Completar el cuadrado

¿Qué es "completar el cuadrado"?

Si una ecuación cuadrática dada puede factorizarse en un cuadrado perfecto de un binomio lineal, puede resolverse fácilmente igualando el binomio resultante a 0 y resolviéndola. Por ejemplo, si factorizamos una ecuación cuadrática para obtener

\[(ax + b)^2 = 0\]]

entonces podemos llegar a la solución final de la siguiente manera

\[ax + b = 0 \Flecha derecha ax = -b \Flecha derecha x = -\frac{b}{a}\].

Sin embargo, es difícil reducir directamente muchas ecuaciones cuadráticas a un cuadrado perfecto. Para estas cuadráticas, utilizamos un método llamado completar el cuadrado.

Mediante el método de completar el cuadrado, intentamos obtener un trinomio cuadrado perfecto en el lado izquierdo de la ecuación. A continuación, procedemos a resolver la ecuación utilizando las raíces cuadradas.

Completar la fórmula del cuadrado

En este artículo repasaremos los pasos más formales del método de completar el cuadrado. Pero antes, en esta sección, veremos una pequeña ayuda para resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado.

Dada una ecuación cuadrática de la forma

\(ax^2 + bx+c = 0\)

la convertimos en

\((x+d)^2 = e \text{, donde } d = \frac{b}{2a} \y e = \frac{b^2}{4a^2}- \frac{c}{a}\). Esta forma se conoce como forma de vértice de una cuadrática.

La aplicación directa de esta fórmula también te dará la respuesta.

Método del cuadrado completo

Aunque puedes utilizar directamente la fórmula anterior, existe un método paso a paso más deliberado para resolver ecuaciones cuadráticas utilizando el método de completar el cuadrado.

Ten en cuenta que en los exámenes tendrás que resolver utilizando el método paso a paso, por lo que es una buena idea familiarizarse con el proceso.

Si te dan una ecuación cuadrática de la forma \(ax^2 + bx + c = 0\), sigue los pasos que se indican a continuación para resolverla utilizando el método de completar el cuadrado:

1. Si a (coeficiente de ^x2) no es 1, divide cada término por a.

   Esto da una ecuación de la forma \(x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0\)

2. Mueve el término constante (\(\frac{c}{a})) al lado derecho.

   Así se obtiene una ecuación de la forma \(x^2 + \frac{b}{a} x = -\frac{c}{a}\)

3. Suma el término adecuado para completar el cuadrado del lado izquierdo de la ecuación. Haz la misma suma en el lado derecho para mantener el equilibrio de la ecuación.

   Pista: el término adecuado debe ser igual a \((\frac{b}{2a})^2\).

   La ecuación debe tener ahora la forma \((x+d)^2 = e\)

4. Ahora que tienes un cuadrado perfecto en el lado izquierdo, puedes hallar las raíces de la ecuación sacando raíces cuadradas.

Veamos algunos ejemplos para ilustrarlo.

Representación geométrica del cuadrado completo

¿Qué significa completar el cuadrado? Antes de entrar en algunos ejemplos que implican ecuaciones cuadráticas, puede ser útil comprender la geometría que hay detrás de este método. Observemos el siguiente diagrama.

Fig. 1. Representación gráfica de completar el cuadrado.

En la primera imagen, tenemos el cuadrado rojo y el rectángulo verde. Sumando estas dos formas, obtenemos la expresión

\[x^2 + bx\]

Queremos reorganizar esto para que parezca un cuadrado. Reduciendo a la mitad la anchura del rectángulo verde, obtenemos \(\frac{b^2}{2}\).

Reordenando ahora estos dos nuevos rectángulos verdes más pequeños, tenemos la segunda imagen. Observa que nos falta un segmento en la esquina de la segunda imagen. Por tanto, para completar este cuadrado, tenemos que añadir el área del cuadrado azul, \((\frac{b}{2})^2\). El cuadrado completo se muestra en la tercera imagen. Podemos representarlo algebraicamente como sigue

\[x^2+bx +(\frac{b}{2})^2 = (x+\frac{b}{2})^2\].

donde el término \((\frac{b}{2})^2)completa el cuadrado.

Ejemplos de completar el cuadrado

Aquí tienes algunos ejemplos con soluciones para completar los cuadrados.

Recuerda la fórmula que hemos comentado antes en el artículo. Intentemos ahora resolver el ejemplo anterior directamente utilizando la fórmula de completar los cuadrados.

Ten en cuenta que durante el examen debes utilizar el método descrito anteriormente en lugar de introducir directamente los valores en la fórmula.

Aunque no debes resolver preguntas como ésta en un examen escrito, éste puede ser un atajo muy útil si necesitas hallar rápidamente las raíces de una ecuación cuadrática o si quieres cotejar si la respuesta que has hallado utilizando el método anterior es exacta.

Identificar los valores máximo y mínimo de una ecuación cuadrática

Completar el cuadrado también nos ayuda a determinar los valores máximo y mínimo de una ecuación cuadrática dada. Al hacerlo, podemos localizar este valor y trazar la gráfica de una ecuación cuadrática con mayor precisión.

Para la forma general de una ecuación cuadrática, los valores máximo y mínimo de una gráfica adoptan las dos condiciones siguientes.

Fig. 2. Gráfico general de los valores máximo y mínimo de una ecuación cuadrática.

Esencialmente, si el coeficiente de x2^es positivo, la gráfica se curva hacia abajo, y si el coeficiente de x2^es negativo, la gráfica se curva hacia arriba. A partir de la fórmula general de completar el cuadrado, cuando el coeficiente de ^x2 es 1

\[(x-h)^2 + k = 0\]

las coordenadas x e y del punto de inflexión, o vértice, pueden hallarse mediante el punto (h, k). Análogamente, cuando el coeficiente de ^x2 no es 1

\[a(x-h)^2 + k = 0\]

las coordenadas x e y del punto de inflexión, o del vértice, pueden hallarse mediante el mismo punto, (h, k).¡Observa queel valor de a no afecta a la posición del vértice!

Busquemos los valores máximo y mínimo de los dos últimos ejemplos del apartado anterior.