En este artículo, nos introduciremos en estos conceptos de las figuras tridimensionales y observaremos cómo intervienen en los sólidos comunes que podemos encontrarnos en la vida cotidiana. A continuación, estudiaremos la idea de superficies, áreas y volúmenes para ayudarnos a visualizar estos sólidos mencionados.
Formas tridimensionales
A diferencia de un objeto en dos dimensiones,
una figura tridimensional es aquella definida por un espacio que considera tres dimensiones: longitud, anchura y profundidad.
Veamos el siguiente ejemplo.
Aquí tenemos un cuadrado. La figura 1 muestra un ejemplo de figura bidimensional.
Fig. 1 - Ejemplo de un cuadrado
Observa que el cuadrado de arriba sólo tiene dos dimensiones: su longitud y su anchura. Ahora, intentemos verlo como una figura tridimensional. Es lo que se conoce como cubo.
Fig. 2 - Ejemplo de cubo
En este caso, tenemos una dimensión adicional que se tiene en cuenta, a saber, la profundidad. La figura 2 muestra un ejemplo de figura tridimensional.
Las figuras tridimensionalesse denominansólidos y constan de tres elementos básicos: una cara, una arista y un vértice. En la siguiente sección se introducirán estos términos de forma explícita.
Definición de caras, aristas y vértices
Para comenzar nuestro debate principal de hoy, vamos a familiarizarnos con tres nuevos términos, que se definen a continuación.
Lacara se refiere a una superficie plana de un sólido. Está indicada por la región sombreada en azul en la Figura 3 siguiente.
Fig. 3 - La cara de un sólido
Unaarista es un segmento de línea en el que se encuentran dos caras. Se indica con la línea azul (lado) en la Figura 4.
Fig. 4 - La arista de un sólido
Unvértice (o esquina) es un punto en el que se encuentran dos aristas. Se indica con la región rodeada por un círculo en la Figura 5.
Fig. 5 - El vértice de un sólido
Una cara de un sólido no tiene por qué extenderse necesariamente en una dirección, como las que ves en el sólido de arriba. Una cara puede envolver el espacio. ¿Te lo imaginas?
Cuando esto ocurre, decimos que tenemos una cara curva, que describe una superficie curva. Fíjate en la flecha de la Figura 6.
Fig. 6 - La cara curva de un sólido
Caras, aristas y vértices de sólidos comunes
En este apartado nos familiarizaremos con el número de caras, aristas y vértices de varios sólidos que podemos encontrar a lo largo del temario. La tabla siguiente lo ilustra.
Sólido | Diagrama | Número de caras | Número de aristas | Número de vértices | Número de caras curvas |
Esfera |
Esfera | 0 | 0 | 0 | 1 |
Elipsoide |
Elipsoide | 0 | 0 | 0 | 1 |
Cono |
Cono | 1 | 1 | 1 | 1 |
Cilindro |
Cilindro | 2 | 2 | 0 | 1 |
Tetraedro |
Tetraedro | 4 | 6 | 4 | 0 |
Pirámide cuadrada |
Pirámide cuadrada | 5 | 8 | 5 | 0 |
Prisma triangular |
Prisma triangular | 5 | 9 | 6 | 0 |
Cubo |
Cubo | 6 | 12 | 8 | 0 |
Cuboide |
Cuboide | 6 | 12 | 8 | 0 |
Octaedro |
Octaedro | 8 | 12 | 6 | 0 |
Prisma pentagonal |
Prisma pentagonal | 7 | 15 | 10 | 0 |
Prisma hexagonal |
Prisma hexagonal | 8 | 18 | 12 | 0 |
Superficie y volumen
Todos los sólidos tienen superficie y volumen. Empecemos por definir estos términos.
La superficie es el área total cubierta por todas las caras de un sólido dado.
El volumen es la cantidad de espacio que ocupa un sólido dado.
Para imaginar el volumen de un sólido, imagina que llenas una botella cilíndrica de agua, por ejemplo. La cantidad de agua que puede contener esta botella es el volumen de esta forma cilíndrica.
La superficie puede hallarse sumando todas las áreas de cada cara de una figura tridimensional dada. Sin embargo, en lugar de ejecutar una acción tan engorrosa, ¡hay un atajo para ello!
Cada sólido común tiene una fórmula particular para hallar su superficie. Lo mismo ocurre con su volumen. La tabla siguiente muestra la fórmula del área superficial y el volumen de varios sólidos notables.
Sólido | Diagrama | Superficie | Volumen | Notación |
Esfera |
Esfera | \A=4×π×r^2] | \[V=4×π×\frac{r^3}{3}\] | \(r\) = radio |
Hemisferio |
Hemisferio | \[A=3×π×r^2\] | \[V=2×π×\frac{r^3}{3}\] | \(r\) = radio |
Cono |
Cono | \[A=π×r×(s+r)\] | \[V=π×r^2×\frac{h}{3}\] | \(r\) = radio \(s\) = altura oblicua \(h\) = altura |
Cilindro | Cilindro | \[A=2×π×r×(r+h)\] | \[V=π×r^2×h\h] | \(r\) = radio \(h\) = altura |
Pirámide |
Pirámide | \[A=bl+2bs\] | \[V=l×b×\frac{h}{3}\] | \(l\) = longitud \(b\) = base \(h\\) = altura \(s\) = altura oblicua |
Cubo |
Cubo | \[A=6×l^2\] | \[V=l^3\] | \(l\) = longitud |
Cuboide |
Cuboide | \[A=2×(lb+bn+lh)\] | \[V=l×b×h\] | \(l\) = longitud \(b\) = base \(h\) = altura |
Prisma triangular |
Prisma triangular | \[A=bh+lb+2ls\] | \[V=l×b×\frac{h}{2}\] | \(l\) = longitud \(b\) = base \(h\) = altura \(s\) = altura oblicua |
Prisma trapezoidal |
Prisma trapezoidal | \[A=(a+b)h+bl+al+2ls\] | \[V=(a+b)×h×\frac{l}{2}\] | \(l\) = longitud \(b\) = base \(h\) = altura \(s\) = altura oblicua \(a\) = longitud superior |
Veamos dos ejemplos.
Calcula la superficie y el volumen de un cono cuyo radio es de 5 unidades, la altura oblicua es de 8 unidades y la altura perpendicular es de 6 unidades.
Solución
Las dimensiones de este cono vienen dadas por \(r=5\), \(s=8\) y \(h=6\). Aplicando ahora la fórmula de la superficie de un cono, obtenemos
\[A=π×5×(8+5)=65\pi\approx 641.52\]
Por tanto, este cono tiene una superficie de 641,52 Unidades2 correcta con 2 decimales. A continuación, utilizaremos la fórmula del volumen de un cono.
\[V=π×5^2×\frac{6}{3}=50\pi\approx 157.08\]
Por tanto, este cono tiene un volumen de 157,08unidades3 correcto con 2 decimales.
He aquí un último ejemplo para esta sección antes de pasar a la fórmula de Euler.
¿Cuál es el radio de una esfera cuya superficie es de 67 unidades2? Utiliza también este resultado para determinar su volumen.
Solución
Aquí se nos da la superficie de esta esfera como \(A=67\). Para determinar su radio, tenemos que reordenar la fórmula de la superficie de una esfera de modo que \(r\) se convierta en el sujeto.
\[A=4×π×r^2\ implica r^2=\frac{A}{4 veces \pi}\].
Ahora saca la raíz cuadrada de ambos lados,
\[r=\sqrt{\frac{A}{4\times \pi}}\]
Observa que en este caso sólo tenemos que considerar la raíz positiva, ya que se trata de dimensiones y medidas, que siempre se toman como positivas. Ahora podemos sustituir nuestros valores dados para determinar el radio.
\r=qrt{\frac{67}{4 veces \pi}=aproximadamente 5,33].
Por tanto, el radio es de 5,33 unidades con una precisión de dos decimales. Ahora podemos utilizar este resultado para determinar el volumen de esta esfera. Para garantizar la precisión, no tomaremos la forma aproximada del radio, sino la forma fraccionaria, es decir, \(r=\sqrt{\frac{67}{4 veces \pi}}).
\[V=4×π×\frac{\left(\sqrt{\frac{67}{4\times \pi}}\right)^3}{3}\approx 634.87\]
Por tanto, el volumen de esta esfera es de 634,87 unidades3.
Fórmula de Euler para un poliedro
La Fórmula de Euler establece que para cualquier poliedro que no se intersecte a sí mismo ni tenga agujeros, el número de caras más el número de vértices menos el número de aristas siempre es igual a dos. Esto se puede escribir mediante la expresión siguiente
\[F+V-E=2\]
donde
F = número de caras;
V = número de vértices;
E = número de aristas.
Aplicación de la fórmula de Euler
En este apartado veremos varios ejemplos que aplican la fórmula de Euler. Consulta las tablas anteriores para ayudarte a verificar las respuestas a los ejemplos que se presentan aquí.
Caras, aristas y vértices de una pirámide cuadrangular
Una pirámide de base cuadrada es un tipo de pirámide de base cuadrada. Contiene 5 lados que forman la base cuadrada y 4 caras laterales triangulares congruentes. La figura 7 muestra una ilustración de una pirámide de base cuadrada.
Fig. 7 - Pirámide de base cuadrada
Veamos un ejemplo.
Comprueba que se cumple la fórmula de Euler para una pirámide de base cuadrada.
Solución
Según nuestra tabla anterior, una pirámide de base cuadrada tiene las siguientes características:
Número de caras: 5
Número de Vértices: 5
Número de aristas: 8
Ahora, aplicando la Fórmula de Euler, obtenemos
\[F+V-E=5+5-8=2\]
Por tanto, la Fórmula de Euler es válida para una pirámide de base cuadrada.
Caras, aristas y vértices de un cuboide
Un cuboide es una figura tridimensional delimitada por seis caras rectangulares. Otro nombre para un cuboide es hexaedro. La figura 8 muestra una ilustración de un cuboide.
Fig. 8 - Cuboide
Hay que considerar dos casos especiales de cuboides.
- El cuboide cuadrado: este tipo de cuboide tiene dos (o más) caras cuadradas opuestas.
- El cubo: este tipo de cuboide sólo tiene caras cuadradas.
Aquí tienes un ejemplo.
Comprueba que se cumple la Fórmula de Euler para un cuboide.
Solución
A partir de nuestra tabla anterior, un cuboide tiene las siguientes características:
Número de caras: 6
Número de Vértices: 8
Número de Aristas: 12
Ahora, aplicando la fórmula de Euler, obtenemos
\[F+V-E=6+8-12=2\]
Por tanto, la Fórmula de Euler es válida para un cuboide.
Caras, aristas y vértices de un prisma triangular
Un prisma triangular es un tipo de prisma formado por dos bases triangulares y tres lados rectangulares. La figura 9 muestra una imagen de un prisma triangular.
Fig. 9 - Prisma triangular
Veamos ahora un ejemplo.
Comprueba que se cumple la fórmula de Euler para un prisma triangular.
Solución
Según nuestra tabla anterior, un prisma triangular tiene las siguientes características:
Número de caras: 5
Número de Vértices: 6
Número de aristas: 9
Ahora, aplicando la Fórmula de Euler, obtenemos
\[F+V-E=5+6-9=2\]
Por tanto, la fórmula de Euler es válida para un prisma triangular.
Caras, aristas y vértices del prisma hexagonal
Un prisma hexagonal es un tipo de prisma formado por dos bases hexagonales y seis lados rectangulares. A veces se le denomina octaedro. La figura 10 ilustra un prisma hexagonal.
Fig. 10 - Prisma hexagonal
Recuerda que un hexágono tiene seis lados.
He aquí un ejemplo.
Comprueba que se cumple la Fórmula de Euler para un prisma hexagonal.
Solución
A partir de nuestra tabla anterior, un prisma hexagonal tiene las siguientes características:
Número de caras: 8
Número de Vértices: 12
Número de Aristas: 18
Ahora, aplicando la fórmula de Euler, obtenemos
\[F+V-E=8+12-18=2\]
Por tanto, la Fórmula de Euler es válida para un prisma hexagonal.
Caras, aristas y vértices de un cilindro
Un cilindro es un tipo de prisma formado por dos bases circulares y una cara curva.Se considera una forma geométrica curvilínea. La figura 11 muestra un cilindro.
Fig. 11 - Cilindro
Observa que un cilindro tiene una cara curva . Por tanto, no es un poliedro. Esto significa que aquí no se aplica la fórmula de Euler.
Comprobemos si esto es cierto.
¿Satisface la fórmula de Euler un cilindro?
Solución
Según nuestra tabla anterior, un cilindro tiene las siguientes características:
Número de caras planas: 2
Número de caras curvas: 1
Número de Vértices: 0
Número de aristas: 2
En primer lugar, observa que no podemos introducir el número de caras curvas en la fórmula de Euler, ya que no hay ninguna variable que lo indique. Aunque no consideráramos esta cara curva y sólo tuviéramos en cuenta las caras planas y las aristas del cilindro, obtendríamos
\[F+V-E=2+0-2=0\]
lo que sin duda incumple la fórmula de Euler.
Caras, aristas y vértices - Puntos clave
- La cara se refiere a una superficie plana de un sólido.
- Una arista es un segmento de recta en el que se encuentran dos caras.
- Un vértice (o esquina) es un punto en el que se encuentran dos aristas.
- La superficie es el área total cubierta por todas las caras de un sólido dado.
- El volumen es la cantidad de espacio que ocupa un sólido dado.
- La fórmula de Euler viene dada por \(F+V-E=2\)
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