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Hasta ahora, hemos aprendido métodos de factorización como la agrupación y la identificación del máximo común divisor. En este artículo, conoceremos un nuevo concepto llamado completar el cuadrado. Veremos los pasos para resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado y ejemplos de su aplicación.
¿Qué es "completar el cuadrado"?
Si una ecuación cuadrática dada puede factorizarse en un cuadrado perfecto de un binomio lineal, puede resolverse fácilmente igualando el binomio resultante a 0 y resolviéndola. Por ejemplo, si factorizamos una ecuación cuadrática para obtener
\[(ax + b)^2 = 0\]]
entonces podemos llegar a la solución final de la siguiente manera
\[ax + b = 0 \Flecha derecha ax = -b \Flecha derecha x = -\frac{b}{a}\].
Sin embargo, es difícil reducir directamente muchas ecuaciones cuadráticas a un cuadrado perfecto. Para estas cuadráticas, utilizamos un método llamado completar el cuadrado.
Mediante el método de completar el cuadrado, intentamos obtener un trinomio cuadrado perfecto en el lado izquierdo de la ecuación. A continuación, procedemos a resolver la ecuación utilizando las raíces cuadradas.
Utilizando el método de completar el cuadrado, añadimos o restamos términos a ambos lados de la ecuación hasta que tengamos un trinomio cuadrado perfecto en un lado de la ecuación.
En otras palabras, los cuadrados completos son expresiones de la forma \((x+a)^2\) y \((x-a)^2\).
Completar la fórmula del cuadrado
En este artículo repasaremos los pasos más formales del método de completar el cuadrado. Pero antes, en esta sección, veremos una pequeña ayuda para resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado.
Dada una ecuación cuadrática de la forma
\(ax^2 + bx+c = 0\)
la convertimos en
\((x+d)^2 = e \text{, donde } d = \frac{b}{2a} \y e = \frac{b^2}{4a^2}- \frac{c}{a}\). Esta forma se conoce como forma de vértice de una cuadrática.
La aplicación directa de esta fórmula también te dará la respuesta.
Método del cuadrado completo
Aunque puedes utilizar directamente la fórmula anterior, existe un método paso a paso más deliberado para resolver ecuaciones cuadráticas utilizando el método de completar el cuadrado.
Ten en cuenta que en los exámenes tendrás que resolver utilizando el método paso a paso, por lo que es una buena idea familiarizarse con el proceso.
Si te dan una ecuación cuadrática de la forma \(ax^2 + bx + c = 0\), sigue los pasos que se indican a continuación para resolverla utilizando el método de completar el cuadrado:
Si a (coeficiente de x2) no es 1, divide cada término por a.
Esto da una ecuación de la forma \(x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0\)
Mueve el término constante (\(\frac{c}{a})) al lado derecho.
Así se obtiene una ecuación de la forma \(x^2 + \frac{b}{a} x = -\frac{c}{a}\)
Suma el término adecuado para completar el cuadrado del lado izquierdo de la ecuación. Haz la misma suma en el lado derecho para mantener el equilibrio de la ecuación.
Pista: el término adecuado debe ser igual a \((\frac{b}{2a})^2\).
La ecuación debe tener ahora la forma \((x+d)^2 = e\)
Ahora que tienes un cuadrado perfecto en el lado izquierdo, puedes hallar las raíces de la ecuación sacando raíces cuadradas.
Veamos algunos ejemplos para ilustrarlo.
Representación geométrica del cuadrado completo
¿Qué significa completar el cuadrado? Antes de entrar en algunos ejemplos que implican ecuaciones cuadráticas, puede ser útil comprender la geometría que hay detrás de este método. Observemos el siguiente diagrama.
Fig. 1. Representación gráfica de completar el cuadrado.
En la primera imagen, tenemos el cuadrado rojo y el rectángulo verde. Sumando estas dos formas, obtenemos la expresión
\[x^2 + bx\]
Queremos reorganizar esto para que parezca un cuadrado. Reduciendo a la mitad la anchura del rectángulo verde, obtenemos \(\frac{b^2}{2}\).
Reordenando ahora estos dos nuevos rectángulos verdes más pequeños, tenemos la segunda imagen. Observa que nos falta un segmento en la esquina de la segunda imagen. Por tanto, para completar este cuadrado, tenemos que añadir el área del cuadrado azul, \((\frac{b}{2})^2\). El cuadrado completo se muestra en la tercera imagen. Podemos representarlo algebraicamente como sigue
\[x^2+bx +(\frac{b}{2})^2 = (x+\frac{b}{2})^2\].
donde el término \((\frac{b}{2})^2)completa el cuadrado.
Ejemplos de completar el cuadrado
Aquí tienes algunos ejemplos con soluciones para completar los cuadrados.
Resuelve para x : \(2x^2 + 8x+3 = 0\)
Solución:
Paso 1 - Divide cada término por 2:
\(x^2 + 4x + \frac{3}{2} = 0\)
Paso 2 -Desplaza el término constante al lado derecho.
\(x^2 + 4x = -\frac{3}{2})
Paso3 -Completa el cuadrado añadiendo 4 a ambos lados.
\(x^2 + 4x + 4 = -\frac{3}{2} + 4 \frac (x+2)^2 = \frac{5}{2})
Paso 4 -Encuentralas raíces sacando raíces cuadradas.
\(x+2 = \pm\sqrt{\frac{5}{2}} \Rightarrow x = -2 \pm \sqrt{\frac{5}{2}})
Por tanto, las raíces de la ecuación son
\(x = -2 + \sqrt{\frac{5}{2}{texto{ y } x = -2 - \sqrt{\frac{5}{2}{texto})
Resuelve para x : \(x^2-6x-7 = 0\)
Solución:
Paso 1 - El coeficiente de x2 es 1. Así que podemos pasar al paso 2.
Paso2 - Mueve el término constante al lado derecho.
\(x^2-6x = 7\)
Paso3 - Completa el cuadrado añadiendo 9 a ambos lados.
\(x^2 -6x +9 = 7 + 9 \ Flecha derecha (x-3)^2 = 16\)
Paso 4 - Halla las raíces sacando raíces cuadradas.
\(x-3 = \pm \sqrt{16} \FlechaDerecha x= 3 \pm 4\)
Por tanto, las raíces de la ecuación son
\(x = 3+4 = 7 \text{ y } x= 3-4 = -1\)
Recuerda la fórmula que hemos comentado antes en el artículo. Intentemos ahora resolver el ejemplo anterior directamente utilizando la fórmula de completar los cuadrados.
Ten en cuenta que durante el examen debes utilizar el método descrito anteriormente en lugar de introducir directamente los valores en la fórmula.
Resuelve para x: \(x^2-6x-7 = 0\)
Solución:
Pongamos directamente la ecuación en la forma
\((x+d)^2 = e \text{, donde } d = \frac{b}{2a} \text{ y } e = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}.
De la ecuación: a = 1, b = -6, c = -7. Entonces:
\(d = \frac{-6}{2 \cdot 1} = -3e = \frac{-6^2}{4 \cdot 1^2} - \frac{-7}{1} = 9+7 = 16\)
Esto nos da
\frac(x+d)^2 = e \frac(x-3)^2 = 16\)
que es exactamente lo que obtuvimos utilizando el método del ejemplo anterior. A partir de aquí, puedes seguir el proceso del mismo modo que en el ejemplo anterior para obtener las raíces, 7 y -1.
Aunque no debes resolver preguntas como ésta en un examen escrito, éste puede ser un atajo muy útil si necesitas hallar rápidamente las raíces de una ecuación cuadrática o si quieres cotejar si la respuesta que has hallado utilizando el método anterior es exacta.
Identificar los valores máximo y mínimo de una ecuación cuadrática
Completar el cuadrado también nos ayuda a determinar los valores máximo y mínimo de una ecuación cuadrática dada. Al hacerlo, podemos localizar este valor y trazar la gráfica de una ecuación cuadrática con mayor precisión.
Elvértice es un punto en el que la curva de una gráfica pasa de decreciente a creciente o de creciente a decreciente. También se conoce como punto de inflexión.
Elvalor máximo es el punto más alto de la curva en un gráfico. También se conoce como punto de inflexión máximo o máximo local.
El valormínimo es el punto más bajo de la curva en un gráfico. También se conoce como punto de inflexión mínimo o mínimo local.
Para la forma general de una ecuación cuadrática, los valores máximo y mínimo de una gráfica adoptan las dos condiciones siguientes.
Fig. 2. Gráfico general de los valores máximo y mínimo de una ecuación cuadrática.
Esencialmente, si el coeficiente de x2es positivo, la gráfica se curva hacia abajo, y si el coeficiente de x2es negativo, la gráfica se curva hacia arriba. A partir de la fórmula general de completar el cuadrado, cuando el coeficiente de x2 es 1
\[(x-h)^2 + k = 0\]
las coordenadas x e y del punto de inflexión, o vértice, pueden hallarse mediante el punto (h, k). Análogamente, cuando el coeficiente de x2 no es 1
\[a(x-h)^2 + k = 0\]
las coordenadas x e y del punto de inflexión, o del vértice, pueden hallarse mediante el mismo punto, (h, k).¡Observa queel valor de a no afecta a la posición del vértice!
Busquemos los valores máximo y mínimo de los dos últimos ejemplos del apartado anterior.
Determina si la ecuación cuadrática \(10x^2 -2x +1\) tiene un valor máximo o mínimo. Por tanto, halla las coordenadas de su punto de inflexión.
Solución
El coeficiente del término x2 es positivo, ya que a = 10. Por tanto, tenemos un valor mínimo. En este caso, la curva se abre. De la derivación de la forma cuadrada completa de esta expresión, obtenemos
\(10(x-\frac{1}{10})^2 + \frac{9}{10} = 0\)
Aquí, \(x = \frac{1}{10}})
¡Recuerda que el valor de a no varía el valor x del vértice!
Por tanto, el valor mínimo es \( \frac{9}{10}\) cuando \(\frac{1}{10}\).
Las coordenadas del punto de inflexión mínimo son \((\frac{1}{10}, \frac{9}{10})\}. El gráfico se muestra a continuación.
Fig. 3. Gráfica del problema nº 1.
Determina si la ecuación cuadrática \(-3x^2 - 4x + 8 = 0\) tiene un valor máximo o mínimo. Por tanto, halla las coordenadas de su punto de inflexión.
Solución
El coeficiente del término x2 es negativo, ya que a = -3. Por tanto, tenemos un valor máximo. En este caso, la curva se abre hacia abajo. De la derivación de la forma cuadrada completa de esta expresión, obtenemos
\(-3(x+\frac{2}{3})^2 + \frac{28}{3} = 0\)
Aquí, \(x = -\frac{2}{3}).
Por tanto, el valor máximo es \(\frac{28} {3}) cuando \(x = -\frac{2} {3}).
Las coordenadas del punto de inflexión máximo son \((-\frac{2}{3}, \frac{28}{3})\}. El gráfico se muestra a continuación.
Fig. 4. Gráfico del problema nº 2.
Completar el cuadrado - Puntos clave
- Muchas ecuaciones cuadráticas son muy difíciles de reducir directamente a un cuadrado perfecto. Para este tipo de ecuaciones cuadráticas, podemos utilizar el método llamado de completar el cuadrado.
- Utilizando el método de completar el cuadrado, añadimos o restamos términos a ambos lados de la ecuación hasta que tengamos un trinomio cuadrado perfecto en un lado de la ecuación.
- Utilizando el método de completar el cuadrado, transformamos una ecuación cuadrática de la forma {(ax^2 + bx + c = 0\}) en {(x+d)^2 = e \text{, donde d= \frac{b}{2a} \text{, y e = e \text{. \y e = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a})
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