la potencia 6.

El siguiente y último paso es hallar x

$x^2=\frac{3^6}{4}$

Toma la raíz cuadrada de ambos lados

$$\begin{gathered} \sqrt{x^2}=\sqrt{\frac{3^6}{4}} \\ \cancel{\sqrt{x{}^{\cancel{2}}}}=\frac{27}{2} \\ x=\frac{27}{2}=13.5 \end{gathered}$$

Traza las expresiones logarítmicas y observa la gráfica.

$y={\log }_2\left(x\right)$ y $y={\log }_{10}\left(x\right)$

Solución

Lo que tienes que hacer es elaborar una tabla para ambas expresiones y trazar la gráfica.

Para $y={\log }_2\left(x\right)$

Para $y={\log }_{10}\left(x\right)$

Ahora trazaremos el gráfico

Puedes ver que $y={\log }_{10}\left(x\right)$ está más cerca del eje y.