Base del logaritmo

El logaritmo es un exponente que define cuántas veces se puede multiplicar un número para obtener otro número. Es la potencia a la que se eleva un número (la base) para obtener otro número. Al hablar de logaritmos, hay términos que debes recordar y ser capaz de identificar, como el exponente y la base.

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Vamos a centrarnos más en las bases de los logaritmos. Por tanto, debemos ser capaces de identificar una base cuando la veamos. Familiaricémonos con la fórmula básica asociada a los logaritmos y luego identifiquemos la base.

by=X

b es la base, y es el exponente al que se eleva la base y X es el resultado obtenido.

También se escribe como logbX=y

donde log es la abreviatura de logaritmo.

Si tienes 23=82 es la base, 3 es el exponente y 8 es el resultado obtenido. También se puede escribir como log28=3. Si somos capaces de identificar la base en una expresión logarítmica, podemos deducir el significado de una base.

Significado de la base logarítmica

La base del logaritmo es el subíndice del símbolo del logaritmo (log). Se puede decir que es el número que lleva o eleva el exponente según la forma de la expresión (by=X o logbX=y). Veamos algunos ejemplos para reforzar nuestra comprensión sobre la identificación de una base.

Identifica la base en lo siguiente.

  1. log39=2
  2. 54=625

Solución

  1. La base aquí es 3. Es el subíndice del símbolo log del logaritmo.
  2. La base aquí es 5. Es el número que eleva el exponente 4.

Las formas populares de logaritmos son el logaritmo común y el logaritmo natural. El logaritmo común está en base 10 y se escribe como log10 o simplemente log y el logaritmo natural está en base e y se escribe como loge o ln. Para resolver logaritmos comunes de base 10, es mejor utilizar una calculadora. La calculadora tiene un botón log que te dará la respuesta. Puedes intentar hacerlo sin calculadora si los números son pequeños y fáciles de calcular, pero si no es así, echa mano de la calculadora.

Da las respuestas a lo siguiente.

  1. log1000
  2. log20
  3. log8
SoluciónPodemos ver que las preguntas están todas en base 10.a. Puedes obtener la respuesta a log1000 utilizando tu calculadora. Sólo tienes que pulsar el botón log y teclear 1000 y obtendrás la respuesta.log1000=3

Esto significa que si multiplicas 10 por tres da 1000, es decir 103.

También es posible hacerlo sin calculadora porque podemos calcular que103 = 1000.b. log 20 = 1,3010c. log 8 = 0,9031

Para el logaritmo natural en base e, la e se llama número de Euler, que es 2,71828. Cuando quieras resolverlo, utiliza el botón ln de tu calculadora para obtener la respuesta.

Veamos algunos ejemplos más.

Da las respuestas a lo siguiente

a. loge7.3

b. ln25

c. loge33.98

Solución

  1. Para obtener la respuesta a loge7.3necesitarás una calculadora. Tendrás que pulsar el botón ln de la calculadora y después 7,3. Después aparecerá la respuesta.

loge7.3=1.9878

b. Utilizando una calculadora,ln25=3.2188

c. Utilizando una calculadora,loge33.98=3.5257

Además del logaritmo común y el logaritmo natural con bases 10 y e, los logaritmos también pueden tener cualquier base. La base puede ser cualquier número. Por ejemplolog756,log24+log68ylog100-log210 son logaritmos con bases diferentes.

Resolver logaritmos con diferentes bases

Cuando tienes logaritmos con bases distintas, significa que tienes una ecuación o expresión logarítmica en la que las bases son de números distintos. La forma de hacerlo es utilizar una fórmula llamada fórmula de cambio de base. El objetivo es igualar las distintas bases. De este modo, podrás obtener una solución fácilmente. Veamos cómo es la fórmula de cambio de base.

logbx=logaxlogab

Las reglas logarítmicas que utilizaríamos normalmente son las mismas reglas para resolver en base logarítmica. Veamos algunas de esas reglas.

  • logbx+logby=logbxy
  • logbx-logby=logbxy
  • logbxn=nlogbx
  • logbx=logbyx=y
Necesitamos estas fórmulas para ayudarnos porque nuestras calculadoras sólo pueden resolver logaritmos en base "10" y base "e". Veamos cómo se utiliza la fórmula de cambio de base en los siguientes ejemplos.

Simplifica y=log220

Solución

Lo primero es cambiar la base utilizando la fórmula de cambio de base. Puedes cambiar la base a cualquier número, incluyendo la base 10 y el logaritmo natural e. Sólo tienes que asegurarte de que ambos tienen la misma base. Haciendo esto tendremos:

log220=log1020log102

Utilizaremos una calculadora para resolver el numerador y el denominador y obtener:

log1020log102=1.30100.3010=4.32

Veamos más ejemplos.

Resuelve log3x=log94

Solución

Observarás que se trata de bases diferentes, por lo que utilizaremos la fórmula de cambio de base. Podemos cambiar ambas bases a 3 o a 9 y seguirás obteniendo la misma respuesta. Recuerda que el objetivo es que ambas bases sean iguales.

Utilizaremos la fórmula de cambio de base en el lado derecho. Esto significa que haremos que las bases sean 3.

log3x=log34log39log3x=log34log332

Existe una ley de logaritmos de la forma logbbn=n. Aplicaremos esta ley al denominador presente y tendremos:

logbbn=nlog332=2

Pondremos el resultado "2" en la ecuación y seguiremos resolviendo.

log3x=log342log3x=12log34

Existe otra ley de logaritmos de la forma logaxn=nlogax. Si la aplicamos obtendremos:

log3x=log3412log3x=log32

Utilizando la regla de que si logbx=logbyentonces x=ynuestra respuesta final será:

x=2

Resuelve log94+log3x=3

Solución

Lo primero es hacer que las bases sean iguales. Podemos elegir que ambas sean 9 o 3. De cualquier forma, llegaremos a la misma respuesta. Hagamos que ambas sean 3.

La fórmula del cambio de base es logbx=logaxlogab

Utilizaremos la fórmula de cambio de base en el primer término de la expresión y obtendremos:

log34log39+log3x=3

Si observas, verás que puedes simplificar el denominador con una calculadora o manualmente. Puedes saber que el resultado es 2 porque 3 al cuadrado es 9. Por tanto, ahora tendremos:

log342+log3x=3

Multipliquemos cada término por 2

log34+2log3x=6

Podemos utilizar la regla logarítmica de potencias en la segunda expresión, que es logbxn=nlogbx

Ahora tendremos log34+log3x2=6

Podemos utilizar aquí la regla de la suma, que es logbx+logby=logbxy

Por tanto log34x2=6

Ahora tomaremos el antilogaritmo para obtener

4x2=36

Lo que simplificamos aquí fue elevar la base 3 a la potencia 6.

El siguiente y último paso es hallar x

x2=364

Toma la raíz cuadrada de ambos lados

x2=364x2=272x=272=13.5

Los logaritmos se expresan a veces de forma gráfica y la base de la función logarítmica puede afectar al resultado de la gráfica. Lo que ocurre es que cuanto mayor es la base, menor es la curva. En otras palabras, cuanto mayor sea la base, más se acercará la curva al eje y.

Veamos un ejemplo

Traza las expresiones logarítmicas y observa la gráfica.

y=log2x y y=log10x

Solución

Lo que tienes que hacer es elaborar una tabla para ambas expresiones y trazar la gráfica.

Para y=log2x

xy
10
21
42

Para y=log10x

xy
10
20.3
40.6

Ahora trazaremos el gráfico

Bases de los logaritmos Gráficas de logaritmos StudySmarter

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Puedes ver que y=log10x está más cerca del eje y.

Bases de los logaritmos - Puntos clave

  • La base de un logaritmo es o bien el subíndice del símbolo logaritmo (log) o bien el número que lleva o eleva el exponente en función del de la expresión (by=X o logbX=y).
  • Para resolver logaritmos con bases distintas, se utiliza la fórmula de cambio de base, que es logbx=logaxlogab
  • Cuanto mayor sea la base del logaritmo, menor será la curva de la gráfica. En otras palabras, cuanto mayor sea la base, más se acercará la curva al eje y.
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Base del logaritmo
Preguntas frecuentes sobre Base del logaritmo
¿Qué es la base de un logaritmo?
La base de un logaritmo es el número que se eleva a una potencia para obtener otro número. Por ejemplo, en log₂(8) = 3, la base es 2.
¿Cómo se cambia la base de un logaritmo?
Para cambiar la base de un logaritmo, se usa la fórmula: logₐ(b) = logₓ(b) / logₓ(a), donde x es la nueva base.
¿Por qué es importante la base en un logaritmo?
La base en un logaritmo es importante porque determina la escala de la medida exponencial. Diferentes bases se usan en distintos contextos, como la base 10 en logaritmos decimales.
¿Cuáles son las bases comunes de los logaritmos?
Las bases comunes son 10 (logaritmo decimal o común) y e ≈ 2.718 (logaritmo natural).
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