Quiere saber cuánta distancia ha recorrido. La única información sobre el campo que conoce es el radio del campo (la distancia más corta desde el centro del campo hasta su límite).
Tiene previsto cultivar algo en el campo y quiere comprar la cantidad adecuada de pesticidas y cultivos para ello. Pero necesita conocer la superficie de su campo circular para comprar lo mencionado anteriormente. De nuevo, el único dato que tiene es el radio del campo. ¿Cómo puede determinar el área del campo? Estos son algunos usos fundamentales de algunas propiedades del círculo. Exploremos esta intrigante figura y sus propiedades.
Definiciones de círculo en matemáticas
En la naturaleza encontramos muchos tipos de formas; la forma más simétrica que podemos imaginar es un círculo. Se define como sigue:
Un círculo es el conjunto de todos los puntos que equidistan de un punto dado.
Fig. 1. Un círculo con centro \(O\) y un punto arbitrario \(P\) sobre él.
Un círculo es una parte de la sección cónica, como la parábola, la elipse y la hipérbola. Imagina un cono vertical; si se corta de forma que sea paralelo a su base, entonces la sección transversal formada es un círculo. Aunque el círculo se conoce principalmente por sus propiedades simétricas, es importante recordar su definición como parte de la sección cónica.
Consideremos un punto del plano cartesiano, que tiene una coordenada x, h, y una coordenada y, k, el conjunto de todos los puntos que equidistan del punto dado formará una circunferencia. Este punto fijo se denomina centro del círculo.
Sea otro punto arbitrario con coordenadas x e y. Sea r la distancia entre el punto dado y el punto arbitrario. Se denomina radio del círculo.
El radio de una circunferencia es la distancia entre el centro de la circunferencia y un punto cualquiera de la circunferencia.
Para entender qué es el radio, tenemos que saber qué es el diámetro. Para entender el diámetro, tenemos que definir otra cantidad, conocida como cuerda de un círculo. En términos rigurosos, se define como sigue:
La cuerda de un círculo es un segmento de recta que une dos puntos distintos del círculo.
Se pueden construir infinitas cuerdas de un círculo. A partir de la definición de cuerda, podemos definir el diámetro de una circunferencia:
El diámetro de una circunferencia es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
La ecuación de una circunferencia
La forma general de la ecuación de un círculo es
$$r=\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}$$
Elevando al cuadrado ambos lados, tenemos
$$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$
Aquí \((h,k)\) es el centro de la circunferencia y \(r\) es el radio.
Circunferencia de un círculo
Antes hemos visto al agricultor recorriendo su campo y queríamos medir la distancia que había recorrido. No es otra cosa que la circunferencia de un círculo.
Lacircunferencia de un círculo es la distancia alrededor de un círculo. No es más que otra palabra para designar el perímetro de un círculo.
Si dibujas un círculo y lo trazas desde un punto y te detienes en el mismo punto después de dar una vuelta, la distancia que has trazado es la circunferencia de ese círculo.
Ecuación de la circunferencia de un círculo
Para hallar la circunferencia de un círculo, es esencial el concepto de pi \(\pi\).
Todo círculo que se pueda dibujar, en su núcleo, tiene una propiedad en común. Esta propiedad o característica es lo que da lugar a pi.
El cociente entre la circunferencia de un círculo y su diámetro se conoce como pi (\(\pi\)).
El radio y la circunferencia de un círculo tienen la siguiente relación
$$\pi=\dfrac{C}{2r}$$
donde \(C\) denota la circunferencia del círculo y r es su radio. Recordemos que el diámetro es el doble del radio. Así es como, a partir de la definición de pi, obtenemos la fórmula de la circunferencia de un círculo:
$$C=2\pi r$$
Pi es un número irracional, dado aproximadamente por \(3,14159265...\) y nunca termina. Pero para facilitar los cálculos, se aproxima a \(3,14\) o como la fracción \(\dfrac{22}{7}\).
El área de un círculo
Para ayudar al agricultor a calcular cuántos pesticidas y cultivos necesitará para su campo, hablaremos del área de un círculo.
El área de un círculo es la región ocupada por un círculo en un plano bidimensional.
Ecuación del área de un círculo
El área de un círculo puede obtenerse cortando el círculo en trozos pequeños, como se indica a continuación.
Fig. 2. Un círculo dividido en trozos para formar un rectángulo aproximado.
Si rompemos el círculo en trocitos triangulares (como los de una porción de pizza) y los juntamos para que se forme un rectángulo, puede que no parezca un rectángulo exacto. Pero si cortamos el círculo en trozos suficientemente finos, podemos aproximarlo a un rectángulo.
Observa que hemos dividido las rodajas en dos partes iguales y las hemos coloreado de azul y amarillo para diferenciarlas. Por tanto, la longitud del rectángulo formado será la mitad de la circunferencia del círculo, que será \(\pi\times r\). Y la anchura será el tamaño de la rebanada, que es igual al radio del círculo, \(r\).
Hemos hecho esto porque tenemos la fórmula para calcular el área de un rectángulo: la longitud por la anchura. Así, tenemos
$$A=(\pi\times r)\times r$$
$$A=\pi r^2$$
Verbalmente, el área de un círculo de radio \(r\) es igual a \(\pi\) veces el radio al cuadrado. Por tanto, las unidades de área son \(\text{cm}^2, \text{m}^2\) o \((\text{cualquier unidad de longitud})^2\).
Puedes encontrar más detalles en nuestro artículo sobre el Área de los Círculos.
Tipos de círculos
Los círculos son de varios tipos, que están relacionados entre sí de forma única. Estos círculos se clasifican en los tres tipos siguientes:
Círculos tangentes
Imagina dos círculos: no tienen por qué ser congruentes y pueden cruzarse de infinitas maneras. Pero una única forma de que se crucen será cuando lo hagan en un solo punto. Tales círculos se conocen como círculos tangentes.
Si dos circunferencias se cruzan en un único punto, se dice que son circunferencias tangentes.
Tienen el siguiente aspecto:
Fig. 3. Los círculos tangentes se cortan en un punto.
Como se ve en el diagrama anterior, dos círculos se cortan en un solo punto, lo que los convierte en Círculos Tangentes.
Círculos concéntricos
La palabra "concéntrico" significa "que tiene un centro", lo que nos lleva a la definición.
Dos o más círculos que comparten el mismo centro se llaman Círculos Concéntricos .
A diferencia de los Círculos Tangentes, en los que los círculos se cruzan en un único punto, los Círculos Concéntricos tienen la propiedad única de no cruzarse nunca entre sí. Los círculos concéntricos tienen este aspecto
Fig. 4. Los círculos concéntricos comparten el mismo punto central y nunca se cruzan.
En cuanto a la ecuación de estos círculos, como el centro sigue siendo el mismo, las ecuaciones sólo difieren en cuanto al radio.
Círculos congruentes
Si dibujas un círculo y lo duplicas, obtienes dos Círculos Congruentes.
Decimos que dos círculos son congruentes si son iguales en todos los aspectos, es decir, son idénticos.
No hay mucho que decir sobre los círculos congruentes, aparte del hecho de que son idénticos y no necesitan existir en un lugar concreto del plano cartesiano. Aquí tienes un diagrama del aspecto de dos círculos idénticos:
Fig. 5. Dos círculos congruentes.
Ejemplos de círculos en matemáticas
Veamos algunos ejemplos.
Halla el radio de un círculo cuya circunferencia es \(45\text{ cm}\). ( Toma \(\pi=3,14\)).
Solución:
Utilizando la fórmula de la circunferencia de un círculo:
$$C=2\pi r$$
Sustituyendo por \(C\) y \(\pi\) obtenemos,
$$r=\dfrac{C}{2\pi}$$
$$r=$dfrac{45}{2 veces 3,14}$$
$$r=7,165\cm}$$
Por tanto, el radio es \(7,165\text{ cm}\$).
El radio de un estanque circular es de \(20\) metros. Halla la circunferencia del estanque en las unidades pertinentes. Toma \(\pi=3,14\).
Solución:
El radio viene dado por \(r=20\text{ m}\), introduciéndolo en la fórmula de la circunferencia, obtenemos
\[\begin{align}C&=2\pi r=\\&=2(3.14)(20)=\\&=125.6\text{ m}\end{align}\]
Por tanto, la circunferencia del estanque circular es de \(125,6\) metros.
El perímetro de un cuenco circular se mide con una cinta métrica y resulta ser \(30\text{ cm}\). Pero al cabo de un tiempo, la cinta se pierde, pero aún no se ha medido el radio del cuenco. ¿Cómo podemos determinar el radio del cuenco sin la cinta? Toma \(\pi=3,14\).
Solución:
Podemos utilizar la fórmula de la circunferencia, ya que relaciona directamente el radio con la circunferencia,
$$C=2\pi r$$
Así, tenemos
\[\begin{align}r&=\dfrac{C}{2\pi}=\\&=\dfrac{30}{2(3.14}=\\&\approx 4.78\text{ cm}\end{align}\]
Por tanto, el radio del cuenco es \(4,78\text{ cm}), redondeado a dos decimales.
El radio de una mesa circular viene dado por el fabricante como \(50\text{ cm}\). Hay que hacer un mantel para ella, por lo que se necesita su área. ¿Cuál es el área de la mesa?
Solución:
El radio es \(50\text{ cm}\): \r(r=50\text{ cm}\}).
Utilizando la fórmula del área de un círculo, tenemos
\A&=pi r^2 A&=\pi r^2=\\&=(3.14)(50)^2=\\&=(3.14)(2500)=\\&=7850\text{ cm}\end{align}\]
Por tanto, el área de la mesa circular de radio \(50\text{ cm}\) es \(7850\text{ cm}^2\).
Círculos - Puntos clave
- Un círculo es el conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo dado.
- La circunferencia de un círculo es \(2\pi r\) donde \(r\) es el radio del círculo.
- El área de un círculo de radio \(r\) es \(\pi r^2\).
- La ecuación general de una circunferencia que describe explícitamente su centro viene dada por \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) donde \((h, k)\) es el centro y \(r\) es el radio.
- Hay tres tipos de círculos: Círculos tangentes, Círculos concéntricos y Círculos congruentes.
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